Вариация (колеблемость) признака

В результате изучения главы студенты должны:

• • знать: сущность определения показателей вариации (колеблемости) признака;
• • уметь: определять размах вариации (колеблемости) признака;
• • владеть: методами расчета показателей вариации, правилами сложения дисперсий и измерения тесноты связей между признаками.

Показатели вариации

Средние величины дают обобщающую характеристику признаков изучаемой совокупности, но при этом не раскрывают строение самой совокупности, а именно — расположение варианта изучаемого признака относительно центра распределения.

В двух различных совокупностях средняя величина признака может иметь одинаковое значение, но, например, в первой совокупности варианты признака отличаются от средней величины незначительно (т.е. имеет место малая вариация), а во второй — значительно (и это значит, что вариация достаточно велика).

Поэтому степень вариации играет значимую роль в рамках характеристики надежности средней величины признаков статистической совокупности. В частности, если индивидуальные значения в каждом признаке имеют незначительные отличия друг от друга, то средняя величина в данном случае будет достаточно показательной характеристикой свойств данной совокупности. Напротив, если в ряду распределения наблюдается значительное рассеивание индивидуальных значений (вариант), то средняя величина не будет надежной характеристикой изучаемой совокупности, соответственно, применение данной средней величины на практике будет ограниченным.

В статистике для измерения вариации (или колеблемости) признака могут применяться как абсолютные, так и относительные показатели. Среди таковых показателей стоит выделить:

• 1) значение размаха вариации;
• 2) значение среднего линейного отклонения;
• 3) значение относительного среднего линейного отклонения;
• 4) значение дисперсии и среднего квадратического отклонения;
• 5) значение коэффициента вариации.

Из перечисленных выше показателей абсолютными являются: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия. Соответственно, относительных показателей всего два — коэффициент вариации и относительное среднее линейное отклонение.

Для определения значения размаха вариации (R) необходимо установить разность между максимальным (Х_тах) и минимальным значениями (X_mjn) изучаемого признака. Для этого используют формулу.

Значение размаха вариации можно считать наиболее простым показателем, характеризующим колеблемость признака, но данный показатель демонстрирует отклонения только крайних значений признака, при этом обобщенная характеристика вариации признака не может быть получена с использованием формулы (5.1).

Второй показатель колеблемости признака — среднее линейное отклонение (Д) — рассчитывается как среднее арифметическое абсолютных отклонений индивидуальных значений признака (X,) от среднего уровня этого признака (X). При этом среднее линейное отклонение может быть рассчитано как по сгруппированным, так и по несгруппированным данным.

Для расчета среднего линейного отклонения по несгруппированным данным (Aj) используют следующую формулу:

Для расчета среднего линейного отклонения по сгруппированным данным (А₂):

В числителях формул (5.2) и (5.3) дают суммы абсолютных отклонений без учета знака, т. е. по модулю. Связано это с одним из свойств средней арифметической величины, когда суммирование разностей с учетом знака в результате всегда дает нулевое значение в числителе.

Третий показатель колеблемости признака — относительное среднее линейное отклонение (Д%) — рассчитывается как отношение среднего линейного отклонения (А) к значению среднего арифметического (X) и выражается в процентах:

Четвертый показатель колеблемости признака — дисперсия (а²) — рассчитывается как средняя арифметическая из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от среднего уровня. Дисперсия также может быть рассчитана для сгруппированных и несгруппированных данных.

Для расчета дисперсии по песгруппироваппым данным (ajf) используют следующую формулу:

Среднее квадратическое отклонение © рассчитывается как корень квадратный из значения дисперсии. Здесь также расчет может быть произведен как для несгруиированных, так и для сгруппированных данных.

Для расчета среднего квадратического отклонения по несгруппированным данным (стД:

Для расчета среднего квадратического отклонения по сгруппированным данным (g-j):

Показатель среднего квадратического отклонения представляет собой меру надежности средней величины: чем меньше значение среднего квадратического отклонения, тем точнее средняя арифметическая характеризует средний уровень признака, и наоборот — чем больше значение среднего квадратического отклонения, тем менее точно средняя арифметическая характеризует средний уровень признака. В общем случае показатель среднего квадратического отклонения представляет собой среднее абсолютное отклонение индивидуальных значений признака от среднего уровня самого признака. Иными словами, среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой колеблемости признака, измеряется среднее квадратическое отклонение в тех же единицах, что и признак.

Пятый показатель колеблемости признака — коэффициент вариации (V) — рассчитывается как отношение среднего квадратического отклонения к значению средней арифметической:

Коэффициент вариации необходимо рассматривать как измеритель колеблемости признака и как измеритель однородности статистической совокупности. Принято считать, что если значение коэффициента вариации превышает 33%, то статистическая совокупность классифицируется как недостаточно однородная.

Для изучения вариации (или колеблемости) признака наиболее широко применяются показатели дисперсии и среднего квадратического отклонения. Эти показатели также являются основополагающими (фундаментальными) показателями теории вероятностей и математической статистики. Кроме этого, в рамках экономических исследований среднее квадратическое отклонение также используют для расчета среднего уровня различных рисков.

Рассмотрим применение показателей вариации на практическом примере.

Пример 5.1

Имеются данные о распределении рабочих цеха в зависимости от выработанного стажа. Необходимо рассчитать основные показатели вариации, которые были рассмотрены выше.

В таблице уже проведена группировка данных по основному признаку. Поэтому прежде всего необходимо вычислить размах вариации по формуле (5.1). Размах вариации, исходя из данных таблицы, где основным признаком (группировочным признаком) является стаж рабочих, составит 4 года (разница между максимальным стажем рабочего № 5 (6 лет) и минимальным стажем рабочих № 1 (2 года)).

Для дальнейших расчетов необходимо знать среднее значение признака. Поэтому проводим расчет среднего арифметического значения:

Среднее линейное отклонение, которое рассчитывается для сгруппированных данных, в данном случае составит

Тогда относительное среднее линейное отклонение составит.

Далее рассчитываем значение дисперсии и среднего квадратического отклонения:

Соответственно, коэффициент вариации:

Полученные данные позволяют нам сделать следующие выводы на основании проведенных расчетов:

• • среднее значение признака (выработанный стаж) составляет 3,7 года, при этом среднее значение признака практически равно размаху вариации (4 года);
• • среднее линейное отклонение показывает, что отдельные значения признака отклоняются от его среднего значение на 0,98 лет, или на 26,4%;
• • расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения позволяет заключить, что колеблемость признака достаточно высокая, соответственно, представленная в табл. 5.1 выборка не является однородной в полной мере, поскольку коэффициент вариации превышает 31%.

Показатели вариации демонстрируют колеблемость основного признака и его отдельных значений. Но, как мы уже говорили выше, у статистической совокупности может быть несколько признаков и некоторое множество вариантов признаков, варианты признаков могут быть альтернативными, т. е. взаимоисключающими.