Метод сеток для решения уравнений параболического типа

Так или иначе при любом способе аппроксимации мы получаем для отыскания значений решения смешанной задачи во внутренних и граничных узлах столько уравнений, сколько имеется неизвестных. Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, мы найдем приближенные значения решения поставленной задачи во всех узлах сетки. Для явных схем разрешимость полученной системы не вызывает сомнений, для неявных схем ее нужно исследовать в каждом отдельном случае. Для схемы (2.8) это нетрудно сделать. Значительно сложней решается вопрос о том, насколько близки полученные методом сеток значения решения в узлах к значениям точного решения смешанной задачи для дифференциального уравнения и можно ли вообще путем измельчения сетки получить методомсеток приближенное решение, сколь угодно близкое к точному решению. Естественно, что интерес могут представлять только такие разностные схемы, с помощью которых можно получить приближенное решение, достаточно близкое к точному, так называемые сходящиеся разностные схемы. Разностная схема называется сходящейся при заданном способе стремления h и l к нулю, если решения системы разностных уравнений стремятся при этом к точному решению задачи для дифференциального уравнения. В этом определении предполагается, что мы умеем точно решать системы разностных уравнений, но практически мы можем найти лишь приближенное решение этой системы.

Поэтому из сходящихся разностных схем практический интерес могут представлять только те разностные схемы, для которых малые погрешности, допущенные в процессе решения разностных уравнений, не могут привести к большим отклонениям от точного решения системы. Такие схемы мы назвали устойчивыми. Пока мы оставим в стороне вопрос об исследовании сходимости разностных схем, а остановимся на исследовании устойчивости разностных схем (2.7)—(2.9) для случая первой краевой задачи, т. е. в предположении, что. В дальнейшем мы докажем некоторые общие теоремы о сходимости и устойчивости разностных схем, из которых можно будет сделать заключения о сходимости рассматриваемых нами разностных схем для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сначала уточним понятие устойчивости разностной схемы, о котором пойдет речь. Мы будем предполагать, что значения граничных функций в граничных узлах вычислены точно.

Далее, будем предполагать, что при отыскании решения разностных уравнений погрешность допущена на р-м слое, а дальше счет ведется точно. За счет погрешности на р-м слое мы получим добавок vijк точному решению разностной схемы. Без ограничения общности можно считать, что погрешность допущена на начальном слое. Тогда добавки vijбудут являться решением той же самой системы уравнений, но только значения их в граничных узлах, лежащих на прямых х = 0, x=1 равны нулю, а значения в граничных узлах начального слоя равны допущенным погрешностям. Разностную схему будем называтьустойчивой, если для всякого е > 0 найдется такое δ>0, что как только будет иметь место неравенство для любого j, лишь бы jl≤T, причем 8 не зависит от h и l. Фактически это понятие непрерывной зависимости решения разностной схемы от начальных значений. Поэтому этот тип устойчивости называют еще устойчивостью по начальным значениям.

Перейдем теперь к исследованию на устойчивость схем (2.7) — (2.9). Мы докажем, что схема (2.7) устойчива при α≤½ и неустойчива при, а > ½; схема (2.8) устойчива при всех а; схема (2.9) неустойчива при всех а. Здесь везде Для доказательства этого утверждения рассмотрим функцию Легко проверить, что Будем искать частные решения разностных уравнений (2.7) — (2.9) вида где — некоторое число, которое нужно определить. Рассмотрим сначала разностную схему (2.7).

Подстановка в (2.7) дает или При каждом фиксированном kудовлетворяет граничным условиям. В силу линейности и однородности разностного уравнения линейная комбинация частных решений будет также решением разностного уравнения, удовлетворяющим граничным условиям: Постоянные ak подберем так, чтобы были удовлетворены и начальные условия в узлах (i, 0) (i= 1, 2 n- 1), т. е. Для того чтобы найти ак, умножим обе части равенства на и просуммируем по i от 1 до n-1. Получим: Далее, возводя то же самое равенство в квадрат и суммируя по iот 1 до n-1, получим: В точности таким же приемом для j, отличного от нуля, получим: Отсюда очевидно, что если при всех k имеет место неравенство, то и, полагая δ=ε, докажем устойчивость разностной схемы. Так как в нашем случае То при Таким образом, разностная схема (2.7) устойчива при α≤½ Покажем теперь неустойчивость этой схемы при α>½. В этом случае для каждого достаточно большого л можно найти такое целое число k0 < n, что ., где и не зависит от n.

Это можно видеть из построенного на рис. 72 графика. Рассмотрим теперь следующее частное решение разностного уравнения: Для этого решенияaСледовательно, если сумма квадратов погрешностей в узлах начального ряда не равна нулю, то при очень малом шаге h, когда для отыскания решения в прямоугольнике R нужно сделать большое число шагов в направлении оси t, сумма для больших j будет весьма велика, а это и означает, что разностная схема неустойчива. Рассмотрим теперь разностную схему (2.8). Следуя нашему методу, ищем частные решения вида Подстановка в разностное уравнение (2.8) дает или Так как-то при всех, а имеет место неравенство из которого следует, что при всех, а разностная схема (2.8) устойчива. Для разностной схемы (2.9) подстановка в разностное уравнение дает или Обозначая через, получим: или.

Таким образом, при всех, а имеет место неравенство Используя частное решение вида и рассуждая точно так же, как и при доказательстве неустойчивости схемы (2.7) при α>½, мы убеждаемся, что схема (2.9) неустойчива при всех а. Глава 3. Применение метода сеток на практике. Пример 1.Методом сеток найти решение уравнения удовлетворяющее условиям Воспользуемся простейшей устойчивой явной разностной схемой выбрав шаг по оси х h= 0,1 и шаг l по оси t: Ниже приведена таблица значений решения в узлах сетки (в единицах четвертого десятичного знака). Так как решение симметричноотносительно прямой х = 0,5, то в таблице даны лишь значения решения для х = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. В строках 21—24 таблицы приведены значения точного решения задачи в указанных там узлах таблицы, а в строках 25—28—погрешности приближенного решения в соответствующих узлах. Относительная погрешность не превосходит 2%. При сравнительно большом шаге h= 0,1 результат совсем неплохой. Используем теперь неустойчивую явную разностную схему Для того чтобы не ухудшать аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением, шаг hno оси х возьмем равным 0,05, а шаг по оси t: , т. е. оставим его прежним. Ниже приведена таблица полученных значений решения (строки 0—7) снова в единицах четвертого десятичного разряда. В строке 7 приведены значения точного решения задачи для t =0,030, а в строке 8 указаны погрешности приближенных значений, полученных по указанной схеме, при t=0,030.

Как видно из таблицы, после шести шагов по оси t погрешности настолько велики, что по абсолютной величине в некоторых узлах даже превосходят значения точного решения. Это вполне естественно, так как схема неустойчива, поэтому небольшие погрешности в начальных значениях решения очень быстро возросли. В строке 9 приведены значения решения при t = 0,030, полученные по неявной схеме при той же сетке (h = 0,05; l=0,005), а в строке 10 — погрешности этих значений. Как видим, неявная схема дает хороший результат, так как после шести шагов относительные погрешности не превосходят 1%.Пример 2. Рассмотрим численное решение следующего дифференциального уравнения параболического типа:

в области, удовлетворяющее условиям.

Задав прямоугольную сетку с шагом оси 0.1 и по оси 0.01, получим следующее решение: xtt=0(2,10)t=0,01(2,11)t=0,02(2,12)t=0,03(2,13)t=0,04(2,14)t=0,05(2,15)02,12,112,122,132,142,150,11,910 111,75131,605 781,507011,447 271,413720,21,755 361,233770,9 460 120,785220,6 947 660,6438530,31,629 061,201330,9 555 580,8145160,7 340 770,6887420,41,525 651,149410,9 319 480,8074560,7 373 170,6987210,51,440 511,103710,9 103 780,8017440,74 250,7115140,61,369 831,067330,8 979 090,8067650,7 602 380,7383040,71,310 491,042490,9 013 810,8321240,8 013 950,7904380,81,259 921,036760,9 352 560,8949770,8 837 150,885690,91,216 051,07231,29 651,025621,36 331,0526911,177 211,209221,241 211,273221,305 221,33721 В таблице ось x расположена горизонтально, а ось t расположена вертикально и направлена вниз. На выполнение программы на среднестатистическом персональном компьютере тратится время, равное нескольким миллисекундам, что говорит о высокой скорости алгоритма.

Заключение

.

В работе был рассмотрен метод сеток решения параболических уравнений в частных производных. Раскрыты основные понятия метода, аппроксимация уравнения и граничных условий, исследована разрешимость и сходимость получаемой системы разностных уравнений. На основании изученного теоретического материала была разработана программная реализация метода сеток, проанализирована ее сходимость и быстродействие, проведен тестовый расчет, построен график полученного численного решения.

Список литературы

Березин И.С., Жидков Н. П. Методы вичислений Т.

2. -1959.

Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИД 1953.

Ладыженская О.А., Метод конечных разностей в теории уравнений в частных производных, УМН, т. 12, вып. 5, 1957.

Люстерник Л.А., О разностных аппроксимациях оператора Лапласа, УМН, т. 9, вып. 2, 1954.

Милн В.Э., Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955.

Михлин С.Г., Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950.

Панов Д.Ю., Справочник по численному решению уравнений в частных производных, Гостехиздат, 1951.

Рябенький В.С., Филиппов А. Ф., Об устойчивости разностных уравнений, Гостехиздат, 1956.