Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии

Случай, когда а² известна, на практике встречается редко, однако его изучение позволяет понять зависимость ширины доверительного интервала от величин п, о и 1 — а.

Для математического ожидания интервал имеет вид

где х — выборочное среднее;  — среднее квадратичное отклонение оценки р; п — объем выборки; а_х — среднее квадратичное отклонение случайной величины X; z_a__a — квантиль уровня 1 — a стандартного нормального распределения, являющийся решением уравнения , где Ф₀ — табулированная функция Лапласа.

Указанный интервал содержит значение р с вероятностью (надежностью) 1 — а.

Выражение для точности интервального оценивания позволяет сделать следующие выводы:

• 1) при увеличении объема выборки п точность интервального оценивания увеличивается, поскольку уменьшается длина интервала (значение е);
• 2) чем больше разброс значений X, тем ниже точность;
• 3) чем больше надежность оценки 1 — a = ЗФо^.,), тем больше

квантиль Z]__a и величина е, т. е. тем ниже точность. Связь между 1 — а и г_1-а нелинейная, при а—>0 (рис. 7.9). Поэтому с большой надежностью 1 — а можно гарантировать лишь невысокую точность.

Рис. 7.9. Функция распределения стандартного нормального закона.

Пример 7.1.

Построить 95%-ный доверительный интервал для значения длины куска ткани, если ее измеряли три лаборанта линейкой с ценой деления 5 см и ими были получены следующие результаты: 275 см, 280 см, 280 см.

Решение. Результаты можно считать выборкой из нормальной генеральной совокупности. Дисперсия задана в неявном виде: по правилу трех сигм практически невозможно получить отклонение случайной величины от центра распределения, превышающее Зет. Поэтому За = = 5/2 = 2,5 см, а = 0,83 см. Здесь п = 3, 1 — а = 0,95, z_{0 95} = 1,96, е = = (1,96 • 0,83)д/з = 0,95 см, х = (275 + 2 • 280)/3 = 278,3 см, х + е = = 279,3 см, х-е = 277,4 см. С вероятностью 0,95 истинная длина куска ткани лежит в пределах 277,4 < р < 279,3.