Балансовая модель В. Леонтьева

В данном параграфе описана модель общего равновесия, которая в равной степени применима как к рыночной экономике, так и к любому другому типу экономических систем. Предполагается, что спрос потребителей на продукты задан и не зависит от цен продуктов, а спрос производителей на ресурсы также не зависит от их цен. В этом случае цены не играют существенной роли в экономике, а поэтому в рассматриваемой модели они даже не принимаются во внимание.

Поскольку модель лишена механизма рыночного ценообразования, она не содержит также и механизма саморегуляции экономики, который заставляет ее стремиться к оптимальному, равновесному состоянию. Предполагается, что в данном случае для достижения равновесия необходимо целенаправленное воздействие со стороны государства. Такая модель является теоретической основой для принятия управленческих решений, поскольку она позволяет рассчитать оптимальные значения регулируемых экономических показателей при любых заданных значениях неуправляемых, экзогенных показателей. Автор модели — американский экономист русского происхождения В. Леонтьев, награжденный Нобелевской премией по экономике за разработку метода «затраты—выпуск».

Рассмотрим две взаимосвязанные отрасли. Отрасль здесь является экономическим (необязательно рыночным) субъектом, производящим однородный продукт из нескольких ресурсов. Подчеркнем, что в данном случае блага не разделяются на продукты и ресурсы. В практической жизни продукты часто служат ресурсами, и наоборот. Например, молоко является продуктом для фермера, но ресурсом для молокозавода. Чтобы упростить описание модели, назовем первую отрасль «шахтой» (имеется в виду угледобывающая промышленность), а вторую отрасль — «электростанцией» (электроэнергетика). Обозначим через а у расход /-го ресурса (продукта) при производстве единицы у-го продукта (ресурса). Матрицу.

называют матрицей прямых затрат, или матрицей технологических коэффициентов. В ней определенную особенность имеют элементы с равными индексами. Так, например, показатель а равен величине затрат угля при производстве 1 тугля. Как это понимать? Просто часть добытого угля расходуется непосредственно на шахте для производственных целей: подогрева воды, выработки тепла и пара и т. д. Если, например, величина а_и равна 0,1, то 10% добытого угля расходуется на шахте. Эти затраты представляют собой внутренний производственный спрос отрасли на свой продукт. Понятно, что для нормального функционирования экономики элементы матрицы прямых затрате равными индексами должны быть меньше единицы.

Назовем выпуск продукта в /-й отрасли валовым выпуском и обозначим через Qj. Назовем товарным выпуском и обозначим через Z), фиксированный спрос потребителей на продукт /-й отрасли. Поскольку помимо потребительского спроса на этот продукт обычно имеется также производственный (внутренний и внешний) спрос, то валовой выпуск продукта больше товарного выпуска:

Состояние экономики, в котором потребительский и производственный спрос на каждый продукт удовлетворяется полностью и при этом не производится ни одной лишней единицы какого-либо продукта, называют сбалансированным.

Важнейшим предположением модели Леонтьева является предположение о линейной зависимости между выпуском и расходом используемых ресурсов. Иными словами, предполагается существование постоянного эффекта от масштаба производства во всех отраслях экономики. Соответственно рассматриваемую модель называют линейной балансовой моделью, или моделью межотраслевого баланса.

Выведем уравнение баланса для первого ресурса (угля). Поскольку его расход пропорционален валовому выпуску продукта, то объем расходуемого на шахте угля равен яц (?1, т. е. коэффициентом пропорциональности здесь служит величина прямых затрат а_и, а уголь выступает одновременно и как ресурс, и как продукт. Аналогично расход угля на электростанции равен a_{t 2}02;

Баланс при производстве угля достигается в том случае, когда валовой выпуск угля за вычетом производственных расходов в точности равен товарному выпуску, т. е. спросу на него со стороны потребителей:

Аналогично выводится уравнение баланса для второго ресурса (электроэнергии):

Мы получили систему двух линейных уравнений (13.17) и (13.18), в которых неизвестными являются валовые выпуски отраслей. Данная система уравнений задает количественные соотношения между технологическими коэффициентами, выпусками и объемами спроса в условиях сбалансированного (равновесного) функционирования экономики. На рис. 13.2 изображены материальные потоки, которые должны быть сбалансированы либо путем рыночного саморегулирования, либо с помощью прямого государственного вмешательства.

Рис. 13.2. Балансовая модель В. Леонтьева.

Обобщим систему уравнений Леонтьева (13.17), (13.18) на случай произвольного числа отраслей. Для этого запишем ее следующим образом:

Мы видим, что матрица коэффициентов этой системы представляет собой разность единичной матрицы и матрицы прямых затрат. Тогда наша система запишется в виде простого матричного уравнения:

где Е — единичная матрица (диагональные элементы равны единице, остальные — нулю), Q — вектор валовых выпусков, D — вектор товарных выпусков (объемов спроса).

При заданных прямых затратах и объемах спроса матричное уравнение (13.19) имеет единственное решение за исключением случаев, когда определитель матрицы Е-А равен нулю. Однако единственность решения не означает существование общего равновесия. В случае, когда хотя бы один из рассчитанных валовых выпусков оказывается отрицательным, сбалансированного (равновесного) состояния экономики не существует.

Пример 1. В табл. 13.4 заданы матрица прямых затрат и товарные выпуски отраслей (выпуск шахты выражается в тоннах, электростанции — в киловатт-часах). Найдем валовые выпуски продуктов в условиях сбалансированности экономики.

Таблица 13.4

Модель В. Леонтьева: прямые затраты и спрос.

Подставим данные примера в систему уравнений (13.19):

Ее решение: 20 и 15. Следовательно, в сбалансированном состоянии экономики производится 20 т угля, при этом на шахте расходуется 0,3×20 = 6 т, на электростанции — 0,6×15 = 9 т, а остальной уголь потребляется домохозяйствами. Выпуск электроэнергии равен 15 кВт ч, при этом на электростанции расходуется 0,2×15 = 3 кВт ч, на шахте — 0,1×20 = 2 кВт ч, а остальная электроэнергия потребляется домохозяйствами.

Исследуем уравнение Леонтьева (13.19). Предположим, что матрица Е—А имеет обратную матрицу С, т. е. произведение двух данных матриц равно единичной матрице. Тогда наше уравнение запишется еше проше:

Матрицу С называют матрицей полных затрат. Зная ее элементы, можно легко рассчитать равновесные валовые выпуски отраслей при любых заданных объемах потребительского спроса. Выясним экономический смысл элементов матрицы полных затрат, для этого выберем некоторый продукт с номером /. Из уравнения (13.20) следует, что валовой выпуск /-Й отрасли выражается через коэффициенты полных затрат и объемы потребительского спроса:

Предположим теперь, что спрос нау-й (другой) продукт изменился на A Dp а спрос на остальные продукты не изменился. Тогда, согласно формуле (13.21), для достижения сбалансированности в экономике валовой выпуск /-й отрасли должен быть изменен на величину

Отсюда следует, что полные затраты Су равны приросту валового выпуска /-го продукта при увеличении потребительского спроса на у-й продукт на единицу в условиях сбалансированного функционирования экономики:

Если полные затраты Су равны нулю, то изменение спроса на у-й продукт вообще не потребует изменения валового выпуска /-го продукта. Чем больше величина Су> тем большее влияние оказывает изменение товарного выпуска у-го продукта на вазовой выпуск /-й отрасли.

Особый интерес представляет случай, когда изменяется спрос на продукт исследуемой отрасли, т. е. когда / равно у. Вернемся к упрошенной модели с двумя отраслями. Предположим, что потребительский спрос на уголь увеличился на 1 т. Производство этой тонны вызовет увеличение внутренних производственных расходов угля на шахте на величину ац. Таким образом, валовой выпуск шахты в условиях сбалансированности экономики увеличится не менее чем на 1 + а Отсюда следует важный теоретический вывод: увеличение на единицу потребительского спроса на продукт вызывает увеличение его валового выпуска на величину, большую единицы, т. е. элементы матрицы полных затрат с равными индексами (ее диагональные элементы) больше единицы.

Полные затраты отражают сложнейшие взаимозависимости между отраслями экономики, и в этом состоит важное теоретическое и практическое значение модели Леонтьева. Вернемся к нашему примеру, когда товарный выпуск угля увеличился на единицу. Если матрица полных затрат неизвестна, получить точную оценку общего прироста валового выпуска чрезвычайно сложно. Модель Леонтьева позволяет достаточно легко рассчитать точное значение этого прироста, равное С_и.

Балансовая модель Леонтьева, в отличие от большинства микроэкономических моделей, широко используется на практике. Это обусловлено тем, что коэффициенты полных затрат можно рассчитать с использованием современных вычислительных средств даже при огромном числе рассматриваемых отраслей, а коэффициенты прямых затрат учитываются официальной статистикой многих стран.

Пример 2. Используя данные примера 1, рассчитаем элементы матрицы полных затрат. Запишем матрицу Е—А и найдем ее определитель:

Рассчитаем элементы матрицы полных затрат, используя формулы обращения матрицы:

Из полученных данных, в частности, следует, что в сбалансированной экономике для увеличения объема потребительского спроса на уголь на 1 т следует увеличить валовой выпуск этого продукта на 1,6 т. Умножив матрицу полных затрат на заданный вектор чистых выпусков, получим вектор валовых выпусков (20; 15).