Составление систем дифференциальных уравнений с помощью обратного способа

При составлении систем дифференциальных уравнений изгибиых колебаний для балок и валов с сосредоточенными массами более предпочтительным оказывается так называемый обратный способ, основанный на принципе Даламбсра. Проиллюстрируем его применение на примере балки с двумя массами (рис. 3.3, я).Ограничиваясь рассмотрением изгибиых колебаний в вертикальной плоскости, перейдем сначала к бсзмассовому упругому «скелету» балки (рис. 3.3, б). Для этого следует.

Рис. 3.3.

к связи (в данном случае к безмассовой упругой балке) кроме внешних сил F, и F, приложить согласно принципу Даламбера силы инерции —т_лу_х, -т₂у₂, где#,(?), y₂(t), — колебания соответствующих масс. Таким образом, мы формально свели задачу к типовой балке, подверженной воздействию сил Р_{ = Р[ - т₁у₁ и Р₂ = Fj — т₂у₂, т. е. к задаче, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов. При этом.

где e_jk — коэффициент податливости, который численно равен перемещению в сечении j иод действием единичной силы, приложенной в сечении k (е^ = e_kJ).

Отметим, что матрица коэффициентов податливости равна обратной матрице квазиуиругих коэффициентов, входящих в квадратичную форму (3.5).

В табл. 3.1 приведены расчетные формулы для определения коэффициентов податливости (влияния) в зависимости от вида опор вала. При этом приняты следующие условные обозначения: Е — модуль упругости материала вала (для конструкционных сталей Е = 2,1*10^й Н/м²); / = л<�Р/64 — осевой момент инерции поперечного сечения вала, м⁴; сI- диаметр вала.

После подстановки в (3.16) Р, и Р₂ получим.

или в общем случае где j — номер уравнения.

Таблица 3.1

Коэффициенты податливости (влияния) для простейших балок.

Схема балки.	еп	е22	е,2
Условные обозначения: Е- модуль упругости; / - момент инерции поперечного сечения.