Нахождение первоначального базисного распределения поставок

Одним из возможных методов нахождения первоначального базисного распределения поставок является метод «северо-западного» угла, показанный в следующем примере.

7.2. Найти первоначальное базисное распределение поставок для транспортной задачи 7.1.

Решение. Дадим переменной .г, максимально возможное значение или, иными словами, максимально возможную поставку в клетку (1, 1) — «северо-западный» угол таблицы поставок:, гп =min{60,2?} = 20. После этого спрос 1-го потребителя будет полностью удовлетворен, в результате чего первый столбец таблицы поставок выпадет из последующего рассмотрения (заполненные клетки будем перечеркивать сплошной линией, клетки, выпавшие из последующего рассмотрения, — перечеркивать пунктирной линией (табл. 7.2)). В таблице поставок найдем новый «северо-западный» угол — клетку (1, 2) и дадим в нее максимально возможную поставку. Учитывая, что 1-й поставщик уже отдал 20 единиц груза и у него осталось только 40 = = 60−20 единиц груза, получаем, что xl2 = min{40,110} = 40. После этого мощность 1-го поставщика полностью реализована и из рассмотрения выпадет первая строка таблицы поставок (перечеркиваем сплошной линией клетку (1, 2) и пунктирной линией оставшиеся свободные клетки первой строки). В оставшейся таблице снова находим «северо-западный» угол и т. д. В результате получаем следующее исходное распределение поставок (см. табл. 7.2). >

Таблица 7.2

Число заполненных клеток в полученном распределении оказалось равным т + п — 1=3 + 4−1 = 6, т. е. числу основных (базисных) переменных. Это, конечно, не случайно. Действительно, на каждом шаге (кроме последнего) данного метода из рассмотрения выпадали либо строка, либо столбец, а на последнем шаге и столбец, и строка. Поэтому число заполненных клеток (число шагов) на единицу меньше, чем сумма числа строк и столбцов таблицы поставок, т. е. равно т + п- 1. Оказывается (см. теорему 7.2), что эта особенность шагов метода «северо-западного» угла служит причиной того, что полученное распределение является базисным.

Существенный недостаток метода «северо-западного» угла состоит в том, что он построен без учета значений коэффициентов затрат задачи. С другой стороны, данный метод допускает модификацию, лишенную этого недостатка: на каждом шаге максимально возможную поставку следует давать не в «северо-западную» клетку оставшейся таблицы, а в клетку с наименьшим коэффициентом затрат. При этом распределение поставок оказывается, вообще говоря, ближе к оптимальному, чем распределение, полученное методом «северо-западного» угла. Такой метод получения опорного плана называется методом наименьших затрат. Рассмотрим его на следующем примере.

7.3. Найти методом наименьших затрат первоначальное распределение поставок в задаче 7.1.

Решение. Находим в таблице поставок (см. табл. 7.1) клетки с наименьшим коэффициентом затрат. Таких клеток две — (1, 1) и (2, 1) с коэффициентами затрат, равными 1. Сравним максимально возможные поставки для этих клеток: для клетки (1, 1) хп =ппп{б0,20} = 20; для клетки (2, 1) x2l =min{l20,2?} = 20. Так как они совпадают, то максимально возможную поставку даем в любую из них. Например, даем поставку, равную 20 единицам, в клетку (2, 1). В результате спрос первого потребителя удовлетворен, первый столбец таблицы поставок выпадает из последующего рассмотрения (табл. 7.3).

Таблица 7.3.

!!!

В оставшейся таблице наименьшим коэффициентом затрат обладают две клетки: с12 = си = 2. Сравним максимально возможные поставки для этих клеток: для клетки (1, 2) Х|2 = min{60,110} = 60; для клетки (2, 4) х24 =min{l20−20,110} = 100. Даем поставку в клетку (2, 4), для которой максимально возможная поставка оказалась больше: .г24 = 100. При этом из рассмотрения выпадает вторая строка таблицы поставок (табл. 7.4).

Таблица 7.4

Аналогично, продолжая заполнение таблицы поставок шаг за шагом, получаем xl2 = min{60,110} = 60, х32 = = min{100, 110 — 60) = 50, =min{l00−50,110−100} = 10, *33=mm{l00−60,40} = 40 (табл. 7.5). >

Таблица 7.5.

				по.

Сравним найденное распределение поставок с распределением, полученным для той же задачи по методу «северо-западного» угла (см. задачу 7.2, табл. 7.2). Вычислим для каждого из этих распределений суммарные затраты на перевозку (в денежных единицах):

в задаче 7.2:

в задаче 7.3:

Как и ожидалось, при использовании метода «северо-западного» угла суммарные затраты больше, чем при применении метода наименьших затрат. Таким образом, во втором случае мы находимся, вообще говоря, ближе (по числу необходимых шагов) к оптимуму, чем в первом. Докажем, что распределения, получаемые с помощью указанных методов, являются базисными, и рассмотрим тс особые случаи, которые могут встретиться при использовании этих методов^[1].

Теорема 7.2. Пусть на каждом шаге заполнения таблицы поставок возникает одна заполненная клетка, причем из рассмотрения на каждом (кроме последнего) шаге выпадает либо одна строка, либо один столбец. Тогда переменные, соответствующие заполненным клеткам, можно принять за базисные.

? Из линейной алгебры известно, что если ранг системы линейных уравнений равен г и некоторые г переменных системы выражены через остальные переменные, то эти г переменных можно взять за основные (базисные). Из условия данной теоремы следует, что число заполненных клеток равно т + п — 1, т. е. равно рангу системы (7.4), (7.5) (см. пояснения к методу «северо-западного» угла). Поэтому теорема будет доказана, если показать, что переменные, соответствующие заполненным клеткам, могут быть выражены через переменные, соответствующие свободным клеткам.

Предположим, что переменные заполненных клеток, возникшие на первых t шагах метода, где , можно выразить через переменные, соответствующие свободным клеткам тех строк и столбцов, которые были вычеркнуты (выпали из рассмотрения) на первых t шагах. Пусть на (?+1)-м шаге метода заполнена (/;, <�у)-я клетка и из рассмотрения выпала, например, р-я строка. Выразим переменную из уравнения баланса по р-й строке:

Пусть среди переменных правой части последнего равенства есть переменные клеток, заполненных на одном из первых t шагов. Тогда по предположению их можно выразить через переменные свободных клеток тех строк и столбцов, которые были вычеркнуты на первых t шагах. В случае если на (? + 1)-м шаге из рассмотрения выпал q-и столбец, х следует выразить из уравнения баланса по q-му столбцу. Подобные рассуждения нужно последовательно провести для каждого из шагов заполнения таблицы поставок. ¦

Из теоремы 7.2 следует, что методы «северо-западного» угла и наименьших затрат приводят к базисным распределениям поставок, если на каждом (кроме последнего) шаге из рассмотрения выпадает либо одна строка, либо один столбец.

Рассмотрим теперь те особые случаи, когда на некотором шаге заполнения из рассмотрения выпадают одновременно и строка, и столбец. Укажем, как следует поступать, чтобы метод заполнения по-прежнему удовлетворял условиям теоремы 7.2 и получаемое распределение поставок было базисным.

7.4. Найти первоначальное базисное распределение поставок для следующей транспортной задачи (табл. 7.6).

Таблица 7.6

Решение. Воспользуемся методом «северо-западного» угла. На первом шаге дадим поставку, равную 20 единицам, в клетку (1, 1). В результате будет удовлетворен спрос 1-го потребителя и из рассмотрения выпадет первый столбец. На втором шаге поставку в 10 единиц следует дать в клетку (1, 2). При этом из последующего рассмотрения выпадет и 1-й поставщик (который реализовал остатки своего груза), и 2-й потребитель, полностью удовлетворивший свой спрос. Продолжая использовать метод «северо-западного» угла, мы получим, конечно, заполнение таблицы поставок, по число заполненных клеток окажется меньше, чем число основных (базисных) переменных, равное т + п — 1 = 3 + + 3−1 = 5. Такое распределение не будет базисным, и для продолжения решения распределительный метод будет неприменим. Избежать этого можно, используя следующий искусственный прием.

Разобьем второй шаг на два шага. Допустим, что после поставки в клетку (1,2) из рассмотрения выпадет, например, только первая строка. Для того чтобы вывести из рассмотрения второй столбец, делаем еще один шаг: даем нулевую (фиктивную) поставку в произвольную, но не вычеркнутую клетку второго столбца, например в клетку (2, 2). После таких трех шагов имеем табл. 7.7.

Аналогично можно было допустить, что после второго шага из рассмотрения выпал только второй столбец. Тогда на третьем шаге нулевую поставку следует дать в произвольную, но не вычеркнутую клетку первой строки.

При дальнейшем заполнении таблицы поставок используем метод «северо-западного» угла обычным способом. В результате получаем распределение поставок (табл. 7.8). >

Таблица 7.7

Таблица 7.8

Перечеркнутые сплошной чертой клетки, отвечающие базисным переменным, в дальнейшем будем называть заполненными, несмотря на то что среди них возможны клетки с нулевыми поставками.

Рассмотренный искусственный прием применяется также при методе наименьших затрат, если при использовании этого метода на некотором шаге из рассмотрения выпадают одновременно и строка, и столбец.

• [1] При первом чтении этот материал (с. 132−134) рекомендуется опустить.