Оценка стоимости минерально-сырьевых ресурсов на основе теории нечетких множеств

Теория нечетких множеств дает возможность использования традиционных моделей, показателей с «размыванием» входящих в них параметров. Нечеткие числа используются как инструмент для численного представления нечетких (размытых) величин. Арифметические операции, которые применяются для работы с нечеткими числами, обладают определенными особенностями.

Нечеткие числа задаются с помощью функций принадлежности Цд (х), которые показывают принадлежность х множеству А, т. е. х е А. Например, высокие доходы — нечеткое понятие. Нижняя граница высоких доходов является нечеткой, размытой. Высокие доходы в таких условиях можно представить функцией принадлежности, приведенной на рис. 4.7.

Исходя из приведенной функции, доход 1000 евро в месяц не относится к высокому доходу (рл (1000) = 0); 2000 евро в месяц относится к высокому доходу со степенью принадлежности 0,1 (?"(2000) = 0,1); 5000 евро в месяц — со степенью принадлежности 0,8 (рл (5000) = 0,8); 7000 евро в месяц — степенью принадлежности 1 (??(7000) = 1,0). Таким образом, функция принадлежности количественно отражает степень точности знания или представления о рассматриваемом понятии (например, высоком доходе).

Рис. 4.7. График функции принадлежности «высокий доход» .

В теории нечетких множеств нечеткие числа вводятся как инструмент для численного представления нечетких величин. В настоящем учебнике используются треугольные нечеткие числа, хотя можно использовать и более сложное представление нечетких чисел [14]. Треугольные числа имеют линейные формы левого и правого фронтов функции принадлежности.

Рис. 4.8. Представление душевого дохода в виде треугольных чисел Треугольные числа задаются тройками чисел — левая граница, центр, правая граница (хп х2; х3Х для которых значения функции принадлежности равны соответственно ???) = 0; ?(?2) = 1; ?(?3) = 0. Тогда интервал (xi;x2) определяет левый фронт функции принадлежности треугольного числа, а (х2; х3) — правый фронт.

Обычные арифметические операции расширяются для использования с нечеткими числами. Нечеткая математика позволяет корректно выполнять арифметические операции, сравнивать нечеткие числа, измерять расстояния между этими числами и т. д. Основные арифметические операции с нечеткими числами приведены в прил. 5.

Для того чтобы выяснить, какое из нечетких чисел больше, целесообразно определить расстояние до этих чисел от начала координат. Сопоставление полученных расстояний позволит сделать правильный вывод. Расчет расстояния нечеткого числа А, заданного функцией принадлежности ???) = 0; ??(?2) = 1; ??(?3) = 0, от начала координат определяется по формуле.

Очевидно, что чем больше это расстояние, тем дальше по числовой оси находится число и тем оно больше.

Пример

Необходимо сравнить числа, А (??(10)=|0; Л (Щ) 1; s (17) 0) и В (??(14)=?; В(Щ 1; g (24) 0) (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Графическое отображение сравниваемых нечетких чисел Расстояние от начала координат составит:

для числа А

для числа В

Поскольку Рл <�Рв, можно сделать вывод, что нечеткое число В больше нечеткого числа А.

На основе теории нечетких множеств при отсутствии статистической информации и незнании законов распределения вероятностей можно провести оценку экономической эффективности проектов недропользования и выбрать наилучший. Рассмотрим пример выбора наиболее экономически целесообразного проекта.

Пример

Даны два проекта, для которых известны цены и объемы добычи, а также текущие затраты на добычу полезного ископаемого и капитальные затраты на обустройство месторождения. Исходные данные в форме треугольных чисел приведены в табл. 4.8. Коэффициент дисконтирования равен 5%, т. е. г = 0,05.

Таблица 4.8. Исходные данные для экономической оценки проектов недропользования в условиях нечеткой информации.

Примечание. В таблице для каждого показателя указано три значения, соответствующие треугольному числу и характеризующие его левую границу (l — left); середину (m — middle); правую границу (r -right).

Как очевидно из табл. 4.8, исходные показатели представлены в виде треугольных чисел. Расчеты показателя NPV проводятся по формуле.

где С, — цена за тонну добываемого природного ресурса в год t, представленная треугольным числом; Z, — текущие затраты на тонну добываемого природного ресурса в год t, представленные треугольным числом; Q, — объем добываемого природного ресурса в год t, представленный треугольным числом; К, — капитальные затраты на обустройство месторождения в год с, представленные треугольным числом.

Расчеты NPV для первого месторождения приведены в табл. 4.9. Таким образом, получены границы NPV: NPVt = 1433,71; NPVm = = 1836,23; NPVr - 1912,78. В результате расчетов NPV для второго проекта недропользования получены следующие результаты: NPV,= = 1150,16; NPV", = 1317,78; NPVr = 2018,31.

Таблица 4.9. Расчет NPV для первого проекта недропользования.

Рис. 4.10. Результаты нечетких расчетов NPV для рассматриваемых проектов недропользования Для того чтобы определить, какое из двух полученных треугольных значений NPV больше (рис. 4.10), необходимо рассчитать расстояния полученных значений от начала координат.

Для первого проекта получаем следующее значение расстояния:

Для второго проекта.

Поскольку р, > р2, т. е. NPV первого проекта выше, то первый проект предпочтительнее второго.

Цены на минеральное сырье должны быть определены для каждого вида полезного ископаемого и для каждого года прогнозного периода проекта. Цена, как правило, является основным фактором изменения стоимости в денежных потоках.

Прогноз денежных потоков может быть сделан без учета инфляции (в реальном денежном выражении) или с учетом инфляции (в номинальном денежном выражении). Как правило, это решение определяется корпоративной политикой.

Оценки стоимости для производственных целей имеют тенденцию выполняться в реальном исчислении. Оценки для финансовых целей обычно выполняются в номинальном выражении для того, чтобы правильно оценить номинальную стоимость финансирования, коэффициенты покрытия и налоговые выплаты.

Прогноз денежных потоков может быть сделан с учетом и без учета долгов. Как правило, это решение определяется корпоративной политикой. Если оценка стоимости проводится в целях определения технической целесообразности проекта, то расчет обычно производится без учета долгов. Для оценки реализуемых проектов расчеты проводятся в предположении наличия долгов и в них учитываются расходы по погашению долга и процентов по кредиту.

Пример

Расчет стоимости золоторудного месторождения, функционирующего с 2012 по 2032 г., методом дисконтированных денежных потоков в соответствии с требованиями CIMVAL приведен в табл. 4.10. Чистая приведенная стоимость золоторудного месторождения составляет 58,7 млн долл.