В силу предложения 2 для доказательства финитной аппроксимируемости группы.
А теперь достаточно установить, что каждая из подгрупп семейства (1) имеет в группе, А конечный индекс. Покажем для этого, что числа 0, С, 2С,…, (pk − 1) С (2)составляют систему представителей всех смежных классов группы.
А по подгруппе pkА (и потому индекс подгруппы pkА группы, А равен pk).Заметим сначала, что если для некоторых чисел i и j, 0 ⩽ i<j ⩽ pk−1 имеет место сравнение iС == jС (Мod pkА), то число (j −i)С входит в подгруппу pkА. Это означает, что принадлежит подгруппе А, но так как число j−i⩽pk−1 не делится на pk, легко видеть, что это включение противоречит выбору С. Следовательно, разные числа системы (2) лежат в разных смежных классах группы, А по подгруппе pkА. Остается понять, что они представляют все смежные классы, т. е. что произвольный элемент.
А∈А сравним по подгруппе pkА с одним из этих чисел. Снова найдем такие целые числа М и n, что МА = nС; при этом, можно без потери общности предполагать, что эти числа взаимно просты. Тогда число М не может делиться на p, так как иначе число входило бы в подгруппу.
А при взаимно простых n и p. Если целые числа x и y выбраны удовлетворяющими равенству Мx + pky = 1, то, А = x (МА) + pk (yА)=(xn)С + pk (yА) == (xn)С (МodpkА).Разделим теперь с остатком число xn на pk: xn = pkq + r, 0 ⩽r<pk.Тогда (xn)С = pk (qС) + rС, и потому (xn)С == rС (МodpkА), откуда получаем А==rС (МodpkА). Так как число rС входит в систему (2), требуемое утверждение доказано. Так, рассмотренные до сих пор примеры не позволяют ответить на вопрос, существует ли конечно порожденная группа, не являющаяся финитно аппроксимируемой (группы, и Q конечно порожденными не являются). Утвердительный ответ на этот вопрос может быть получен следующим образом. Теорема Г.
Хигмена и Б. и Х. Неймановаутверждает, что произвольная счетная группа изоморфна подгруппе некоторой группы с двумя порождающими элементами.
Отсюда следует, что существует группа, порождаемая двумя элементами, некоторая подгруппа которой изоморфна группе Q. В силу предложения 3 эта группа не является финитно аппроксимируемой. В теории групп для построения новых примеров групп используются различные конструкции, с помощью которых из данных групп строится некоторая новая группа. При этом естественно возникает вопрос, какие свойства исходных групп переносятся на эту новую группу. Здесь нас, разумеется, интересует свойство финитной аппроксимируемости, и в следующем пункте мы рассмотрим с этой точки зрения известную конструкцию прямого произведения групп и обобщающую ее конструкцию декартова произведения групп и построения рядов подгрупп. Глава 2.
Ряды в группах§ 2.
1. Нормальный ряд, субнормальный ряд, центральный ряд. В основе использования рядов подгрупп лежит возможность установить изоморфизм между группами через изоморфизм между элементами их рядов. Конечная система вложенных друг в друга подгруппгруппы G вида E = G0G1 … Gn= G называется субнормальным рядом в группе G, если Gi/Gi+1, i = 0, 1, …, n — 1 (необязательно Gi/Gjпри j > i + 1), есть нормальный делитель, ряд называется нормальным. Число n называется длиной субнормального ряда, группы Gi- субнормальными подгруппами группы G, а фактор-группыGi+1/Gi- факторами этого ряда, i = 0, 1, …, n — 1. Подгруппа Нгруппы G называется субнормальной в G, если Нпринадлежит системе подгрупп некоторого субнормального ряда группы G — читается:"Н- субнормальна в G" :ЕНG. В любой группе существует по крайне мере один нормальный делитель Е, следовательно мы можем утверждать, что в любой группе есть по крайне мере один нормальный элемент. Автоморфизмом группы G называется изоморфноеотображение группы G на себя, т. е. если αАutG, то α: G → G — биективноеотображение, такое что α(Аb) = α(А)α(b), А, bG. Пусть G — неединичная группа и НG. Неединичнаяподгруппа Нназывается минимальной нормальной подгруппой группы G, еслииз E<K<Ни K<G следует, что K = Н. Пусть G — конечная неединичная группа, и Н- минимальная нормальная подгруппа группы G. Тогда Нили элементарная абелева p-группа, или Нявляется прямым произведением изоморфныхнеабелевых простых групп. Если ряд нормальный то фактор группы GестьE/G0, …, Gn/GиGi/G называется факторами нормального ряда, число этих факторов называется длиной ряда (n+1 -длина ряда).Рассмотрим инвариантный ряд: Е = А0А1А2… Аi …Аn =G.Этот ряд называется центральным, если i = 0, 1, …, n фактор-группа.
Аi+1/Аi содержится в центре фактор-группы G/Аi. Если в G, существует хотя бы один центральный ряд, она называется нильпотентной. Перечислим без доказательства ряд свойств нильпотентных групп (их доказательства можно найти в [13]).Группа G называется разрешимой, если ее нормальный ряд конечен, а убывающая цепь коммутантов группы G через конечное число шагов обрывается на единичной подгруппе. Порядок следования подгрупп в рядах может быть восходящим.
Е = G 0 ⊆ G 1 ⊆⋯⊆ G n = G, либо нисходящим G = G 0 ⊇ G 1 ⋯⊇ G n = Е. Восходящий ряд Е = G 0 ⊆ G 1 ⊆⋯⊆ G, имеет наименьший элементG0, но может не иметь максимального элемента, отличного от G. Нисходящий ряд G = G 0 ⊇ G 1 ⊇⋯⊇Е, имеет наибольший элемент Е, но может не иметь наименьшего элемента, отличного от е.Пример. Аддитивная группа ℤ12 обладает изоморфными композиционными (главными) рядами: Н0 = { 0 } < Н1 = { 0, 6 } < Н3 ={ 0, 3, 6, 9 } < ℤ12 и Н0 = { 0 } < Н2 = { 0, 4, 8 } < Н4 = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } < ℤ12.Группа, удовлетворяющая условию «обрыва» возрастающих цепей, называется нётеровой. Это условие означает, что для такой группы не существует бесконечной цепочки подгрупп, возрастающей относительно отношения включения. Соответственно, группа, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей, называется артиновой. Группа может быть нётеровой и не быть артиновой, пример аддитивная группа целых чисел. В отличие от колец, группа может быть артиновой и не быть нётеровой, пример — группа Прюфера. Восходящий ряд.
Е = G 0 ⊆ G 1 ⊆⋯⊆ G, для которого индексное множество есть множество натуральных чисел, есть бесконечный восходящий ряд. Если подгруппы ряда занумерованы порядковыми числами, то получается трансфинитный ряд (счетный), например, ряд.
Е = G 0 ⊆ G 1 ⊆⋯⊆ G ω ⊆ G ω + 1 = G. Аналогично для нисходящих рядов.§ 2.
2. Композиционный ряд.Определение. Субнормальный (нормальный) ряд группы, неимеющий уплотнений, отличных от него самого, называется композиционным (главным) рядом этой группы. Два субнормальных (нормальных) ряда группы Gназываются изоморфными, если их длины равны, а между факторами можноустановить такое взаимно однозначное соответствие, что соответствующиефакторы будут изоморфными группами. Аддитивная группа ℤ12 обладает изоморфнымикомпозиционными (главными) рядами: Н0 = { 0 } < Н1 = { 0, 6 } < Н3 ={ 0, 3, 6, 9 } < ℤ12 и Н0 = { 0 } < Н2 = { 0, 4, 8 } < Н4 = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } < ℤ12, гдеℤ12/Н3 /Н2/Н0, Н3/Н1 /ℤ12/Н4 и Н1/Н0 /Н4/Н2.Лемма. Субнормальный (нормальный) ряд: (1) E = G0 < G1 < …< Gn= Gгруппы G тогда и только тогда будет композиционным (главным), есликаждый его фактор Gi+1/Gi, i{0,1,…, n -1}, является простой группой (Gi+1/Gi┤G/Gi).Пусть ряд (1) является композиционным (главным) рядом группы G. Допустим, что Gi+1/Giимеет нетривиальную нормальную подгруппу НGi/Gi, где.
Н┤Gi+1 (Н┤G), для некоторого i{0,1,…, n -1}. Тогда НGi┤Gi+1 (НGi┤G), икомпозиционный (главный) ряд (1) можно уплотнить: E = G0 < G1 < …< Gi< НGi< Gi+1 < … < Gn= G. Пусть ряд (1) является субнормальным (нормальным) рядом группыG, и каждый его фактор Gi+1/Gi, i{0,1,…, n -1}, является простой группой (Gi+1/Gi┤G/Gi). Докажем, что ряд (1) является композиционным (главным).Так как Gi+1/Gi- простая группа (Gi+1/Gi┤G/Gi), то нормальными подгруппамив группе Gi+1/Gi (G/Gi) являются только Gi+1/Giи Gi/Gi, i{0,1,…, n -1}. Тогданормальными подгруппами в группе Gi+1 (в группе G), заключенными между Giи Gi+1 являются только Giи Gi+1, i{0,1,…, n -1}. Следовательно, ряд (1)уплотнить нельзя. Поэтому ряд (1) является композиционным (главным).Композиционными (главными) рядами обладает каждаяконечная группа. Бесконечная циклическая группа не обладает композиционными (главными) рядами. Так как каждая конечная группа обладает субнормальным (нормальным) рядом, то, уплотняя его, через конечное число шагов получимкомпозиционный (главный) ряд группы. Пусть G = g — бесконечная циклическая группа, тогда каждый еесубнормальный (нормальный) ряд обладает уплотнением, отличным от негосамого. Действительно, подгруппа, стоящая в этом ряду на предпоследнемместе, будет бесконечной циклической, и поэтому между ней и единичнойподгруппой можно вставить дополнительное звено:… < n g 2 < … < 4 g < 2 g < G. Следовательно, G не обладает композиционным (главным) рядом.Теорема.(Шрейер). Всякие два субнормальных (нормальных) рядагруппы обладают изоморфными уплотнениями. Пусть даны два субнормальных (нормальных) ряда группы G: E= G0 < G1 < …< GМ= G (2)E= Н0 < Н1 < …< Нn= G (3)ТаккакGi┤Gi+1 иijGН/1 Gi+1, iиз 0, 1,…, М, jиз 0, 1,…, n. ТогдаGi= Аi0 < Аi1 < …< Аin= Gi+1. Если в ряд (2)между Giи Gi+1 вставить Аij, то получим для ряда (2) уплотнение сповторениями. Теорема (Жордан-Гельдер). Всякие два композиционных (главных).
ряда группы изоморфны. Поскольку каждый композиционный (главный) ряд является уплотнениемсубнормального (нормального) ряда этой группы, то в силу теоремы 7.3 всякиедва композиционных (главных) ряда группы изоморфны.Лемма. Пусть.
Аи B — нормальные подгруппы группы G и B < А. Тогдаи только тогда.
А/BZ (G/B), когда [А, G]B.Пусть.
А/BZ (G/B). Длялюбых.
АBА/BиgBG/Bимеем.
АBgB = gBАB, и значит, АgB = gАB. Умножая слева обе части на А-1g-1, получим, что А-1g-1АgB= B. Отсюда следует, что А-1g-1Аg = [А, g]B для любых.
А из Аи g из G, изначит, [А, G] B. Пусть [А, G]B. Тогда для любых.
А из Аи g из G имеем А-1g-1Аg =[А, g]B, и значит, А-1g-1АgB = B. Умножая слева обе части на gА, получим, что.
АgB = gАBили АBgB = gBАB. Следовательно, АBявляется центральнымэлементом в группе G/B, и значит, А/BZ (G/B).Определение. Нормальный ряд E = G0 < G1 < … < Gn= G называется (верхним) центральным рядом группы G, если Gi+1/Gi Z (G/Gi), i= 0, 1, …, n -1.РядG = L1(G) [L1(G), G] [L2(G), G] … [Li (G), G] … [Ln (G), G] = Eназывается нижним центральным рядом группы G.Определение. Группа G, обладающая (верхним) центральным рядом, называется нильпотентной, а минимальная длина n таких рядов — ступеньюили классом нильпотентности группы G. Каждая абелева группа нильпотентна. Каждая конечная примарная группа нильпотентна. Симметрическая группа S3 неабелева и ненильпотентна. Пусть G — абелева группа. Тогда группа G обладает нормальнымрядом EG, причем G/E G абелева группа, и значит, G/E = Z (G/E). Такимобразом, EG — центральный ряд группы G и абелева неединичная группа Gявляется нильпотентной ступени нильпотентности 1. Единичная группа Eявляется нильпотентной ступени нильпотентности 0.Теорема.
Пусть G — конечная группа. Если фактор-группа G/Ф (G)нильпотентна, то группа G нильпотентна. Пусть М — максимальная подгруппа группы G. Тогда по теореме осоответствии.
М/Ф (G) — максимальная подгруппа группы G/Ф (G). Так какфактор-группа G/Ф (G) нильпотентна, то по теореме 8.1 М/Ф (G) нормальна вG/Ф (G). По теореме о соответствии М┤G и по теореме 8.1 группа Gнильпотентна.Теорема. Пусть G — группа. Тогда:(1) Если.
А и B — конечные нормальные нильпотентные подгруппы группыG, то АB является конечной нормальной нильпотентной подгруппой группы G. Если G — конечная группа, то в G существует наибольшая нормальнаянильпотентная подгруппа, которая называется подгруппой Фиттинга группыG и обозначается через F (G).
Заключение
Понятие группы лежит в основе многих алгебраических теорий так называемых алгебраических систем, их несомненным достоинством является возможность свести изучение бесконечных объектов к конечным (группы — подгруппы — ряды подгрупп), переносить свойства известных структур на мало изученные (морфизмы, ряды и т. д.).Строя отношения между рядами различных (в том числе и по природе элементов) группами, можно получать группы с заранее заданными свойствами или строить объекты, которые этим свойствам удовлетворяют.
Литература
.
Основная1. Белоногов В. А. Задачник по теории групп / В. А. Белоногов. — М.: Наука, 2000. — 239 с.
2. Богопольский О. В.
Введение
в теория групп / О. В. Богопольский. — М.
— Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 148 с. 3. Винберг Э. Б. Курс алгебры / Э. Б. Винберг.
— 2 изд. — М.: Факториал Пресс, 2001. — 544 с. 4. Горенстейн Д.
Конечные простые группы.
Введение
в их классификацию / Д. Горенстейн. — М.: Мир, 1985.
— 352 с. 5. Еловикова Ю. А. Основы теории групп / Ю. А. Еловикова.
— Брянск: Полиграм плюс, 2009. — 56 с. 6. Каргаполов М. И. Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.- 5 изд. — СПб.: Лань, 2009.
— 288 с. 7. Кондратьев А. С. Группы и алгебры Ли / А. С. Кондратьев. — Ектб.: УрО РАН, 2009. — 310 с.
8. Кострикин А. И.
Введение
в алгебру: в 3-х ч. / А. И. Кострикин. -.
3 изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. 9.
Крылов П. А. Упражнения по группам, кольцам и полям / П. А. Крылов, А. А. Туганбаев, А. Р. Чехов. — Томск: ТГУ, 2008. — 482 с. 10. Курош А. Г. Теория групп / А. Г. Курош.-3 изд.
— СПб.: Лань, 2005.- 648 с. 11. Ленг С. Алгебра / С. Ленг.
— М.: Мир, 1968. — 564 с. 12. Ляпин Е. С. Упражнения по теории групп / Е. С. Ляпин, А. Я. Айзенштат, М. М. Лесохин.
— СПб.: Лань, 2010. — 272 с. 13. Монахов В. С.
Введение
в теорию конечных групп и их классов / В. С. Монахов.
— Мн.: Выш. шк., 2006. — 207 с. 14.
Холл М. Теория групп / М. Холл. -.
М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. — 468 с. Дополнительная.
15. Артамонов В. А. Общая алгебра: в 2 т. / В. А. Артамонов, В. Н. Салий, Л. Ф. Скорняков и др. — М.: Наука, 1991. — 480 с.
16. Белоногов В. А. Представления и характеры в теории конечных групп / В. А. Белоногов. — Свердловск: УрО АН СССР, 1990. -.
380 с. 17. Белоногов В. А. Матричные представления в теории конечных групп / В. А. Белоногов, А. Н. Фомин. — М: Наука, 1976. — 126 с.
18. Ведерников В. А. Элементы теории классов групп / В. А. Ведерников. — Смоленск: Смоленский гос.
пед. ин-т, 1988. — 95 с.
19. Глухов М. М. Алгебра: в 2 т. / М. М. Глухов, В. П. Елихаров, А. А. Нечаев. — М.: Гелиос АРВ, 2003. — 416 с.
20. Каморников С. Ф. Подгрупповые функторы и классы конченых групп / С. Ф. Каморников, М. В. Селькин. — Мн.: Беларускаянавука, 2003. — 254 с. 21. Кострикин А. И. Сборник задач по алгебре / А. И. Кострикин.
— 3 изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 464 с. 22. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре / А. Г. Курош.
— 2 изд. — М.: Наука, 1973. -.
400 с. 23. Кэртис Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер. -.
М.: Наука, 1969. — 668 с. 24. Нейман Х. Многообразия групп / Х.
Нейман. — М.: Мир, 1969. — 264 с. 25. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах / А. Ю. Ольшанский. -.
М.: Наука, 1989. — 448 с. 26.
Селькин М. В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп / М. В. Селькин. — Мн.: Беларускаянавука, 1997. — 145 с. 27. Скиба А. Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба. -.
Мн.: Беларускаянавука, 1997. — 240 с. 28. Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры / Л. А. Скорняков. — М.: Наука, 1983.
— 272 с. 29. Чунихин С. А. Подгруппы конечных групп / С. А. Чунихин. — Мн.:. 1964. -.
158 с. 30. Шеметков Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с. 31.
Шеметков Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба. — М.: Наука, 1989. — 256 с. 32. АsСНbАСНerМ. F.
inite group tНeory / М. АsСНbАСНer. — 2 ed.
— САМbridge.
