Емкость и индуктивность при импульсных и скачкообразных воздействиях

Пусть к емкости С, имеющей нулевое начальное напряжение г/с (0) = 0, приложено внешнее воздействие в виде импульса тока ic = Ли8(?) — Напряжение емкости в соответствии с выражением (1.14).

в момент приложения импульса тока скачком увеличивается от начального значения и_с(0) = 0 до AJC и далее сохраняет это значение. Очевидно, что при этом энергия, запасенная в емкости, скачком изменится от w_c(0) = 0 до wq (0+) ⁼ = А²/2С. Таким образом, несмотря на то, что длительность единичного импульса бесконечно мала, он сообщает емкости конечный запас энергии.

Характер зависимостей тока и напряжения от времени не изменится и в том случае, если на емкость подано внешнее воздействие в виде скачка напряжения.

при этом запасенная в цепи энергия скачком изменится от нуля до СЕ²/2.

Аналогичным образом устанавливаем, что при воздействии на индуктивность импульса напряжения u_f = А_и8(?) ток индуктивности скачком увеличивается от начального значения i_L( 0) = 0 до AJL:

и далее сохраняет неизменное значение, а при подключении индуктивности к источнику тока i_L= j (t) =J• 1(Г) напряжение индуктивности имеет вид бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади:

Скачкообразное (в нарушение законов коммутации) изменение энергии, запасенной в реактивных элементах цепи, в рассмотренных задачах связано с тем, что в самой постановке этих задач не выполняются исходные положения, принятые при выводе законов коммутации, о том, что токи и напряжения источников энергии не могут достигать бесконечно больших значений.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей. Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой неединичный скачок x (t) = X (t) = ХА (t — t₀)_} а реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях равна s^(t).

Переходной характеристикой g (t — ?₀) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

Из выражения (6.108) следует, что g (t — t₀) = s_{(t)> если Х= 1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади А_И:

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим s_s(?).

Импульсной характеристикой h (t — to) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цени на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

Как следует из выражения (6.109), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (/1_И =1). Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и операторной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик является время Г, а не угловая со или комплексная р частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) — частотными характеристиками (см. и. 1.5), то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой паре «внешнее воздействие на цепь x_v(t) — реакция цепи можно поставить в соответствие определенную комплексную частотную ///,_v(/co), операторную ll_kv(p), переходную g_kx,{t. — t₀) и импульсную h_kx,(t: — t₀) характеристики.

Для установления связи между этими характеристиками найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения (6.108), (6.109), запишем.

где S (p) = S)(0. S&(p) ^ sg (0 — операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия. Выражая S (t) и 5_s(f) через операторные изображения внешних воздействий.

получаем.

При Го = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют особенно простой вид:

Таким образом, импульсная характеристика цепи —.

это функция, изображение которой по Лапласу представляет собой операторную характеристику цепи Н^.(р), а переходная характеристика цепи gk_v(t) — функция, операторное изображение которой равно Н^(р)/р. Выражения (6.110) и (6.111) устанавливают связь между частотными и временпыми характеристиками цепи. Зная, например, импульсную характеристику h/_tv(t), можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи.

а по известной операторной характеристике H^ip) с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи.

Используя выражения (6.110) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками:

Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем, что переходная характеристика цепи g (t — to) численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции g (t — t₀) при t < 7₀ равны нулю. Поэтому, строго говоря, переходную характеристику цепи следует записывать как g (t -1₍₎) -1(7- f₀), а не g (t — to). Заменяя в выражении (6.112) g (t — to) на g (t —1_{]) ? 1 (t — to) и используя соотношение (6.104), получаем

Выражение (6.113) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t > t₀, а второе слагаемое содержит произведение 6-функции на значение переходной характеристики в точке t = /.'о. Если при t = to функция g (t — to) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содержит 5-функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке t = to. Если функция g (t — to) не претерпевает разрыва при t = t₀, т. е. значение переходной характеристики в точке t = t₀ равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадаете выражением для обычной производной.

Методы определения временных характеристик. Для определения временны х характеристик линейной цепи в общем случае необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряжения. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного метода анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с составления операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику Н^(р), соответствующую заданной паре «внешнее воздействие на цепь x_v(t) — реакция цепи $*(?)"• Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.110) или (6.111), определяют искомые временные характеристики.

При качественном исследовании реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходный процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе, при t, принадлежащем открытому интервалу to_ - Го+. т. е. при t е ]f₀_, Г₀₊[, цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при t > t₀+) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная характеристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса тока или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.

Пример 6.7. Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2'. Внешнее воздействие па цепь — напряжение на зажимах 1 — Г x (t) = и, реакция цепи — напряжение на зажимах 2 — 2' s (t) =.

Операторная характеристика данной цени, соответствующая заданной парс «внешнее воздействие на цепь — реакция цепи», была получена в примере 6.5:

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характеристик цепи имеют вид.

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см. приложение 1), переходим от изображений искомых временных характеристик к оригиналам (рис. 6.20, а, б):

Заменяя в полученных выражениях t на t — t₀, находим временны е характеристики цепи при Г₀ ^ 0:

Отметим, что выражение для импульсной характеристики цени может быть получено и с помощью формулы (6.113), примененной к выражению для переходной характеристики цепи g (t).

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в данном включении (см. рис. 6.20, а, б) подсоединим к зажимам 1 — 1' независимый источник напряжения e (t) = и_л (рис. 6.20, в). Переходная характеристика данной цепи численно равна напряжению на зажимах 2 — 2' при воздействии на цепь единичного скачка напряжения e (t) = 1(f) В и нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммутации сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t = t₀ = 0, напряжение на выходе цепи равно напряжению на зажимах 1 — Г: и₂^о+ ⁼ Uo+ ⁼ 1 В. С течением времени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при t —*? °°. В соответствии с этим переходная характеристика начинается от значения g (0) = 1 и стремится к нулю при t —? оо.

Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению на зажимах 2 — 2' при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения e (t) = 1 • 8(f) В.

При t G |0_, 0+[ все входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности. При этом напряжение на индуктивности принимает бесконечно большое значение (см. рис. 6.20, б при t = 0), а ток индуктивности скачком увеличивается от нуля до.

При t ^ 0+ источник напряжения может быть заменен короткозамыкающей перемычкой, а ток индуктивности плавно уменьшается от i_L(0+) до нуля. Напряжение на индуктивности равно напряжению на сопротивлении R, поэтому при t > 0+ напряжсние цепи изменяется от и₂(0+) = -Ri_L(0+) = -R/L до 0 (см. рис. 6.20, б).