Случайные сигналы. 
Электроника

Случайным (нерегулярным) считается сигнал, параметры которого заранее не известны, и, следовательно, не известна информация, им переносимая. Вообще-то все реальные сигналы в той или иной степени случайны, так как в противном случае в них была бы заключена известная информация, передавать и принимать которую вполне бессмысленно.

Случайный сигнал можно рассматривать в виде бесконечной совокупности случайных величин, зависящих от многих независимых переменных. Например, можно представлять случайные сигналы или в виде бесконечно большого числа гармонических составляющих, частоты, амплитуды и фазы которых случайны, или в виде бесконечно большого числа импульсов случайной формы, амплитуды, длительности и частоты повторения. Это позволяет говорить о спектральных и временных статистических параметрах случайных сигналов.

Случайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными.

Под стационарными понимают случайные сигналы, статистические параметры которых не зависят от времени. Это означает, что параметры одного участка сигнала близки к статистическим параметрам другого участка той же длительности, взятого в любой момент существования сигнала — в прошлом, настоящем или будущем. В общем случае соответствие тем выше, чем больше длительность участка сигнала, на котором осуществляется определение параметров.

Статистические параметры нестационарных случайных сигналов зависят от времени, что в значительной мере затрудняет и усложняет их анализ.

Исчерпывающая характеристика любого случайного сигнала — распределение вероятностей, показывающее, с какой вероятностью сигнал может принимать одно из множества возможных значений. На практике удобнее пользоваться средними значениями (моментными функциями), получающимися в результате операции усреднения. В общем случае значение случайного сигнала зависит и от времени, и от одной или нескольких других независимых переменных. Поэтому необходимо усреднение как по времени, так и по другим переменным.

Временные свойства сигнала могут быть отображены функцией автокорреляции Ф (г,;?₂)> определяющей степень сходства отдельных участков сигнала, устанавливающей вероятностную связь между отдельными значениями сигнала Х (Г,) и X (t₂). Автокорреляционная функция

есть среднее значение произведения значений сигнала в моменты времени и t₂. Для нестационарных случайных сигналов функция автокорреляции зависит от моментов времени ?, и t₂.

Для стационарного случайного сигнала автокорреляционная функция зависит лишь от разности (t,-t₂) = т и может быть определена как.

Автокорреляционная функция стационарного случайного сигнала — наиболее объективная временная статистическая характеристика, сравнительно легко определяемая для большинства сигналов и удобная для анализа.

Большинство стационарных сигналов обладает эргодическим свойством: их среднее по множеству равно среднему по времени с вероятностью, равной единице, что упрощает анализ.

В принципе случайный сигнал можно рассматривать в виде суммы бесконечно большого числа простых гармонических колебаний со случайными амплитудами, частотами и фазами. Однако если определить спектральную плотность по одной из реализаций случайного процесса, то полученное значение будет величиной случайной и неопределенной. Поэтому при анализе случайных сигналов пользуются усредненной спектральной характеристикой — спектральной плотностью мощности или спектром мощности, характеризующим распределение мощности случайного сигнала по спектру.

Спектр мощности случайного сигнала НА со) на участке частотного диапазона с бесконечно малой шириной Дсо—>0 определяется как отношение мощности сигнала АР, приходящейся на этот частотный участок, к его ширине Дсо и выражается в Вт/Гц:

Между функцией автокорреляции и спектром мощности стационарных процессов существует связь, которая выражается в виде интеграла Фурье:

Приведенные соотношения имеют исключительно важное значение при анализе стационарных сигналов, давая возможность получать Ф (т) из W (cd) или W ((d) из Ф (т) и использовать все известные свойства преобразования Фурье. В частности, эти выражения позволяют решить очень важный вопрос о ширине спектра стационарного случайного сигнала.

Для большинства сигналов.

где А/ — эффективная ширина спектра случайного сигнала; т₀ — интервал корреляции, временной сдвиг, при котором функция корреляции имеет еще заметную величину; р — постоянная, близкая к единице.

Интервал корреляции может быть определен как.

а эффективная ширина спектра.

где Ф (0) и W (0) — функция автокорреляции и спектр мощности, определенные соответственно при т = 0 и со = 0.

Чем меньше коррелированы отдельные участки сигнала, тем меньше интервал корреляции и шире спектр сигнала, и если т₀—>0, то А/-*". Ограничение ширины спектра увеличивает корреляцию. Это, в частности, означает, что периодические сигналы (например, синусоида с бесконечно малой шириной спектра — спектральной линией) имеют бесконечный интервал корреляции.

Контрольные вопросы.

• 1. Какой спектр будет иметь сигнал, состоящий из отдельных импульсов прямоугольной формы, имеющих одинаковую длительность 1 мкс и одинаковые амплитуды 1 В, следующих случайно?
• 2. Определите (и нарисуйте) автокорреляционную функцию сигнала в виде одиночного прямоугольного импульса длительностью 1 с, имеющего амплитуду 1 В.
• 3. Поясните физический смысл понятия «интервал корреляции». Почему, чем меньше интервал корреляции, тем шире спектр случайного сигнала?