Характеристические параметры и комплексные частотные характеристики неавтономных проходных четырехполюсников

Комплексные частотные характеристики четырехполюсников при произвольной внешней нагрузке.

Несмотря на то, что первичные параметры четырехполюсника представляют собой только некоторые комплексные частотные характеристики, измеренные в одном из предельных режимов (холостого хода или короткого замыкания), зная первичные параметры четырехполюсника, образующие любую из систем первичных параметров, можно найти его любые комплексные частотные характеристики при произвольной внешней нагрузке. Для примера покажем, как по известным значениям /1-параметров неавтономного проходного четырехполюсника можно определить его комплексное входное сопротивление со стороны зажимов 1 — Г Zu (yco) и комплексные коэффициенты передачи по напряжению K.2(J (o) и току СфО’со) от зажимов 1 — Г к зажимам 2 — 2' при произвольной нагрузке Zll2, подключенной к зажимам 2 — 2' (рис. 7.33, а).

Рис. 733. К определению комплексных частотных характеристик проходного четырехполюсника при произвольной нагрузке.

Ток и напряжение на выходных зажимах четырехполюсника в рассматриваемом режиме связаны соотношением /₂ = i/₂/Z_H2, используя которое основные уравнения четырехполюсника в форме А (7.32) могут быть преобразованы к виду.

Из уравнений (7.63) следует, что.

В режиме холостого хода на зажимах 2 — 2' (Z_n2 = °°) коэффициент передачи четырехполюсника по току равен нулю, а входное сопротивление со стороны зажимов 1 — Г и коэффициент передачи по напряжению от зажимов 1 — Г к зажимам 2 — 2' определяются выражениями.

В режиме короткого замыкания на зажимах 2 — 2' (Z_ll2 = = 0) коэффициент передачи по напряжению равен нулю, а входное сопротивление и коэффициент передачи по току характеризуются соотношениями.

Рассмотрим случай так называемого обратного включения, когда сопротивление нагрузки.

подключено к зажимам 1 — Г (рис. 7.33, б). Разрешая основные уравнения четырехполюсника (7.32) относительно f/₂ и /₂ и учитывая выражение (7.69), получаем.

Используя соотношения (7.70), определяем входное сопротивление четырехполюсника и коэффициенты передачи четырехполюсника по напряжению и току в обратном включении:

В отличие от Z₂₂(/oj), Z_]2(yco) и 6'|₂(/(о) величины Z| | (усо), ^2iO®>) ^и G₂|(/w) называются входным сопротивлением и коэффициентами передачи четырехполюсника по напряжению и току в прямом включении. В режиме холостого хода па зажимах 1 — Г (Z_nl = °°):

в режиме короткого замыкания:

По аналогичной методике выражения для любых комплексных частотных характеристик четырехполюсника как в прямом, так и в обратном включении могут быть найдены также в терминах Y-, Z-, //-, G- или /^-параметров.

Пусть к входным зажимам четырехполюсника подключен линеаризованный источник с внутренним сопротивлением Z, = Z"i, а к выходным зажимам — сопротивление нагрузки Z_H2 (рис. 7.34). Отношение напряжения на выходе двусторонне нагруженного четырехполюсника U2 к ЭДС линеаризованного источника Ё = Uq.

называется рабочим коэффициентом передачи четырехполюсника по напряжению.

Рис. 7.34. К определению рабочего коэффициента передачи четырехполюсника по напряжению.

Учитывая, что получаем.

Найденные выражения для комплексного входного сопротивления и комплексного коэффициента передачи, учитывающие наличие нагрузки и внутреннего сопротивления источника, относятся к внешним (рабочим) параметрам четы рех11ол юс и ика.

Характеристические сопротивления неавтономного проходного четырехполюсника. Характеристическими сопротивлениями четырехполюсника называют пару сопротивлений Z_cl и Z_c2, которые выбраны таким образом, что при подключении к зажимам 2 — 2' сопротивления Z_nl = Z_c2 входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1 — Г равно Z_cl, а при подключении к зажимам 1 — Г сопротивления Z|, j = Z_t.i входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2 — 2' равно Z_c2. Сопротивление Z_cl называется характеристическим входным, a Z_c2 — характеристическим выходным сопротивлением четырехполюсника. Подставляя в выражения для входных сопротивлений четырехполюсника в прямом (7.64) и обратном (7.71) включениях Z_Il2 = Z_c2, Z_u(Jio) = Z_ci, ?Z'hi = Zd, Z₂₂(;oo) = Z,.₂ и решая полученную систему уравнений:

относительно Z_cl и Z₍₂, находим.

Используя выражения (7.67), (7.68), (7.74) и (7.75), убеждаемся, что характеристическое входное сопротивление четырехполюсника может быть найдено как среднее геометрическое из его входных сопротивлений в прямом включении в режимах холостого хода и короткого замыкания:

а характеристическое выходное сопротивление — как среднее геометрическое из его входных сопротивлений в обратном включении в режимах холостого хода и короткого замыкания:

Таким образом, характеристические сопротивления четырехполюсника могут быть найдены непосредственно по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания.

Четырехполюсник, к зажимам 2 — 2' которого подключено сопротивление Z_I|2 = Z_c2, будем называть четырехполюсником с согласованной нагрузкой на выходе. В соответствии с выражениями (7.65), (7.66) коэффициенты передачи такого четырехполюсника по току и напряжению от зажимов 1 — Г к зажимам 2 — 2' определяются выражениями.

откуда

Для четырехполюсника с согласованной нагрузкой на входе (Z" 1 = Z_ci) аналогичным образом находим.

Следовательно,.

Если Л-параметры четырехполюсника удовлетворяют условию А11 = А₂2, то его характеристические входное и выходное сопротивления одинаковы:

Коэффициенты передачи такого четырехполюсника по напряжению в прямом и обратном включениях равны соответственно коэффициентам передачи по току в прямом и обратном включениях:

Из выражений (7.83), (7.84) следует, что у симметричного четырехполюсника,/4-параметры которого связаны между собой соотношениями

коэффициенты передачи по току и напряжению в прямом и обратном включениях при согласованной нагрузке имеют одинаковые значения:

Таким образом, отношение напряжений на зажимах 2 — 2' и 1 — Г симметричного четырехполюсника с согласованной нагрузкой на входе и выходе равно отношению соответствующих токов:

Очевидно, что входные сопротивления симметричного четырехполюсника в прямом и обратном включениях при согласованной нагрузке равны характеристическому сопротивлению четырехполюсника:

Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника. Характеристическими постоянными передачи неавтономного проходного четырехполюсника в прямом и обратном включениях называются два комплексных числа Г[ и Г₂, определяемые соотношениями.

где К2(/со), G₂(j (i>) — коэффициенты передачи по напряжению (7.78) и току (7.79) четырехполюсника с согласованной нагрузкой на выходе; Х₁₂(усо), G 12(7(0) — коэффициенты передачи по напряжению (7.80) и току (7.81) четырехполюсника с согласованной нагрузкой на входе.

Подставляя соотношения (7.78)—(7.81) в выражения (7.87), (7.88) и выполняя несложные преобразования, выражаем характеристические постоянные передачи четырехполюсника через его Л-параметры:

или.

Характеристические сопротивления четырехполюсника Z_c 1, Z_c2 и характеристические постоянные передачи Г₍, Г₂ называются его характеристическими (вторичными) параметрами. Подобно первичным, характеристические параметры образуют систему независимых параметров неавтономного проходного четырехполюсника, определяющих соотношения между токами и напряжениями на его зажимах. Зная первичные параметры четырехполюсника и используя соотношения (7.76), (7.77), (7.89) и (7.90), можно найти его характеристические параметры Z_cl, Z_c2, Г] и Г₂. В свою очередь, первичные параметры четырехполюсника могут быть однозначно определены через его характеристические параметры. Действительно, используя соотношения (7.76), (7.77), получаем.

Согласно выражениям (7.91), (7.92) откуда

Неавтономный проходной четырехполюсник в общем случае имеет четыре независимых характеристических параметра Z_cl, Z_c2, Г] и Г₂.

Пример 7.23. Найдем характеристические параметры неавтономного четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 7.35.

Рис. 735. К примеру 7.23.

Используя данные, полученные из опытов холостого хода и короткого замыкания, проведенных расчетным путем, определяем матрицу первичных параметров четырехполюсника:

Применяя соотношения (7.76), (7.77), получаем характеристические входные и выходные сопротивления Z_cl = Z и Дс2 «^2- Характеристические постоянные передачи четырехполюсника найдем с помощью соотношений (7.91), (7.92):

откуда

Рассматриваемый четырехполюсник имеет два различных по значению характеристических сопротивления и две различные по значению характеристические постоянные передачи.

Как очевидно из приложения 4, определитель матрицы Л-параметров взаимного четырехполюсника А_Л = 1, поэтому характеристические постоянные передачи взаимного четырехполюсника в прямом и обратном включениях имеют одинаковые значения:

В общем случае взаимный четырехполюсник имеет три независимых характеристических параметра.

Переходя в (7.93) от экспонент к гиперболическим функциям

получаем выражения для первичных параметров взаимного четырехполюсника:

Исследуя выражения (7.96), устанавливаем важные соотношения между Л-параметрами взаимного четырехполюсника

откуда вытекают удобные и широко используемые на практике формулы для определения его характеристической постоянной передачи

Пример 7.24. Найдем характеристические параметры взаимных Г-образных четырехполюсников, А и Б, схемы которых приведены на рис. 7.16, а, 7.17, а (см. примеры 7.12 и 7.13).

В связи с тем, что четырехполюсник, А (см. рис. 7.16, а) может быть получен из четырехполюсника Б (см. рис. 7.17, а) путем перемены мест входных и выходных зажимов, характеристические постоянные передачи обоих четырехполюсников имеют одинаковые значения:

а характеристическое входное сопротивление одного четырехполюсника равно характеристическому выходному сопротивлению другого:

Первичные параметры симметричною четырехполюсника связаны соотношениями (7.85), поэтому он имеет только два независимых характеристических параметра Z_c и Г, определяемых с помощью соотношений (7.82) и (7.94).

Первичные параметры симметричного четырехполюсника могут быть выражены через его характеристические параметры:

Пример 7.25. Определим характеристические параметры симметричного I I-образного (см. рис. 7.24, а) и симметричного Т-образного (см. рис. 7.24, в) четырехполюсников.

Используя выражения для первичных параметров этих четырехполюсников, полученные в примере 7.21, и соотношения (7.82) и (7.98), находим.

Как следует из этих выражений, рассматриваемые четырехполюсники имеют одинаковые характеристические постоянные передачи и различные характеристические сопротивления. Сравнивая выражения для характеристических параметров Г-образных (см. пример 7.24), Пи Т-образных четырехполюсников и принимая во внимание, что обратные гиперболические функции связаны между собой соотношением.

устанавливаем, что характеристическая постоянная передачи Пили Т-образного четырехполюсника равна сумме характеристических постоянных Г-образных четырехполюсников, схемы которых приведены на рис. 7.16, а и 7.17, а (см. пример 7.24) при Z" = 2Z₂ и Z/, = Zj/2:

Характеристическое сопротивление П-образного четырехполюсника равно характеристическому входному сопротивлению Г-образного четырехполюсника (см. рис. 7.16, а), называемого Г-образным четырехполюсником с П-входом:

а характеристическое сопро тивление Т-образного четырехполюсника равно характеристическому входному сопротивлению Г-образного четырехполюсника (см. рис. 7.17, а) (Г-образный четырехполюсник с Т-входом):

Ранее было показано, что комплексные частотные характеристики неавтономного проходного четырехполюсника с произвольной нагрузкой могут быть выражены через первичные параметры этого четырехполюсника. Аналогичным образом комплексные частотные характеристики неавтономного проходного четырехполюсника могут быть представлены в терминах его характеристических параметров. Для четырехполюсников с согласованной нагрузкой соответствующие выражения принимают особенно простой вид. Так, для неавтономного проходного четырехполюсника общего вида с согласованной нагрузкой на выходе выражения для коэффициентов передачи по напряжению и току (7.78) (7.79) могут быть представлены в виде.

а для четырехполюсника с согласованной нагрузкой на входе

Входное сопротивление этого четырехполюсника в первом случае равно Z_cl, а во втором — Z_c2.

Выражения для комплексных частотных характеристик взаимного четырехполюсника получаются из соотношений.

• (7.100) —(7.103) при Г₍ = Г₂ = Г. Для симметричного четырехполюсника (Z_cl = Z_c2 = Z_c, Г₍ = Г₂ = Г) выражения
• (7.100) —(7.103) еще более упрощаются:

Как следует из выражения (7.104), характеристическая постоянная передачи симметричного четырехполюсника с согласованной нагрузкой равна натуральному логарифму отношения комплексных действующих значений напряжений (токов) внешних по отношению к четырехполюснику ветвей, содержащих источник энергии и нагрузку. При согласованной нагрузке на выходе.

Для определения вещественной А и мнимой В составляющих характеристической постоянной передачи представим напряжения и токи на зажимах четырехполюсника в показательной форме:

Из выражений (7.105), (7.106) следует, что вещественная составляющая характеристической постоянной передачи симметричного четырехполюсника с согласованной нагрузкой на выходе равна натуральному логарифму отношения действующих значений напряжений (токов) на входе и выходе четырехполюсника: А = In (Hi/t/₂) ⁼ ln (/j//₂), а мнимая составляющая характеристической постоянной передачи — разности начальных фаз этих напряжений (токов): В = ц/_Ц| — у"₂ = «Vi, — V,₂;

В литературе величины А и В называют постоянными ослабления и фазы четырехполюсника. Постоянная ослабления характеризует изменение действующих значений напряжения или тока при передаче энергии от источника к нагрузке. Ее выражают в неперах (Нп) или белах (Б). Ослаблению в 1 1 In соответствует уменьшение действующего значения напряжения или тока ве~ 2,718 раз. Постоянная ослабления симметричного четырехполюсника, выраженная в белах, определяется десятичным логарифмом отношения полных мощностей на входе и выходе четырехполюсника:

На практике для измерения ослабления широко используют децибелы (дБ):

Для перехода от одних единиц ослабления к другим можно использовать соотношения 1 Ни — 8,686 дБ; 1 дБ ~ ~ 0,115 Ни.

Полезно запомнить, что уменьшению мощности в 2 раза (уменьшению напряжения или тока в V2 раз) соответствует Л_ДБ ~ 3 дБ, уменьшению мощности в 10 раз — Л_дБ —10 дБ, уменьшению напряжения в 10 раз — Л_лГ) ~ 20 дБ. При Ps2 ~ = P_S[ постоянная ослабления симметричного четырехполюсника с согласованной нагрузкой на выходе равна нулю.

Постоянную ослабления четырехполюсника в децибелах Л_дБ не следует путать с логарифмическим модулем КЧХ в децибелах IIопределяемым выражением (3.16). Первая из этих величин характеризует отношение полных мощностей на входе п выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке, вторая — отношение действующих значений или амплитуд реакции и внешнего воздействия при произвольной нагрузке. В частном случае симметричного четырехполюсника с согласованной нагрузкой, для которого внешнее воздействие и реакция представляют собой напряжения г/| и м₂ соответственно, значения Л_дБ = 20 lg (С/,/С/₂) и Я_дБ = 20lg (f/2/{/₁) = -20lg ((/i/f/₂), будут отличаться только знаком.

Постоянная фазы четырехполюсника характеризует изменение начальной фазы напряжения или тока при передаче энергии от источника к нагрузке. Эту величину выражают в угловых единицах — радианах или градусах.

Согласовагаюе каскадное соединение неавтономных проходных четырехполюсников. Каскадное соединение четырехполюсников, А и Б (рис. 7.36) называется согласованным, если характеристические параметры четырехполюсников и сопротивление нагрузки выбраны таким образом, что.

б.

Рис. 736. Каскадное соединение четырехполюсников:

а — согласованное на выходе; б — согласованное на входе.

2Г_С2б ⁼ Z_ll2, %с2А ^=сш (согласование па выходе) или Z_c 1А = Z_Hl,^с1Б = Z_c2А (согласование па входе).

Рассмотрим каскадное соединение четырехполюсников с согласованной нагрузкой на выходе (рис. 7.36, а). Из определения понятия характеристического сопротивления следует, что при таком включении каждый четырехполюсник имеет согласованную нагрузку на выходе, причем входное сопротивление цепочки четырехполюсников со стороны зажимов 1 — 1'четырехполюсника, А равно характеристическому входному сопротивлению четырехполюсника А:

Коэффициент передачи рассматриваемой цепочки четырехполюсников по напряжению /C₂i (усо) равен произведению коэффициентов передачи по напряжению четырехполюсников, А и Б:

Выражая коэффициенты передачи четырехполюсников, А и Б через их характеристические параметры (7.100), получаем

Аналогичным образом при каскадном соединении четырехполюсников с согласованной нагрузкой на входе (рис. 7.36, 6)

Как следует из выражений (7.107), (7.109)—(7.111), цепочка согласованно включенных четырехполюсников может быть заменена одним эквивалентным четырехполюсником, характеристическое входное сопротивление которого Z_cl = Z_clA, характеристическое выходное сопротивление Z_c2 = Z_c2g, а характеристические постоянные передачи Г_t = ⁼ Па ^{+ Г}1Б> Г₂ = Г₂д + Г_2Б.

При согласованном каскадном соединении произвольного числа N одинаковых симметричных четырехполюсников с характеристическими параметрами Z_c0 и Г₀ характеристическое сопротивление эквивалентного четырехполюсника Z_c = Z_c0, а характеристическая постоянная передачи Г = ЛТ₀.