Требования к физической реализуемости модели

Все элементы системы должны быть физически реализуемы. Это условие формально требует, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя. Действительно, следует учесть, что аргумент s представляет собой некий аналог частоты. С ростом частоты передаточная функция отдельных элементов не обязательно ниспадает, но если продлить этот рост частот достаточно далеко, то передаточная функция любого реального объекта непременно ниспадет до сколь угодно малых величин, практически до нуля. Для любого объекта всегда можно указать такие частоты, на которых передаточная функция не просто мала, а отклик объекта на этих частотах строго отсутствует (либо намного меньше шумов его измерения).

Частотные характеристики, как правило, представляют в логарифмическом масштабе, поэтому на графике довольно быстро достигается «практическая бесконечность», т. е. очень большие значения частоты и значения передаточной функции, как и «практический нуль», т. е. очень маленькие значения этих величин. На логарифмических графиках наглядно видны значения частот, во много раз превышающих область частот пропускания объекта. Таким образом, правая часть логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) любого реализуемого звена должна на графике ниспадать вниз: чем правее, тем ниже. Это достигается только при условии, что знаменатель указанной дробной передаточной функции больше, чем числитель.

Иногда в отношении отдельных звеньев данным требованием пренебрегают, поскольку полоса пропускания этих звеньев может оказаться существенно шире полосы пропускания объекта. Затуханием отдельных элементов можно пренебречь лишь в сравнении с затуханием других звеньев, входящих в тот же контур. Если же какое-либо звено является единственным звеном рассматриваемого контура, то в этом контуре нет других инерционных звеньев, по сравнению с которыми можно было бы пренебречь затуханием данного элемента. В этом случае указанный элемент недопустимо описывать звеном без инерционных свойств.

Даже ограничиваться рассмотрением лишь отличия степени знаменателя от степени числителя на один или на два порядка — это также недостаточно адекватная модель для анализа устойчивости почти любого реального контура с отрицательной обратной связью.

Однако если в контуре присутствует элемент запаздывания и если достоверно известно, что влияние следующей постоянной времени модели на фазочастотную характеристику (ФЧХ) существенно меньше, допускается ограничивать рассмотрение динамической части объекта элементами первого или второго порядка.

Пример 2.1. Попробуем представить себе наиболее быстродействующий объект. Допустим, это высокочастотный электронный усилитель сигналов на одном каскаде сверхвысокочастотного транзистора. Например, высокочастотные транзисторы могут характеризоваться полосой усиления до величин порядка 1 ГГц, т. е. 10⁹ Гц. Предположим, что усиление такого транзистора равно двум, из чего следует, что передаточная функция транзистора в первом приближении имеет следующий вид:

Пусть Т — 10^-9 с. В полосе пропускания значение этой передаточной функции близко к двум. Подставим значение круговой частоты со = 10¹². В этом случае значение передаточной функции составляет примерно 0,002. Это означает, что на указанной частоте каскад обладает указанным коэффициентом усиления. Но указанная частота — это частота оптического излучения; электронные устройства, кроме оптических устройств, не передают оптических сигналов. Иными словами, на самом деле указанный каскад вообще не может передавать сигнала, коэффициент передачи должен быть строго нулевым. Никакой конечный порядок модели не даст такого результата, согласно которому коэффициент передачи объекта на данной частоте строго равен нулю.

Пример 2.2. Если пример 2.1 кажется неубедительным, можно рассмотреть более высокие частоты, например го = 10¹⁵, го = 10²⁰ и т. д. Не может быть сомнений, что для любого практического примера можно найти такую частоту, на которой коэффициент передачи должен быть не просто малым, а строго нулевым, т. е. отклика объекта на этой частоте просто не может существовать. Никакая линейная модель фильтра конечного порядка не дает такого свойства объекта.

Вывод 2.1. Описание объекта в виде линейной модели конечного порядка всегда является приближением.

Вывод 2.2. Любая модель в виде передаточной функции конечного порядка является идеализацией, и с ростом частоты относительная погрешность этой идеализации (отношение ошибки к фактическому значению передаточной функции) растет в геометрической прогрессии или быстрее, так как само значение передаточной функции стремится к нулю быстрее, чем соответствующее значение принятой модели.