Неметрическое шкалирование. 
Математические методы в психологии

Подход, предложенный У. Торгерсоном, очевидно, имеет ряд ограничений, определяющих его как избыточно жесткий.

Например, одно из таких ограничений касается эквивалентности оценки расстояний. Пусть мы имеем оценку расстояния от точки А до точки В. Будет ли расстояние от точки В до точки А эквивалентным ему? Если мы имеем дело с физической оценкой расстояний, то ответ кажется очевидным. В случае, когда оценки оказываются субъективными, неэквивалентность оценок оказывается вполне вероятной. Представим себе, что мы оцениваем семантическую близость между двумя видами птиц подобно тому, как это делали испытуемые в упомянутом выше исследовании Е. Смита и др. [26]. Не окажется ли субъективное расстояние, скажем, между канарейкой и страусом больше или меньше субъективного расстояния между страусом и канарейкой? Также, оценивая расстояние от точки А до точки В, не станем ли мы давать разные оценки в ситуации, когда пути движения в одну и другую сторону воспринимаются по-разному по тем или иным обстоятельствам?

Чтобы избавиться от такого рода ограничений метрической модели, был разработан ряд неметрических моделей. Одной из первых таких моделей была модель Шепарда. Суть этой модели состоит в том, чтобы получить метрическое эвклидово пространство на основе неметрических оценок, например, представленных в порядковой шкале. Таким образом, в неметрической модели многомерного шкалирования изначально отсутствует информация о расстоянии между объектами. Обозначается лишь степень сходства между нами. Р. Шепард называет это монотонной функцией расстояния. Целью такой процедуры является получение эвклидова пространства минимальной размерности, в которой расстояния между оцениваемыми объектами оказываются максимально близкими изначально найденным мерам сходства этих объектов.

Дальнейшим развитием подхода, предложенного Р. Шепардом, стали работы Дж. Краскала. Заслуга Дж. Краскала состоит в том, что он разработал процедуру неметрического многомерного шкалирования, позволяющую значительно уменьшать размерность многомерного пространстве. Если подход Р. Шепарда обеспечивал возможность выделения п — 1 измерений при числе объектов, равном п, то процедура, разработанная Дж. Краскалом, давала возможность значительно уменьшить число таких измерений. Фактически решение этой задачи обеспечивается за счет достижения максимальной степени соответствия между монотонной трансформацией имеющихся в распоряжении исследователя данных и искомым многомерным пространством. Для этого Дж. Краскал применил пошаговую понижающую процедуру. Она основана на расчете частных производных для функций, имеющих отношение к каждому исследуемому параметру модели. Эти производные используются в дальнейшем для решения задачи оптимизации искомого решения.

Степень соответствия между полученным решением и структурой данных, которые подверглись анализу, Дж. Краскал обозначил термином «стресс». Эта характеристика представляет собой меру нормализованной остаточной дисперсии, определенной для эвклидовых расстояний и степени имеющихся различий.

Также следует отметить, что процедура многомерного шкалирования, предложенная Дж. Краскалом, позволяет в принципе получить решение не только для эвклидова, но также и для неэвклидова пространства.

Многомерное шкалирование индивидуальных различий

Одно из фундаментальных ограничений рассмотренных выше методов — как метрических, так и неметрических — состоит в том, что они применимы только к одной матрице данных. Если бы мы хотели обработать групповые данные описанными ранее методами, мы могли бы использовать процедуру их усреднения или нам пришлось бы обрабатывать каждую индивидуальную матрицу в отдельности, а затем пытаться сравнить их. Не всегда такой вариант решения проблемы имеет действительный смысл.

Например, если мы попросим группу избирателей оценивать сходство кандидатов, участвующих в выборах, ясно, что структура получаемых данных может оказаться в значительной степени различной. Так же в значительной степени различной может оказаться структура представлений новичков и экспертов в какой-либо области в случае, если мы попросим их оценивать сходство или различие набора понятий, отражающих основное содержание знаний, представленных в данной области.

Для решения этой проблемы была предложена техника многомерного шкалирования, которая позволяет обойти указанное ограничение. Такая процедура получила название многомерного шкалирования индивидуальных различий. Было предложено несколько вариантов этой процедуры.

Первый вариант соединяет процедуру многомерного шкалирования и факторного анализа. Данные одних испытуемых коррелируются с результатами других испытуемых, и получаемая таким образом корреляционная матрица подвергается факторному анализу.

Второй вариант процедуры основан на выделении двух типов индивидуальных различий: в когнитивном стиле и в стилях ответа. Эта процедура определяет индивидуальные различия как нечто среднее между этими двумя крайностями и полностью исключает какое-либо усреднение данных. Таким образом, эта неметрическая процедура позволяет обрабатывать большое число индивидуальных матриц одновременно. Она дает возможность исследователю осуществлять монотонную трансформацию данных отдельно для каждой матрицы или для всех матриц одновременно по выбору самого исследователя. В результате мы имеем единственную многомерную модель для всего массива данных, подлежащих обработке, таким образом исключая фактор индивидуальных различий или же отдельную модель для каждого испытуемого, если индивидуальные различия настолько велики, что единая модель не может быть построена.

Третий вариант процедуры предполагает существование эвклидова пространства свойств, или атрибутов, определяющих индивидуальные различия. Если хотя бы один испытуемый обладает этим атрибутом, соответстующее различие включается в это пространство, образуя одно из его измерений. Таким образом, индивидуальные различия испытуемых оказываются представлены весовыми коэффициентами, определяющими координаты каждого испытуемого в этом пространстве. Если испытуемый не обладает соответствующим свойством, весовой коэффициент для него устанавливается в нулевое значение.

Еще одна группа процедур представлена в алгоритме ALSCAL — alternating least squares scaling. Этот алгоритм по сути консолидирует ранее разработанные подходы и позволяет обрабатывать данные практически любого объема и конфигураци, в частности, он включен в статистический пакет SPSS.