Геометрия гладких функций

Теория многомерных сетей возникла давно. Тензорное изложение этой теории начато Я. С. Дубновым и было продолжено многими учеными — А. Е. Либером и Н. В. Ефимовым, А. П. Норденом, В.И.Шули-ковским, В. Т. Базылевым и др. Почти каждый специальный класс поверхностей несет некоторую специальную сеть.

В последние годы появились многочисленные обзоры и статьи, посвященные вопросам геометрии многомерных сетей* Эта теория нашла применение в работах В. Т. Базылева и развивалась его учениками — А. В. Абрамовым, М. К. Кузьминым, В. А. Тихоновым, Е.К.Сель-дюковым, А. В. Столяровым, Л. П. Гудзь и др.

Одним из направлений, в котором происходит развитие теории многомерных сетей в настоящее время, является отыскание конструктивных способов определения сетей на гладком многообразии.

Основной задачей предлагаемой диссертации является изучение Л. -мерных сетей в пространствах^п. аффинной связности V без кручения, римановом, евклидовом, определенных с помощью абсолютного инварианта. Для гиперповерхности V3 в евклидовом пространстве Ец, такую задачу рассматривала Гудзь Л. П. / 12 /, / 13 /. Ею рассмотрены некоторые свойства двумерных поверхностей уровня абсолютного инварианта 4 > особенности строения сетей на этих поверхностях уровня, а также изучено взаимное расположение полученной сети и сети линий кривизны гиперповерхности V5 .

Переходим к обзору содержания работы по главам и по параграфам.

— 5.

Диссертация состоит из двух глав.

Пусть SC^ - дифференцируемое многообразие класса G с к 7, Z) .Мы будем рассматривать только такую область gмногообразия Х^, на которой можно задать и семейств.

Система l¹, 6″ 2, —, fr" -} таких семейств линий называется сетью на дифференцируемом многообразии, точнее сетью в области Gмногообразия ЗСП [ 87.

Если многообразие Х^ пплоскость, то сеть называется плоской.

Исследования в диссертации проводятся методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Картана /" 23 У, с привлечением теоретико-группового метода, разработанного Г. Ф. Лаптевым [11].

Цусть в области Gпространства ^J} аффинной связности V без кручения задана гладкая вещественнозначная функция точки 4 CxS ос2,, отличная от постоянной.

Отметим, что, если не оговорено противное, гладкость функции | (осЛ, х2,. j в этой работе понимается в смысле существования производных любого порядка. Как известно, ко вектор d-f-определяет в пространстве гиперраспределение A .

В первом параграфе показано, что гиперраспределение Д^ порождается векторными полями Я^, которые выражаются соответственно в реперах естественном { j и произвольном i к 1/х' Ф°РмУлами:

ZQ"* к 1 а 1 CL ц 9 to где введено обозначение:

2 =¥-*х я. JH к i 1 К к i I) CL К U a СП 7= * J a п. К f • - пфаффовы производные отfпо, со ", линей.

К К ные формы ю определяются из условия.

UT оцределяются из условия ur (x-L)= гдесимвол Кронекера. Далее показано, что гиперраспределение Ап.-1 натянуто на первые П.-1 линейно независимые векторные поля когда, а репера Г тогда и только тогда, f =о г-а.

1 -JL^.

Во втором параграфе найдено векторное поле IT с условием, что вдоль интегральных кривых I-распределения д (у") площадки Д^Сэс) е Д^ переносятся параллельно. Аналогичная задача в аффинном, п. -пространстве была рассмотрена в работе Алшибая Э. Д. ?1 7. Пусть F— г]* е. Координаты должны удовлетворять уравнениям: к гл К.

Г" 14 Р JN где величины т-, aj>n. выражаются формулами: к ftia.

Чи к г rin. -V к* h 5К h гпач к к 4- гВч К а&п.

В дальнейшем, мы рассматриваем случай, когда векторное поле Я.

L2 не принадлежит гиперраопределению А^.

Доказано: чтобы существовало векторное поле У такое, что площадки Afi-ifr^Ari-i параллельно переносятся вдоль интегральных кривых I-распределения Д (у), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Отдельно рассмотрен случай, когда гиперраспределение А.

П-1 натянуто на векторные поля Xd, .^х^ и вдоль интегральных кривых I-распределения площадки.

Аи1 Сх) переносятся параллельно. Это будет тогда и тольо ко тогда, когда 0oLri- «и-*,, <, Lj коэффициенты связности V в репере, •.

В третьем параграфе изучается сеть S^iV), образованная линиями кривизны поля IT на интегральных гиперповерхностях Уп-l гиперраспределения Д^ и интегральными кривыми поля У .

Векторные поля и vсопряжены тогда и только тогда, когда 0 U*a, ri) 6].

Сеть, образованную интегральными кривыми I-распределений Д (Ха) и АСхп.) > назовем частично V^ - соцряженной относительно I-распределения А (ХЛ), если V — сопряжены I-распределения А (ха) и А (ха) для любого п-1 • Верна теорема:

Первые (. и-1) — семейств линий частично V — сопряженной сети относительно одномерного распределения Д (хл) являются семействами линий кривизны относительно I-распределения.

Найдены некоторые аналитические условия (требования на функцию ^(х4-, ас2, ., oJ1)), которым удовлетворяет функция |, когда интегральные кривые одномерного распределения A (za) определяют линии кривизны относительно одномерного распределения А (У) •.

6 пятом параграфе рассматривается собственно риманово пространство V^, с метрическим тензором д.-. Площадки Ayi-iW гиперраспределения A (xiixz, переносятся параллельно вдоль интегральных кривых I-распределения, А («У) тогда и только тогда, когда координаты f векторного поля Р» удовлетворяют системе уравнений: f ^ = 0 • Эта система имеет нетривиальные решения при условии lUaiHW-i.

В римановом пространстве V^ существует ортогональное направление X гиперраспределения, А (, zz 5. f z nL), но-торое находится из системы уравнений cjy ^ = О, в которых положено gtJ =, ^ > .

В пространстве Y^ выделилось двумерное распределение Д (х, н), где X — ортогональное направление к гиперраспределению Д (Х1?. з ХП1], а вдоль интегральных кривых I-распределения д (д) имеем параллельный перенос площадок А^ • Эти распределения пересекаются по одномерному распределению:

А (и) = А (Х," У) П, А (Х1?ХЯ, ХПА).

Векторные поля X и «У коллинеарны тогда и только тогда, когда rL=-tG-L, где PL — C-i)L~l || ,.

L = i.-i)l~L ol-e-t I С) а- ||, CUi).

Рассмотрены некоторые частные случаи, когда одно из векторных полей X или У совпадает с векторным полем .

Параграф шестой посвящен изучению некоторых свойств интегральных кривых I-распределения A (U) .

Если интегральные кривые I-расцределения А (и) определяют линии кривизны относительно распределения, А С X), то д (u) /х ~ общая образующая коцусов: ы a и Ь И где положено.

6 е^tia ^ROL a О,.

U — 11 Хсх. .

Показано, что интегральные кривые I-распределений А (ха) являются линиями кривизны относительно I-распределения, А (х) тогда и только тогда, когда D «0 .

Рассмотрены случаи: а) I-распределения А (Ха)и А (х) vсопряженыб) Vсопряжены I-распределения и, А (и) При этом получены соответственно такие аналитические условия: а. u.

IL V а* с. а и с, а и. С и г* ha с^еа + И t Ка «с. 0 в которых векторное поле У принято в качестве поля ,.

Если интегральные кривые I-распределения, А (и) геодезические, то направление, А Iй-} лежит на конусе 11 =.

Условие mnc) II 1К 1= mf!3 Иv> *Чг + H’l I является необходимым и достаточным условием того, чтобы двумерное распределение А (Х, У) было вполне интегрируемым, где Су коэффициенты скобки Ли: [ X^Xj] = Х^ [9] .

Во второй главе изучаются сети в евклидовом п. -пространстве и сети на гиперповерхности^n-i * определяемые заданной гладкой функцией.

В этой главе индексы пробегают следующие значения:

Э, = i, j, K=l, 2,., in-i> а,&, С= 1,2,YI-2.

В первом параграфе изложены в терминах подвижного репера некоторые предварительные сведения из геометрии невырожденного гиперраспределения Д^ы в области евклидова пространства Е tl. Оно определено системой дифференциальных уравнений: А^ из (при условии, что векторы е). Условиеf= сопз" Ь расслаивает область.

Gна однопараметрическое семейство гиперповерхностей -± (поверхностей уровня): & = оо1 vri1 а Дифференциальное уравнение гиперповерхности • = 0 • Величину = К ^ Л у называют средней кривизной гиперповерхности УПА в точке хе У^ [ 25.

Условие параллельного переноса вектора Н вдоль интегральных кривых I-распределения д (ч) имеет вид:

L —Ъ, А Г Л 11″ в котором положено И = п., у = Ч.

Дается геометрическая интерпретация ковектора • Обращение в нуль ковектора Л^ является необходимым и достаточным условием ортогональности векторного поля «У ишпер-распределения A .

Если площадки ^ n-i гиперраспределения.

Д (е^е^,., переносятся параллельно вдоль интегральных кривых I-распределения, А (и), У/х ^ А^Сх), и de-L [ Д || -ф. О, то координаты векторного поля «У» удовлетворяют соотношению вида: C-i^oLe-tll Ц Сж^ж) .

L «К.

По аналогии со случаем риманова пространства У^ в евклидовом пространстве Е^ выделяется двумерное распределение.

Л (Xj Н), где X — ортогональное поле к гиперраспределению, А * а вД°ль интегральных кривых I-распределения h [У) площадки д^ переносятся параллельно.

Если векторное поле, порождающее I-распределение.

— 12.

A[U)= п Лvы «коллинеарно векторному полю, то выполняются равенства:

А* II = «И AtI- - ;

В третьем параграфе рассмотрены линии кривизны гиперповерхности, Когда точка эс. смещается вдоль интегральной кривой I-распределения А (и) (на гиперповерхности), то система интегральных кривых 1-распределения, А (.и) на гиперповерхности определяется уравнениями:

1 а 1 a п оо — в u ^ из = 0? где 0 некоторая I-форма и й9=?лЬ1 В Для того, чтобы интегральные кривые I-распределения /Siu) =. а с-е^, П & были линиями кривизны относительно ортогонального направления д (х) гиперраспределения, а, необходимо и достаточно, чтобы.

2 c-i)" 1 К- = п.), где — простой корень уравнения de-t || A — j> ^ Ц = 0 .

В четвертом параграфе изучается голономность сети Се^) — сети линий кривизны относительно нормального I-распределения АС-е^) на гиперповерхности V, а также голономность полученной сети в евклидовом пространстве •.

Пространство отнесено к ортонормированному реперу = { }, построенному на касательных к линиям сети = { 2Н, в точке^, где — семейство интегральных кривых поля ортогонального направления х гиперраспределения, А^. Необходимым и достаточным условием сопряженности направлений Щ и е>. на гиперповерхноп ^ сти Vft-i является равенство: Л у = 0 U^j) •.

Чтобы ортогональная сеть была голономной в пространстве Е^, необходимо и достаточно, чтобы сети.

Ох) -линий кривизны были голономны на гиперповерхностях ex), осе д О) •.

Невырожденность гиперраспределения A rii геометрически означает, что ни одно из направлений кривизны относительно & (х) не может быть асимптотическим.

Исследуя голономность сети (Jf^) на гиперповерхности, получены уравнения.

Ав-ла.)и!." л", (л" -л-)аUA* jj U 1 JJ i-JJ — V JJ IL / JL LjL Лл.-Лл.) CL = A"fc (Nj^^i).

4 Jj u ' J К A где симметричны по всем нижним индексам и найдены при внешнем дифференцировании уравнения lo^A^w^ с примененная леммы Картана. Могут представиться следующие различные случаи: а) Если A^f лЦ и сеть 2 п±С-е^) — линий кривизны голо-номна, то 0 (-различны), б) Гиперповерхность.

V d-L является гиперсферой тогда и только тогда, когда для сети^лп-L ^п) — линий кривизны относительно 1-распределения выполняется условие: Л^ =Л<?'. (Lj.

JJ.

Условие: является необходимым и достаточным условием того, чтобы интегральные кривые I-распределения Д (И), (iфиксировано) были линиями кривизны относительно I-распределения ДСх) Далее рассмотрен случай, когда интегральные кривые 1-рас-пределения A (U), где ^e^(U), являются геодезическими. Это будет при условии, когда.

U, K= irL)~X ск" Ы А* 1 = 0 О* K^d.) ltk и компоненты тензора 1фнвизны iil^^ гиперповерхности обращаются в нуль, если хотя бы один из иццексов равен единице. Геодезические линии I-распределения М^О будут плоскими тогда и только тогда, когда.

В пятом параграфе изучены линии кривизны относительно I-распределения Д (У), где вдоль интегральных кривых распределения /А[У) площадки Ду^Са.) переносятся параллельно.

Цусть в пространстве It ^ задана частично голономная сеть '21 ^ и векторы ^ репера R. X взяты на касательных к линиям сети Тогда отыскание линий кривизны относительно 1-рас пределения сводится к рассмотрению уравнения: oUti Aj + 1= О,.

3 Э, А — n LP. П L/nK.U а£ R L К L где = а^оз, Aj= U Лр.+ Ч 1 AJK+ ч ^-(уч %),.

ТК.

И, наконец, последний шестой параграф посвящен (переопределениям, определяемым средней кривизной М и скалярной кривизной Я гиперповерхности V^ • Одна функция^, отличная от постоянной, на гиперповерхности задает семейство подмногообразий f = const. Получены дифференциальные уравнения (д-х) -мерных поверхностей уровня Vnx (M) и соответственно в вде:

Ц .П К «l ij? ll к, и.

W ю = о J rR. где введено обозначение: л-л) -распределение Лпг С м) Л (^, ,. э r*i пх) и определяемое уравнениями оо — D, 0 и (.Уьг) -распределение ^ —^ ^.

АС-^, 3 ^ ., ^п-з^) определяемое системой Пфаффа и) =• О (о/ — й-1., п.) совпадают тогда и только тогда, когда vi-г) -распределения (14) и Ay^Cft) в общем случае пересекаются по lin-2>) -распределению А^ (Л* 5) и оно вполне.

— 16 интегрируемо, как пересечение интегрируемых распределений.

Если все поверхности минимальные, то интегральные кривые векторных полей ^ С n-i) не могут быть асимптотическими. и апхсй.) совпадают тогда и толь.

Распределения ко тогда, когда х у i л.

АЧ.

Л Л п. п trncL Л, А п. рс^а-1 R irVlVl-1 Л, а lm, а а, А а.

Г1−1.

П it jtn к к 1 А, а р"уа Лп a Л, а а пjraa-i с В этой слуше, Следовательно^поверкности.

V. не определяются как пересечение Vn. jM) и Vn (ft) • В частности, это будет тогда, когда гиперповерхность удовлетворяет условию к = СМ), где ^ - гладкая функция (обобщение поверхности Вейнгартена.

Vs. в пространстве Е3).

Нумерация формул, теорем внутри одной главы производится по следующему принцицу: первая цифра обозначает номер главы, а вторая цифра — номер формулы или теоремы.

Основные результаты диссертации систематически докладывались на научном семинаре по дифференциальной геометрии в Московском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина и на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Казахского педагогического института имени Абая.

Результаты предлагаемой работы оцубликованы в статьях / 28 /, /29 /, /30 /, / 31 /.

1. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., — М., 1974, № 5, с.169— 193.

2. Базылев В. Т. Об одном классе многомерных поверхностей. Изв. высш. учебн. заведений. Математика. М., 1961, I, с. 27−35.

3. Базылев В. Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве,^ie-fc. matero.- TiriUrujS. Лит. мат. сб., 1966, 6, № 4,с. 475−491.

4. Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., — М., 1965, № 3, с. 138−164.

5. Базылев В. Т. Сети на многообразиях. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., М., 1974, № 6,с. 189−205.

6. Базылев В. Т. О Vсопряженных сетях в пространстве аффинной связности. Изв. высш. учебн. заведений. Математика, -М., 1974, № 5, с. 25−30.

7. Базылев В. Т. Об одном замечательном классе сетей. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., М., 1975, № 7, с.105−116.

8. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей. Уч. зап. МГПИ им. В. И. Ленина. Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии. М., 1965, с. 69−95.

9. Базылев В. Т. Материалы по геометрии. I, П. М., Изд-во МГПИ им. В. И. Ленина. 1978, 102 с.

10. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., Мир, 1967, 336 с.

11. Громол Д., Клингенберг В., Мейер Р. Риманова геометрия в целом. М., Мир, 1971, 346 с.

12. Гудзь Л. П. Об одном классе ортогональных сетей на гиперповерхности четырехмерного евклидова прострннства. Геометрия погружен, многообразий. М., 1972, с. 39−45.

13. Гудзь Л. П. О некоторых свойствах трижды-сопряженных систем в четырехмерном евклидовом пространстве. Межвузовский (республиканский) тематический науч. сб. ЛГПИ им. А. И. Герцена, Л., 1975, № 4, с. 26−35.

14. Дубнов Я. С., Фукс С. А. О пространственных аналогах чебы-шевской сети. ДАН СССР, 1940, 28, № 2, с. 102−104.

15. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрическое приложение. Изд-во МГУ. М., 1962, 306 с.

16. Кузьмин М. К. Сети, определяемые распределениями в евклидовом пространстве Е ^ и их обобщения. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ. М., 1971,3, с. 29−48.

17. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Тр. Моск. мат. об-ва, М., 1953, № 2, с.275−382.

18. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голона-мии. Изд-во иностр. лит. М., I960, 216 с.

19. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., — Наука, 1976, 432 с.

20. Схоутен И. А., Стройк Д. Дж.

Введение

в новые методы дифференциальной геометрии. П. М., Изд-во иностр. лит., 1948,348 с.

21. Тихонов В. А. Ступенчато-чебышевские сети на многомерных- 128 поверхностях аффинного пространства. Дифференц. геометрия многообразий фигур, вып. 7, Калининград, 1976, с. I19−129.

22. Тихонов В. А. Сети, определяемые гиперраспределениями в аффинном пространстве и их обобщения. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., М., 1977, № 8, с.197−223.

23. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М., Гостехиздат, 1948, 482с.

24. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. Изд-во иностр. лит. М., I960, 560 с.

25. Щршковский В. И. Классическая дифференциальная геометрия. -М., Физматгиз, 1963, 540 с.

26. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. Изд-во иностр. лит., -М., 1948, 316 с.

27. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М., Мир, 1964, 534 с.

28. Нурпейсов Ж. Геометрия гладких функций. В кн.: Алгебра и теория чисел. Алма-Ата, 1978, с. 51−57.

29. Нурпейсов Ж. К геометрии интегрируемых распределений. В кн^.: Актуальные проблемы преемственности в обучении математике. Алма-Ата, 1980, с. 76−80.

30. Нурпейсов Ж. К геометрии распределений на римановом многообразии. Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1981, вып.12, с. 56−60.

31. Нурпейсов Ж. К геометрии интегрируемых распределений в евклидовом пространстве Е^. Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1982, вып. 13, с. 71−76.

32. Teodoi^scu У. IV.? U^escu. G-k. №. ?х-ЦгЫечеа unnteoieme .din. teoiloi supiafetetoi. «Stuolu. сечсе-taii mdt. Acad Rsr», 1966, 18, № 1, c. 157−160.