Применение непараметрических методов

Если по результатам наблюдений за рынком выявлен характер распределения случайной величины (спрос, доходность и др.), отражающей предпочтения потребителя, то для ее предсказания в будущем можно использовать параметры распределения и прибегать к параметрическим критериям. Однако чаще всего установить характер распределения случайных величин, описывающих предпочтения, не удается. Следовательно, невозможно установить параметры распределения и воспользоваться параметрическими методами и для оценки конкурентной стратегии. Тогда прибегают к непараметрическим критериям.

Рассмотрим порядок их применения на примере оценки предпочтений потребителя на фондовом рынке.

С точки зрения приносимого дохода инвестиции в ценные бумаги — это один из дополнительных источников прибыли после прибыли, полученной от основной деятельности. Доходность отдельных видов ценных бумаг, обусловленная колебаниями процентных ставок, как правило, зависит от их курса и срока погашения. Чем короче срок погашения ценной бумаги, тем стабильнее ее рыночная цена. Отсюда и предпочтения потребителя — осторожного инвестора. Он, как правило, приобретает бумаги со средней доходностью, но низким риском.

Бизнес-ситуация. Фирма планирует размещение свободных средств на фондовом рынке. Сведения об итогах торгов на бирже в течение первой половины февраля представлены в табл. 5.7. Требуется определить содержание инвестиционной стратегии фирмы с позиции осторожного инвестора.

Решение. Для обоснования выбора инвестиционной стратегии компании воспользуемся непараметрическим Q-критерием.

Таблица 5.7

Количество сделок по видам ценных бумаг

Бумага.

Дата.

Акция А.

Акция Б.

Акция В.

—.

—.

Акция Г.

—.

—.

Акция Д.

Акция Е.

—.

В общем случае Q-критерий (критерий Розенбаума) используют для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Критерий может быть применен, если данные представлены в порядковой шкале и варьируют в каком-то диапазоне значений.

Оценку стратегии с помощью данного критерия начинают с того, что упорядочивают значения наблюдавшегося целевого показателя в обеих выборках (двух различных ситуациях, для двух разных финансовых инструментов и т. п.) по нарастанию (убыванию). Тем самым устанавливают, совпадают ли диапазоны значений, и если нет, то насколько один ряд значений «выше» (по их числу Sj), а второй — «ниже» (опять же по их числу S₂). Рекомендуется первым рядом (выборкой) считать тот ряд, где значения выше (предположительно), а вторым рядом — тот, где значения ниже.

В методе Розенбаума рассматривают следующие гипотезы:

Н₀: Уровень признака в выборке 1 не превышает уровня признака в выборке 2.

Н_г: Уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в выборке 2.

При применении Q-критерия необходимо учитывать следующие ограничения:

• • в каждой из сопоставляемых выборок должно быть не менее 11 наблюдений. При этом объемы выборок должны примерно совпадать;
• • диапазоны разброса значений в двух выборках должны не совпадать между собой, в противном случае применение критерия бессмысленно. (Возможны случаи, когда диапазоны разброса значений совпадают, но вследствие разносторонней асимметрии двух распределений различия в выборках существенны.)

Расчеты проводят, придерживаясь следующего общего алгоритма:

• 1. Проверяют, выполняются ли ограничения: щ, п₂ >11 и щ *п₂.
• 2. Упорядочивают значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания оцениваемого показателя. Полагают выборкой 1 ту выборку, значения в которой предположительно выше, а выборкой 2 — ту, где значения предположительно ниже.
• 3. Определяют самое высокое (максимальное) значение показателя в выборке 2.
• 4. Подсчитывают количество значений показателя в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2. Обозначают полученную величину как.
• 5. Определяют самое низкое (минимальное) значение показателя в выборке 1.
• 6. Подсчитывают количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения выборки 1. Обозначают полученную величину как S₂.

7. Подсчитывают эмпирическое значение критерия по формуле:

8. По таблице критерия Розенбаума определяют критические значения Q_Kp для данных rij и п₂. Если Q_3Mn при уровне значимости 0,05 превышает Q_Kp, TO гипотеза Н₀ отвергается.

Проиллюстрируем алгоритм на сравнении предпочтений участников фондового рынка по акциям, А и В (табл. 5.8).

Таблица 5.8

Сравнение упорядоченных выборок в Q-критерии

А.

—.

—.

S2= 7

В.

СО. II. с/Г.

—.

—.

Таким образом,

Входим в таблицу (3-критерия и находим:

Для облегчения анализа отразим ситуацию геометрически (рис. 5.9): Рис. 5.9. Области принятия решения Таким образом, принимается гипотеза Н_ь которая является более предпочтительной (менее рискованной) в сопоставляемой паре акций вида А.

Близким по содержанию к критерию Розенбаума является другой непараметрический критерий — U-критерий Манна-Уитни.

Критерий Манна-Уитни позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда п_х, п₂ > 3 или п₂ = 2, п₂ > 5, и является более мощным, чем 0-критерий.

По аналогии с критерием Розенбаума этот метод основан на анализе зоны перекрытия упорядоченных значений обеих выборок. Его логика проста: чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различие между выборками достоверно. Рассчитываемое эмпирическое значение критерия U как раз и отражает зону совпадения значений исследуемого показателя в обеих выборках. Поэтому чем меньше Н_эмп, тем вероятнее, что различие достоверно.

Альтернативные статистические гипотезы критерия содержательно формулируются следующим образом:

Н₀: Уровень исследуемого признака в выборке 2 (в которой значения предположительно ниже) не ниже уровня признака в группе 1.

Нр Уровень признака в выборке 2 ниже уровня признака в выборке 1.

Критерий U имеет ограничения:

• 1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений. Допустимо, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.
• 2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений (обусловлено числом рассчитанных и табулированных критических значений).

Особенностью данного метода является перевод реальных измерений исследуемого фактора в шкалу порядка. Осуществляется это путем ранжирования.

Правила ранжирования заключаются в следующем.

• 1. Меньшему значению изучаемого фактора начисляется и меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг равный 1. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений.
• 2. Если несколько значений фактора равны между собой, то каждому из них назначается ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны. К примеру, пусть 3 наименьших значения равны 10 с. Можно предположить, что при большей точности измерений эти значения различались бы и составляли, скажем, 10,2 с; 10,5 с; 10,7 с. Тогда они получили бы различные ранги: 1, 2 и 3 соответственно. Но поскольку получены равные значения, то каждое из них получает средний ранг: (1 + 2 + 3) / /3 = 1. Далее, если следующие два значения снова равны, то им будет назначен новый средний ранг, т. е. (4 + 5)/2 = 4,5.
• 3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле:

где N— общее количество ранжируемых наблюдений (значений).

В целом алгоритм применения tZ-критерия Манна-Уитни будет таким:

• 1. Соединив наблюдения из обеих выборок, упорядочить их по возрастанию, одновременно замечая, к какой из выборок принадлежит упорядоченное значение.
• 2. Осуществить ранжирование значений совокупной выборки с учетом вышеизложенных правил.
• 3. Используя заметки, получить суммы рангов для первоначальных выборок и обозначить большую из них как Т_г
• 4. Рассчитать эмпирическое значение критерия Н_эмп по формуле

где Hj — число наблюдений в выборке 1; п₂ — число наблюдений в выборке 2; п_х — число наблюдений в выборке с большей суммой рангов.

5. Сравнить 1/_эмп с критическим значением критерия U_Kp при уровне значимости 0,05. Если 1/_эмп > [/_кр0>05, то принимается нуль-гипотеза Н₀, в соответствии с которой различие между выборками по исследуемому признаку признается незначимым. В противном случае ({/_эмп < U_{Kp0 05}) принимается гипотеза Н_х, и уровень исследуемого признака выше в выборке 1 с доверительной вероятностью 0,95.

Переход от точных значений исходных наблюдений к их порядковым номерам (рангам) сопровождается потерей информации. Нередко эта потеря невелика. Так, по сравнению с критерием Стьюдента — наиболее подходящим статистическим правилом при сопоставлении двух гауссовских выборок — критерий Вилкоксона оказывается лишь слегка менее мощным: его асимптотическая эффективность в этом случае составляет относительно критерия Стьюдента 0,95. Это значит, что если мы при сравнении двух гауссовских выборок объемом по 100 единиц воспользуемся критерием Вилкоксона, то получим в результате такую же точность, как если бы наши выборки имели объемы по 95 единиц и мы использовали критерий Стьюдента.

Для негауссовских же выборок применять критерий Стьюдента вообще не рекомендуется.

Критерии Манна-Уитни, Вилкоксона и близкий к ним по существу критерий Ван-дер-Вардена позволяют обнаруживать лишь различия в центральных тенденциях распределений двух случайных величин. Если важно обнаружить любые расхождения в форме распределений, то пользуются критериями однородности, например, двухвыборочным критерием Смирнова. С помощью этого критерия проверяется гипотеза о том, что функции распределения двух случайных величин идентичны против альтернативной гипотезы о том, что они различны. Краткая характеристика ряда других непараметрических критериев дана в табл. 5.9.

Таблица 5 9

Классификация непараметрических методов по их применимости

Задачи.	Условия.	Методы.
1. Выявление различий в уровне исследуемого признака.	а) 2 выборки.	Q-критерий Розенбаума; [/-критерий Манна-Уитни; ф*-критерий (угловое преобразование Фишера).
	б) 3 и более выборок.	S-критерий тенденций Джонкира; Н-критерий Крускала-Уоллиса.
2. Оценка сдвига значений исследуемого признака.	а) 2 замера на одной и той же выборке.	Т-критерий Вилкоксона; G-критерий знаков; ф*-критерий.
	б) 3 и более замеров на одной и той же выборке.	Хл2-критерий Фридмана; L-критерий тенденций Пейджа.
3. Выявление различий в распределении.	а) при сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим.	Х2-критерий Пирсона; ^-критерий Колмогорова-Смирнова; m-биномиальный критерий.
	б) при сопоставлении двух эмпирических распределений.	Х2-критерий Пирсона; /.-критерий Колмогорова-Смирнова; ф*-критерий.

Окончание табл. 5.9

Задачи.	Условия.	Методы.
4. Выявление степени согласованности изменений.	а) два признака.	^-коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
	б) две иерархии или профиля.	^-коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
5. Анализ изменений признака под влиянием контролируемых условий.	а) под влиянием одного фактора.	S-критерий тенденций Джонкира; L-критерий тенденций Пейджа.

Одновременно следует отметить недостатки применения непараметрических критериев в прогнозировании, а следовательно, и в корпоративном управлении. С помощью данных критериев можно выявить влияние фактора на результирующий показатель, но нельзя создать модель, по которой можно было бы оценить степень этого влияния и, уж тем более, получить прогноз для других значений уровня фактора.

Контрольные вопросы

• 1. Раскройте содержание конкурентного анализа.
• 2. В чем суть многопродуктового маржинального анализа?
• 3. В каких случаях допустимо использование параметрических критериев для оценки тенденций бизнеса?
• 4. Каковы преимущества и недостатки непараметрических критериев выявления предпочтений потребителя?

Рекомендуемая литература

• 1. Мардас А. Н., Гуляева О. А. Курслекций по стратегическому менеджменту: учеб, пособие. СПб.: Изд-во ПГУПС, 2007.
• 2. Стратегический менеджмент / под ред. А. Н. Петрова. СПб.: Питер, 2005.
• 3. Мардас А. Н., Мардас О. А. Организационный менеджмент. СПб.: Питер, 2003.