Определение доходности и риска портфеля ценных бумаг

Оценка эффективности портфеля проводится на основе сравнения характеристик портфеля с характеристиками рынка в целом. В качестве аналогов рыночного портфеля используется какой-либо индекс, например индекс ММВБ в России, а в США индекс 5&Р500 (фондовый рыночный индекс Standard&Poors 500). S&P500 находится из средневзвешенной величины курсов акций 500 наиболее крупных компаний США.

Введем следующие обозначения:

а_рЧ — доходность портфеля за период t;

^атч ~ доходность аналога рыночного портфеля за период t;

a_t — безрисковая ставка за период t;

Dt^{= а}рп ~ ^at~ избыточная доходность портфеля за период t ^xt ~ ^атч ~ ^at~ избыточная доходность аналога рыночного портфеля за период t.

Полученные в результате анализа точки можно построить в прямоугольной декартовой системе координат, где, но оси абсцисс откладываются значения избыточной доходности аналога рыночного портфеля х, а по оси ординат — значения избыточной доходности портфеля y_t (рис. 4.24).

Рис. 4.24. Функция регрессии избыточной доходности портфеля от избыточной доходности аналога рыночного.

портфеля Эти две переменные x_t и y_t — случайные величины. В теории корреляционно-регрессионного анализа две такие переменные можно связать соотношением.

где f (^xt) ⁼ yх — детерминированная функция регрессии от x_t — остатки, или возмущение в точке х, являющееся случайной величиной.

Как правило, считают, что функция регрессии эффективности портфеля — линейная от эффективности рынка, т. е.

где а_р — координата пересечения функции регрессии с осью y_t, Р = tg0 — бета портфеля (см. рис. 4.24). Если а_р = 0, а угол 0 = 45°, то характеристики портфеля в среднем соответствуют рыночным, а р = tg45° = 1. Коэффициенты уравнения регрессии определяются формулами.

где.

Часто формулу для бета портфеля записывают в виде.

где а_ху — ковариация случайных величин x_t и у,', <�т| — дисперсия случайной величины x_t. Действительно, имеем следующие тождества.

Подставив эти выражения в (4.2), получим (4.7). Рассчитаем функцию средней доходности портфеля от параметров функции регрессии. Предварительно найдем формулу для среднего значения избыточной доходности портфеля y_t. Для этих целей используем второе уравнение (4.1):

Так как коэффициенты регрессии (4.2) и (4.3) вычисляются по методу наименьших квадратов, то = 0.

Из определения избыточной доходности портфеля и избыточной доходности аналога рыночного портфеля следует.

где а_р — средняя за исследуемый период доходность портфеля; а — средняя за исследуемый период доходность безрискового актива; а_т — средняя за исследуемый период доходность рынка.

Подставив два последних выражения в предыдущее, получим.

Отсюда находим.

Качество управления портфелем может быть оценено с помощью модели Security Market Line, SM (апостериорная рыночная линия портфеля ценных бумаг). Если в (4.8) положить а._; = 0, то получим так называемый эталонный портфель. Доходность эталонного портфеля определяется соотношением.

где а_ЭТ — средняя за исследуемый период доходность эталонного портфеля.

Вид апостериорной SML показан на рис. 4.25.

Рис. 4.25. Апостериорная рыночная линия портфеля ценных

бумаг (SLM)

Доходность портфеля — линейная функция от р. При увеличении (3 доходность увеличивается. Кроме того, известно, что доходность актива увеличивается при увеличении риска. Поэтому коэффициент бета можно представить как показатель риска. При Р = 1 из (4.8) получим a._JT=a_nr г. е. доходность эталонного портфеля равна доходности рынка. В этом случае пишут р = р_т = 1. Считают, что при р = 1 уровень риска средний, при р 1 — высокий.

Одна из мер качества управления портфелем — коэффициент функции регрессии а_р. В частности, этот коэффициент можно найти как разность между средней доходностью портфеля а_р (4.8) и доходностью эталонного портфеля сс_ш

(4.9), т. е.

Коэффициент а_р называется апостериорная альфа.

Все сказанное о коэффициенте бета относится к портфелю ценных бумаг. Однако вся приведенная выше теория справедлива и для одной ценной бумаги. Например, можно говорить о коэффициенте бета апостериорной альфа акции и по анализу этих характеристик принимать те или иные инвестиционные бумаги. Например, для акций, у которых р < 1, доходность меньше среднерыночной. Если, а < 1, то существует такое (3, для которого доходность акции равна нулю.

Анализ портфеля проведем на примере.

Пример 4.2. В табл. 4.1 приведены периодические значения доходностей за квартал в процентах исследуемого портфеля, рыночного портфеля и безрискового актива за 16 кварталов (4 года) [20]. Определите Р и, а портфеля и постройте функцию регрессии портфеля. Проведите анализ портфеля.

Таблица 4.1

Решение. Средние доходности за квартал исследуемого портфеля, рыночного портфеля и безрискового актива находим, используя последнюю графу табл. 4.1:

Подставив полученные значения в формулу (4.9), получим выражение для доходности эталонного портфеля от коэффициента бета, т. е. выражение для апостериорной SML:

График этой зависимости представлен на рис. 4.26.

Средняя избыточная доходность за квартал исследуемого и рыночного портфелей.

Расчет величин можно выполнить по результатам табл. 4.2.

Рис. 4.26. Графики зависимостей доходностей эталонного портфеля и исследуемого портфеля от коэффициента бета

Таблица 4.2

Воспользовавшись результатами, приведенными в табл. 4.2, получим.

Ковариация рыночного и исследуемого портфелей.

Дисперсия рыночного портфеля.

Подставив эти значения в (4,7), получим значение бета исследуемого портфеля.

Средняя бета рыночного портфеля равна единице. Так как средняя бета исследуемого портфеля больше средней бета рыночного портфеля, то можно сделать вывод о том, что менеджер исследуемого портфеля был относительно агрессивен.

Альфа портфеля может быть найдена по формуле (4.3), т. е.

Так как альфа портфеля отрицательна, т. е. доходность исследуемого портфеля ниже доходности рыночного портфеля, то управление данным портфелем рассматривается как неэффективное.

Функцию доходности исследуемого портфеля от коэффициента бета найдем, подставив в (4.8) полученные значения:

График доходности исследуемого портфеля от бета портфеля представлен на рис. 4.26 вместе с апостериорной SML.

Функцию регрессии портфеля найдем, подставив в (4.1) значения для альфа и бета портфеля:

График этой функции представлен на рис. 4.27.

Построенная в рассмотренном выше примере регрессионная модель нуждается в проверке ее соответствия реальным статистическим данным. При оценке качества функции регрессии проверяются значимость коэффициентов уравнения, степень тесноты взаимосвязи исследуемых случайных величин х_t и y_t, качество подбора формы кривой. В общем виде функция f (x_t) = у_х может иметь самый различный вид. В пашем случае в качестве этой функции выбрана прямая линия (4.1).

Рис. 4.27. Функция регрессии.

Значимость коэффициентов регрессии а_р, |3 проверяется по критерию Стьюдента. Эти коэффициенты признаются значимыми с заданной вероятностью, если выполняются неравенства

где.

Значение t₀ выбирается из таблицы t-критерия Стыоденга для доверительной вероятности F — 1 — а и числа степеней свободы Т — 2, где Т — объем выборки. При выполнении неравенства (4.11) коэффициент считается значимым с вероятностью F. Здесь а — уровень значимости.

Тесноту взаимосвязи двух случайных величин x_t и y_t проверяют при помощи коэффициента корреляции.

где.

Коэффициент корреляции лежит в пределах -1 < г < 1. При значении коэффициента корреляции, близком 1 или -1, — связь сильная, нулю — слабая.

Значимость коэффициента корреляции с доверительной вероятностью F = 1 — а определяется с помощью^{-критерия} Стьюдента по формуле.

где Количество степеней свободы равно Т — 2.

Величина г² называется коэффициентом детерминации. Чем больше г², тем лучше выбранная функция аппроксимирует фактические данные. В нашем случае коэффициент детерминации показывает ту часть изменений избыточной доходности исследуемого портфеля за заданный интервал времени, которая связана с изменениями избыточной доходности рыночного портфеля.

Коэффициент неопределенности находится по формуле.

Коэффициент неопределенности показывает часть изменений избыточной доходности исследуемого портфеля, которая не связана с изменениями избыточной доходности рыночного портфеля.

Качество подбора формы кривой оценивается по критерию Дарбина — Уотсона. Для этого проводится анализ остатков

Если модель функции регрессии адекватна форме подобранной кривой, то соседние значения остатков независимы друг от друга. Эта независимость проверяется с помощью критерия Дарбина — Уотсона:

По таблице Дарбина — Уотсона для заданной доверительной вероятности F = 1 — а определяют критические границы, позволяющие вынести суждение о наличии автокорреляции (рис. 4.28). Задавшись уровнем значимости, а и зная количество комбинаций Т, находят из таблицы значения d_n, d_v.

Рис. 4.28. Границы Дарбина — Уотсона, позволяющие вынести суждение о наличии автокорреляции

При d_v 4 — d_v автокорреляция остатков отсутствует. При dnnd>4 — d_n автокорреляция имеет место. Если обнаружена существенная автокорреляция остатков, то следует пересмотреть форму выбранной кривой.

Пример 4.3. Используя данные примера 4.2, проверить полученные в этом примере результаты на адекватность реальным статистическим данным, рассчитайте коэффициенты корреляции, детерминации и неопределенности.

Решение. Результаты расчета представлены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

По формулам (4.14), (4.13) и (4.12) находим.

Из таблицы^{-распределения} Стыодента для числа степеней свободы v = 16 — 2 = 14 имеем при ?₀ = 1,3; F = 0,89 и при t₀ = 6,6; F= 0,99 999. Таким образом, как следует из (4.11), коэффициент а_р принимается значимым с вероятностью 0,89, а коэффициент р — 0,99 999.

Для расчета коэффициента корреляции по формулам (4.15) найдем дисперсии (исходные данные приведены в табл. 4.2):

Подставив полученные значения и а_Х1/, рассчитанное в предыдущем примере, в (4.15), получим.

Отсюда следует, что связь между избыточной доходностью исследуемого и рыночного портфеля высокая.

Для нахождения значимости коэффициента корреляции определим.

Так как ?₀ = 6,6 при F = 0,99 999, то как следует из соотношения (4.11), коэффициент корреляции можно считать значимым с вероятностью 0,99 999.

Коэффициент детерминации:

Коэффициент неопределенности находим по формуле (4.18):

Таким образом, можно считать, что 85% изменений избыточной доходности исследуемого портфеля за 16-квартальный интервал связаны с изменением избыточной доходности рыночного портфеля; 15% изменений избыточной доходности исследуемого портфеля за этот интервал не зависят от изменений избыточной доходности рыночного портфеля.

Для оценки качества подбора формы кривой находим расчетное значение d по формуле (4.20) и данным табл. 4.3:

Из таблицы Дарбина — Уотсона для уровня значимости, а = 1% и числа наблюдений Т = 16 находим d_n = 0,84, d_v = 1,09. Полученные точки наносятся на ось рис. 4.28. Результат представлен на рис. 4.29.

Рис. 4.29. Точки Дарбина — Уотсона

Так как расчетное значение попало в интервал [1,09; 2,91], то соседние значения остатков независимы друг от друга, т. е. выбор функции регрессии в виде прямой линии сделан правильно.

Как показано выше, степень рисков ценных бумаг и портфеля ценных бумаг описывается средним квадратичным отклонением и коэффициентом бета. Найдем связь между этими показателями.

Дисперсия доходности портфеля, квадратный корень из которой является риском портфеля, в обозначениях этого раздела определяется соотношением.

Из второй формулы (4.1) находим.

Подставив это соотношение в формулу для дисперсии портфеля, получим.

Из этой формулы при условии, что остатки s_r и случайные отклонения рынка от среднего х,~х не коррелировапы, можно получить.

Первое слагаемое в этой сумме — это дисперсия доходности рынка, умноженная на Р², а второе — дисперсия остатков. Введем обозначение для дисперсии доходности рынка.

, а для дисперсии остатков

Тогда формулу для дисперсии доходности портфеля можно переписать в виде.

Уильям Ф. Шарп с коллегами [20 ] называет первое слагаемое рыночным недиверсифицируемым риском, а второе — собственным диверсифицируемым риском. В общем случае риском является среднее квадратичное отклонение доходности портфеля, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии, т. е.

Таким образом, риск портфеля нелинейным образом зависит от рыночного риска <�з_х и риска остатков а_?. Эти два риска по-разному ведут себя по отношению к инвестору. Первый, рыночный, по отношению к инвестору — внешний. Инвестор может воздействовать на него, только изменяя бету. А это можно делать, уменьшая доходность портфеля, что далеко не всегда приемлемо. Поэтому инвестор может только прогнозировать наступление рыночного риска и принимать меры к ослаблению его негативного воздействия на характеристики портфеля. Второй собственный риск — внутренний по отношению к инвестору. Инвестор может снижать его негативные воздействия за счет диверсификации портфеля.

Пример 4.4. Условия примеров 4.2 и 4.3. Определите риск портфеля.

Решение. В предыдущих примерах было найдено о| = 85,74; a_? = 14,056; (3 = 14,056. Подставив эго в (4.22), получим значение риска портфеля.

Расчет характеристик ценных бумаг по показателям на бирже В качестве ценных бумаг, из которых формируется оптимальный портфель, довольно часто используются долгосрочные активы. Такими бумагами могут быть, например акции, представляющие собой ценные бессрочные бумаги. Рассчитать характеристики ценных бумаг можно по показателям на бирже, например, ценам активов, объемам продаж и т. д.

Оценку математических ожиданий и ковариаций случайных доходностей ценных бумаг делают, но выборке. В качестве выборки применяют наблюдаемые во времени последовательности цен акций. При этом за рубежом используются 100 показателей динамического ряда с периодом между отчетами один квартал, т. е. выборка берется за 25 лет. В России фондовый рынок существует недавно, поэтому длительность выборки будет существенно меньше. В общем случае можно использовать месячные, недельные и дневные длительности выборки.

Как правило, инвестор рассматривает ряд ценных бумаг, из которых он намерен сформировать портфель. При расчете доходности ценной бумаги под номером j применяют соотношение.

где Pj_t и Pj_t+i — ценау-й ценной бумаги в начале периода t и t + 1; соответственно, d_]t — дивиденд за период t.

Эта формула может быть уточнена за счет учета разницы цен покупки и продажи ценных бумаг. Например, инвестор покупает в начале периода t ценную бумагу, затем получает дивиденды и продает ее в начале периода t + 1. В этом случае под P_jt следует считать цену покупки в начале периода t, а под Pj_t+1 — цену продажи в начале периода t + 1. Цены покупки и продажи обычно отличаются. Для акций крупных компаний это отличие ниже, а для мелких — выше.

В качестве математического ожидания j-й ценной бумаги в основном используют среднее арифметическое.

где п — количество показаний динамического ряда; dj _t — доходность j-й ценной бумаги в периоде t.

Для расчета выборочной ковариации i-й и j-й ценных бумаг используется формула.

Из представленных данных по ценам ценных бумаг выбираются только целые периоды. Количество периодов по каждой акции должно быть идентичным. Если первый и последний месяцы не являются целыми, то эти данные отбрасываются.