Понятие о многокритериальном анализе

Как было показано выше, задачи развития ЭЭС, как правило, являются многокритериальными, отчего поиск оптимального решения существенно затрудняется. Разработке методов оптимизации в условиях многокритериальное™ посвящено много работ. Успех оптимизации во многом зависит от сопоставимости критериев. Можно представить три типа их сопоставимости: количественный, качественный и несопоставимый.

В первом случае возможно применение метода скаляризации, когда несколько критериев можно заменить одним скалярным:

Наибольшую проблему составляет определение коэффициентов ау, с помощью которых удается сопоставить различные критерии. Например, в формуле приведенных затрат 3 = ^"КIИ такими коэффициентами являются Е_н и 1. Однако случаи, когда критерии выражаются в одинаковых единицах измерения, редки. В этих случаях удобнее предварительно приводить их к безразмерному виду. Это можно сделать различными способами. Наиболее часто используется выражение критериев (точнее, функционалов цели) в долях от некоторой базисной величины (нормирование).

В качестве базисной величины обычно выбирают максимальное наблюдаемое значение F_J max. Тогда нормированные значения определяются по формуле Fj _н = Fj/Fj _max. Можно в качестве базисной величины брать среднее из наблюдаемых значений Fj = m^_1 X™ _г F^j. Тогда нормированные значения будут рассчитываться по формуле.

'5.-1',/^.

Также нередко сначала осуществляется центрирование наблюдаемых значений (вычитание из них средней арифметической величины для всех наблюдаемых), а затем нормирование относительно размаха колебаний, т. е. разности максимального и минимального значений AF = Fj _max — Fj _min. В этом случае нормирование выполняется по формуле.

После нормирования скалярный критерий выражается формулой.

В выражении (36) все величины безразмерные. Нетрудно также показать формулы перехода от записи (36) к (34) для всех введенных выше случаев.

Коэффициенты pj подбираются гак, чтобы выполнялось условие.

В этом случае коэффициенты р_; называют весовыми коэффициентами критериев. Чем больше величина весового коэффициента, тем более важным считается критерий. Для определения весовых коэффициентов часто применяются методы экспертных оценок, при этом весовые коэффициенты определяются экспертами. Обычно экспертам предлагают задать «вес» наиболее важного критерия равным единице, а остальным — по убывающей шкале. Тогда заданные экспертно веса вj, j — 1, п , легко приводятся к виду (37) по формуле.

Отдельную проблему составляет обработка оценок отдельных экспертов и организация работы экспертов. Эти вопросы изложены в работах [1,5].

Второй случай — качественной сопоставимости критериев — относится к ситуации, когда невозможно задать весовые коэффициенты критериям, но можно проранжировать их по степени убывания важности. Обычно такое ранжирование также осуществляется экспертами.

Возможность оптимизации в этом случае обеспечивается неопределенностью информации, создающей предпосылки существования так называемых вероятно-оптимальных планов. Неопределенность информации может быть объяснена следующими причинами:

• 1) неопределенностью прогноза внешних условий развития;
• 2) погрешностью моделирования функционала цели;
• 3) погрешностью модели, возникающей как результат агрегирования и приближенности моделирования связей;
• 4) погрешностью метода решения;
• 5) погрешностью реализации решения.

Указанные погрешности приводят к существованию не единственного, а множества планов, не различающихся по критерию оптимальности, т. е. вероятно-оптимальных планов. Тогда при качественной сопоставимости критериев и их ранжировании по степени важности в виде ряда Fj > F₂ > ••• > F_n можно использовать для оптимизации метод предпочтений. Схема расчета выглядит следующим образом.

• 1. Формируется множество планов S, допустимых по всем критериям (см. рис. 10).
• 2. На этом множестве осуществляется однокритсриальная оптимизация по наиболее важному критерию F_x и определяется множество вероятно-оптимальных планов /?_а.
• 3. На множестве выполняют оптимизацию по критерию F₂, определяя множество планов R₂.
• 4. Этот процесс продолжается либо до рассмотрения последнего критерия, либо до некоторого критерия Fj, множество вероятнооптимальных планов которого неразличимо по критерию F_;+1.

Наиболее сложным является случай, когда критерии как количественно, так и качественно несопоставимы. Основополагающим принципом сопоставления в этой ситуации является принцип Парето. Принцип Парето заключается в следующем: альтернативы (варианты) считаются неразличимыми по оптимальности, если ни одну из них при переходе к любой другой нельзя улучшить ни по одному из критериев, не ухудшив хотя бы по одному из остальных.

Лучше всего принцип Парето показывается путем попарного сравнения альтернатив. Рассмотрим в качестве примера четыре альтернативы (№ 1 -4) и два критерия (см. рис. 11), оценки по которым минимизируются (Fj -> min, F₂ -* min).

Как видно из рис. 11, при переходе от альтернативы 1 к альтернативе 2 оценки по обоим критериям улучшаются, следовательно, вариант 1 не удовлетворяет принципу Парето и должен быть исключен из дальнейшего рассмотрения. При сопоставлении альтернатив 3 и 4 видим, что переход к альтернативе 3 сопровождается улучшением оценки по критерию F_x без ухудшения по критерию F₂. Следовательно, вариант 2 также должен быть исключен. При сравнении альтернатив 2 и 3 видим, что ни одну из них нельзя улучшить по любому из критериев, нс ухудшив по другому. Следовательно, альтернативы 3 и 4 удовлетворяют принципу Парето и считаются равнооптимальными.

Множество равнооптимальных альтернатив, удовлетворяющих принципу Парето, называется множеством Парето, или множеством компромиссов.

Во многих задачах развития ЭЭС приходится иметь дело с бесконечными множествами альтернатив (в частности, имеющими мощность континуума), когда оценки по критериям при непрерывном изменении параметров управления изменяются также непрерывно.

Рис. 10. Оптимизация с использованием метода предпочтений.

Рис. 11. Пример применения принципа Парето для дискретного множества альтернатив.

В этих случаях практически невозможно реализовать попарное сравнение альтернатив. Однако и в таких ситуациях нетрудно получить простые правила выделения множества компромиссов.

Рассмотрим эти правила на примере с двумя критериями [3]. Пусть множество допустимых альтернатив непрерывно и ограничено замкнутой кривой, изображенной на рис. 12. Рассмотрим любую альтернативу, принадлежащую этому множеству, например, альтернативу 1. Очевидно, эту альтернативу можно улучшать, двигаясь в направлении вектора, лежащего в третьем квадранте, причем улучшение альтернатив будет продолжаться до тех пор, пока мы нс достигнем границы множества (альтернатива 2). Таким образом, мы показали, что множество компромиссов принадлежит границе допустимого множества альтернатив.

Дальнейшего улучшения можно добиться, двигаясь вдоль границы допустимого множества, пока вектор, касательный к траектории движения, по-прежнему находится в третьем квадранте. В нашем случае это можно сделать до тех пор, пока мы не достигнем точки Ь, точки, в которой касательная к границе параллельна одной из осей координат критериев. Как видно из рис. 16, в третьем квадранте с вершиной в точке b нет ни одной допустимой точки, кроме точки Ь.

Рис. 12. Пример выделения множества компромиссов в непрерывном случае.

Нетрудно провести аналогичные рассуждения, выделив точку а границы множества как точку, в которой касательная к границе параллельна другой координатной оси (проделав, например, путь 3 — 4 — а). В рассматриваемом примере подобными свойствами обладают также точки с и d. Нетрудно также видеть, что точки, лежащие на дугах ab и cd, образуют множество компромиссов. Любая из них является единственной принадлежащей допустимому множеству для точек третьего квадранта с вершиной в рассматриваемой точке.

Хотя теоретически альтернативы, удовлетворяющие принципу Парето, должны рассматриваться как равнооптимальные, однако существуют возможности практического сопоставления и дальнейшего отсеивания таких альтернатив. Такая возможность была бы очень привлекательной, т. к. часто количество альтернатив в множестве компромиссов оказывается слишком большим и желательно его сократить. А главное, в конечном счете ЛПР все равно должно сделать единственный выбор. Такого рода анализ альтернатив внутри множества компромиссов носит название вторжения во множество компромиссов. Ниже рассмотрим лишь один метод такого анализа, называемый методом районирования решений (альтернатив) в пространстве критериев [3].

Рассмотрим сопоставление двух альтернатив В1 и В2, удовлетворяющих принципу Парето, при трех критериях F_ls F₂ и F₃.

Образуем скалярный критерий вида.

Проблема заключается в том, что нам неизвестны весовые коэффициенты pj. Более того, в соответствии с принципом Парето, при одних значениях весовых коэффициентов наилучшим может оказаться один вариант (F_B1 < F_B2), а при других — другой (F_B2 < F_B1). Определим соответствующие множества коэффициентов {р}. В случае трех критериев эти множества можно наглядно проиллюстрировать.

Поскольку р₃ = 1 — р_г — р₂, то можно записать вместо формулы (38).

Определим критические значения р_1к и р_2к, при которых оценки по скалярному критерию F сравниваются. Очевидно, что для этого случая можно записать F_B1 = F_B2, т. е.

После короткого преобразования имеем.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 13. Пример применения метода районирования решения.

Условию (40) можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Множество всевозможных сочетаний весовых коэффициентов изображается прямоугольным треугольником в осях pj и р₂ (рис. 13), ограниченным координатными осями (катетами), и отрезком, соединяющим точки с координатами (1,0) и (0,1) (гипотенузой). Из условия (38) началу координат соответствует значение р₃ = 1, а точкам, лежащим на упомянутой выше гипотенузе, р₃ = 0. Линии равных значений р₃ — эго отрезки, параллельные гипотенузе (на рис. 13 показаны пунктиром для р₃ = 0; 0,5).

Уравнение (40) является уравнением прямой в координатах р_х и р₂, все точки которой имеют одинаковые оценки вариантов по скалярному критерию. Очевидно, что для полуплоскости, находящейся по одну сторону прямой F_B1 = F_B2, выполняется условие эффективности варианта 1: F_B1 < F_B2, а для другой полуплоскости — варианта 2: F_B1 > F_B2 (на рис. 17 ввиду общей формы записи эти оценки показаны произвольно). Нетрудно видеть, что зона эффективности варианта 1 определяется множеством весовых коэффициентов, ограниченным многоугольником bede, а для варианта 2 — треугольником abc. Сопоставляя площади этих зон, можно делать выводы о степени предпочтительности выбора того или иного варианта.

Положение прямой, разделяющей зоны, нетрудно определить, найдя точки ее пересечения с координатными осями (точки b и /). В этих точках значения всех критериев, кроме одного, равны нулю. В нашем случае это сведется к необходимости решения следующих уравнений:

для точки /: p_lK(F_n — F₁₃ — F₂₁ + F₂₃) = F₂₃ — F₁₃;

для точки b: p_2K(F₁₂ — F₁₃ — F₂₂ + F₂₃) = F₂₃ — F₁₃, что вытекает из условия (40).

Изложенный подход нетрудно распространить на произвольный случай любого числа критериев и сопоставляемых альтернатив.

Выше были показаны лишь некоторые особенности проведения многокритериального анализа. Однако сложность задач развития электроэнергетики, многообразие субъектов СУ в энергетике и их интересов приводят к тому, что многокритериальный анализ нельзя сводить лишь к некоторой совокупности формальных процедур. Его необходимо представлять в виде системы формирования и анализа условий развития и вырабатываемых на этой основе решений, включающих следующие основные направления:

• 1) выполнение агрегирования информации, адекватного поставленным задачам. Для этих целей перспективным является применение методов таксономии и распознавания образов;
• 2) поиск компромиссных решений на основе согласования интересов субъектов СУ. При этом перспективно применение методов ситуационного анализа, в частности решающих матриц;
• 3) анализ влияния факторов риска на принимаемые решения, в первую очередь финансовых и экологических рисков;
• 4) исследование устойчивости решений по отношению к изменению расчетных условий;
• 5) нахождение областей эффективности альтернатив.

Сложность поставленных задач требует обращения к качественно новым способам анализа. К таким способам, в частности, относится применение имитационного моделирования, которое во многом вытесняет доминирование чисто оптимизационного моделирования (математического программирования), характерного для задач централизованного планирования. Перспективным направлением также следует назвать разработку принципиально новых процедур представления информации в виде нечетких множеств и принятия решений на основе применения теории нечетких множеств и отношений (свидетельств), в том числе с использованием понятий лингвистических переменных.