Методы формирования уравнений электрического равновесия, предназначенные для применения в программах автоматизированного анализа цепей

Методы узловых напряжений и контурных токов. Известно, что метод узловых напряжений основан на том, что напряжения всех ветвей произвольной электрической цени могут быть выражены через ее узловые напряжения. В матричной форме зависимость напряжений ветвей от узловых напряжений определяется соотношением, получившим название узлового преобразования:

где А' — транспонированная матрица узлов; и, и,₀ — матрицы-столбцы мгновенных значений напряжений ветвей и узловых напряжений.

Пример 10.3. Убедимся в справедливости соотношения (10.26) на примере цепи, схема которой приведена на рис. 10.4, а. Матрица узлов этой цепи, соответствующая ее графу, изображенному на рис. 10.4, б, имеет вид.

Подставляя транспонированную матрицу узлов.

в выражение (10.26), получаем.

Аналогичные соотношения могут быть найдены непосредственно из рассмотрения схемы цепи (см. рис. 10.4, а).

Для формирования системы узловых уравнений воспользуемся компонентным уравнением цепи в форме Y. Умножая матрицу узлов на каждое из слагаемых, входящих в выражение (10.25), переходим к.

Левая часть этого уравнения представляет собой матричную запись уравнения баланса токов (10.4), поэтому.

Выражая напряжения ветвей через узловые напряжения (10.26) и выполняя очевидные преобразования, получаем систему узловых уравнений цепи в матричной форме.

или

Из выражений (10.27) и (10.28) следует, что матрица узловых проводимостей исследуемой цепи и матрица-столбец узловых токов

могут быть сформированы с помощью простых алгебраических операций над матрицей узлов, А и компонентными матрицами Y, Ug, L. Поскольку компонентные и топологические матрицы цепи содержат значительное число нулевых злсментов, при формировании матрицы узловых проводимостей Y (y) и матрицы-столбца узловых токов j, o используют специальные алгоритмы, учитывающие разреженность матриц A, Y, Ug, i" и исключающие тривиальные операции над нулевыми элементами. Можно убедиться, что системы узловых уравнений цепи для мгновенных значений (10.28) и узловых уравнений для комплексных действующих значений той же цепи (4.19) имеют одинаковую структуру и могут быть получены одна из другой с помощью таких же преобразований, которые необходимы для взаимного преобразования компонентных уравнений для мгновенных и комплексных действующих значений.

Пример 10.4. Используя выражения (10.29), сформируем матрицу узловых проводимостей и матрицу-столбец узловых токов цепи, схема которой приведена на рис. 10.4, а.

Матрица узлов, А и компонентные матрицы цепи Y, u_g, ig, были получены в примерах 10.2 и 10.3. Подставляя эти матрицы в выражение (10.29), находим.

Нетрудно убедиться, что аналогичные выражения могут быть получены и с применением рассмотренного в гл. 4 алгоритма, используемого в ручных методах формирования уравнений электрического равновесия.

Для формирования уравнений электрического равновесия цепи с помощью ЭВМ можно воспользоваться и методом контурных токов. Используя компонентное уравнение цепи в форме Z и учитывая, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей с помощью соотношения i = В%, называемого контурным преобразованием, нетрудно прийти к системе контурных уравнений цепи в матричной форме.

где 1ц — матрица-столбец контурных токов; Z,_; = BZB^f — матрица контурных сопротивлений; е" = B{Zi_v-u_v} — матрицастолбец контурных ЭДС; В и В' — матрица главных контуров и транспонированная матрица главных контуров рассматриваемой цепи.

В связи с тем, что компонентные матрицы Z и Y содержат в общем случае операторы дифференцирования s и интегрирования s^-1, узловые и контурные уравнения цепи для мгновенных значений наряду с производными содержат интегралы от неизвестных функций времени.

Метод переменных состояния. Наличие интегра’юв в уравнениях электрического равновесия цепи, составленных методами узловых напряжений и контурных токов, значительно затрудняет решение этих уравнений и в течение длительного времени ограничивало возможности применения данных методов при машинном анализе цепей. Интегралы, входящие в уравнения электрического равновесия, могут быть устранены путем дифференцирования, однако при этом повышается порядок соответствующих уравнений, что также является нежелательным. Поэтому представляет интерес попытка составить уравнения электрического равновесия таким образом, чтобы они вообще не содержали интегралов. Интегралы в уравнениях электрического равновесия возникают только в том случае, когда напряжение емкости выражают через ток.

или ток индуктивности через напряжение.

Если в качестве независимых переменных выбрать не контурные токи или узловые напряжения, а напряжения емкостей и токи индуктивностей, то уравнения электрического равновесия цепи не будут содержать интегралов от неизвестных функций времени. Такие уравнения называются уравнениями состояния цепи, а независимые переменные (токи индуктивностей и напряжения емкостей) — переменными состояния. Такое название отражает тот факт, что именно токи индуктивностей и напряжения емкостей определяют запасы энергии в реактивных элементах и, следовательно, характеризуют энергетическое состояние цепи.

Рассмотрим методику формирования уравнений состояния на примере простейшей последовательной RLC-цепи (рис. 10.5), основная система уравнений электрического равновесия которой имеет вид.

Выбирая в качестве независимых переменных напряжение емкости и ток индуктивности, выразим остальные переменные, входящие в эти уравнения, через переменные состояния и_с и i_L:

Разрешая уравнения (10.31) относительно производных: Рис. 10.5. К выводу уравнений состояния представим полученную систему уравнений в матричной форме.

или

где  — вектор переменных состояния;  — вектор внешних воздействий; —.

матрицы, элементы которых определяются параметрами пассивных элементов и топологией цепи.

Выражение (10.32) является стандартной формой записи уравнений состояния цепи, не содержащей зависимых источников энергии. Очевидно, что число независимых уравнений, составляемых по методу переменных состояния, равно числу независимо включенных реактивных элементов, т. е. порядку сложности цепи. Если исследуемая цепь будет содержать топологические вырождения, к которым относятся емкостные контуры и индуктивные сечения, то система уравнений электрического равновесия цепи наряду с дифференциальными уравнениями (10.32) будет включать также алгебраические уравнения, составленные на основании второго или первого закона Кирхгофа и отражающие связь между напряжениями емкостей или токами индуктивностей, входящих в соответствующие контуры или сечения.

В ряде случаев, особенно при анализе нелинейных и параметрических цепей, в качестве переменных, относительно которых составляются уравнения состояния цепи, удобно выбирать не токи индуктивностей и напряжения емкостей, а связанные с ними потокосцепления индуктивностей и заряды емкостей.

Формирование уравнений состояния в матричной форме. Матрицы а, b и d, входящие в уравнения состояния цепи (10.32), могут быть выражены через компонентные и топологические матрицы исследуемой цепи, однако в общем случае соответствующие соотношения имеют сложный вид [8,9,24]. Для того чтобы продемонстрировать методику формирования уравнений состояния в матричной форме, ограничимся рассмотрением цени, не содержащей управляемых источников и топологических вырождений.

При составлении уравнений состояния используется расширенное топологическое описание цепи, причем при выборе дерева графа необходимо учитывать, что топологические уравнения цепи (10.20) позволяют выразить токи ветвей дерева через токи главных ветвей, а напряжения главных ветвей — через напряжения ветвей дерева. Следовательно, ветви, напряжения которых выступают в качестве независимых переменных, должны быть включены в число ветвей дерева, а ветви, токи которых выбраны в качестве независимых переменных, — в число главных ветвей. Таким образом, дерево графа, используемое для составления уравнений состояния, должно включать в себя все ветви с источниками напряжения и емкостями и не должно содержать ветвей с источниками тока и индуктивностями. Дерево графа, удовлетворяющее этим требованиям, называется собственным деревом. Для цепей, не имеющих емкостных контуров и индуктивных сечений, всегда можно выделить хотя бы одно собственное дерево [24] К

Пронумеруем ветви графа цепи следующим образом: сначала источники напряжения, затем емкости, сопротивления, вошедшие в дерево, потом сопротивления, не вошедшие в дерево, индуктивности и источники тока. Составим матрицу сечений-хорд Q_x и разобьем ее на подматрицы по типам ветвей, соответствующих строкам и столбцам матрицы:

Здесь буквой G обозначены главные ветви, содержащие сопротивления.

Разобьем матрицы-столбцы токов ветвей дерева i_B, токов главных ветвей i_x, напряжений ветвей дерева и_в и напряжений главных ветвей и_х на подматрицы по типам ветвей:

¹ Для цепей с топологическими вырождениями вместо собственного дерева приходится строить так называемое нормальное дерево, которое содержит все независимые источники напряжения, максимальное число емкостей, минимальное число индуктивностей и не включает в себя независимых источников тока.

С учетом выражений (10.33), (10.34) запишем топологические уравнения цепи (10.20) в следующем виде:

(Знак «минус» перед напряжениями ветвей с источниками напряжения или тока объясняется тем, что положительные направления напряжений данных ветвей противоположны направлениям токов ветвей, т. е. направлениям этих ветвей.).

Компонентные уравнения для каждой группы невырожденных ветвей цепи также можно представить в матричной форме:

где С, L, R, G — диагональные матрицы емкостей, индуктивностей, сопротивлений, включенных в ветви дерева, и проводимостей, входящих в главные ветви.

Из уравнений (10.35)—(10.37) найдем напряжения индуктивных и токи емкостных и резистивных ветвей:

Исключая из (10.38) токи резистивных главных ветвей iQ, получаем

Используя третье из уравнений (10.39) для исключения u_R из первых двух уравнений, систему уравнений (10.39) можно привести к виду (10.32).

Пример 10.5. Составим уравнения состояния цепи, схема которой приведена па рис. 10.1, а.

Данная цепь имеет единственное собственное дерево, включающее ветви с источником напряжения е, емкостями С_ь С2 и сопротивлением /?₃ (см. рис. 10.1, б). Матрица сечений-хорд рассматриваемой цепи, соответствующая данному собственному дереву, получена в примере 10.1. Разбивая матрицу Q_x на подматрицы по типам ветвей, получим.

где.

Используя полученные выражения совместно с компонентными матрицами.

находим уравнения состояния рассматриваемой цепи в форме (10.39):

Исключая u_R3 = Й3О7.1 + j) из первых двух уравнений и объединяя их в одно матричное уравнение, получаем окончательно:

Понятие о численных методах решения уравнений электрического равновесия. При решении частных задач теорий цепей, таких, как исследование цепей нулевого порядка или анализ установившегося режима постоянного тока в линейных или нелинейных цепях, процессы в электрических цепях можно описывать системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Однако в общем случае уравнения электрического равновесия произвольной идеализированной цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой систему интегро-дифференциальных уравнений. Интегрирование таких уравнений в современных программах анализа цепей осуществляется, как правило, численными методами, основанными на замене рассматриваемого непрерывного интервала времени последовательностью точек t₀, t_n на временной оси. Искомая реакция цепи s = s (t) в этом случае приближенно представляется множеством дискретных значений s₀ = s (t₀), S = s (t)>…, s" = s (t_n), определяемых в результате последовательного выполнения ряда шагов интегрирования.

Известные методы численного интегрирования принято разделять на явные и неявные. При использовании явных методов для получения s_n (решения системы уравнений на /7-м шаге интегрирования) используют результаты, полученные на т предыдущих шагах:

В неявных методах для нахождения решения s_n на каждом шаге интегрирования необходимо решить уравнение.

которое в общем случае является нелинейным относительно v Уравнение (10.41) решают с помощью различных методов последовательного приближения, причем для определения значений s_n на каждом шаге интегрирования требуется выполнить несколько последовательных приближений {итераций).

Очевидно, что по сравнению с явными методами реализация одного шага интегрирования с использованием неявных методов требует большего объема вычислений, а следовательно, и больших затрат ресурсов ЭВМ (памяти и машинного времени). Поэтому практическое применение неявных методов стало возможным только в последние годы, в результате разработки мощных ЭВМ, обладающих высоким быстродействием и значительным объемом памяти. В большинстве программ машинного анализа, разработанных до появления таких ЭВМ, использовались явные методы интегрирования, что объясняется относительной простотой вычисления функции (10.40) на каждом шаге интегрирования. В то же время явные методы интегрирования обладают следующими двумя существенными недостатками.

• 1. Для использования этих методов уравнения электрического равновесия должны быть представлены в форме Коши, т. е. разрешены относительно производных от искомой реакции цепи ds/dt=f (s_y t). Из всех рассмотренных методов только метод переменных состояния позволяет получить систему уравнений электрического равновесия цепи в форме Коши, причем процесс машинного формирования уравнений электрического равновесия этим методом более трудоемок по сравнению с методами узловых напряжений или контурных токов.
• 2. Явные методы весьма критичны к выбору шага интегрирования h = t_n — t_n_i. При h > h_Kp, где А_кр — критическое значение, приближенно равное наименьшей из постоянных времени рассматриваемой цепи, происходит потеря устойчивости вычислений, приводящая к неограниченному возрастанию погрешности решения. Необходимость интегрирования с малым шагом значительно увеличивает трудоемкость анализа и существенно ограничивает применение явных методов для анализа цепей большой сложности.

Неявные методы интегрирования не требуют представления исходных уравнений обязательно в форме Коши. Они менее чувствительны к выбору шага интегрирования. Поэтому, несмотря на высокую трудоемкость определения решения на каждом шаге интегрирования, суммарные затраты машинного времени при использовании неявных методов могут оказаться значительно меньше, чем при применении явных методов.

Наибольшую известность среди неявных методов интегрирования получил метод ФДН (формулы дифференцирования назад), используемый в большинстве эксплуатируемых в настоящее время программ автоматизированного анализа цепей [ 91.

Эффективность любого комплекса программ автоматизированного анализа цепей определяется не только рациональным выбором методов интегрирования интегро-дифференциальных уравнений, но также в значительной степени зависит от выбора методов решения систем линейных (СЛАУ) и нелинейных (СНАУ) алгебраических уравнений. Для решения СЛАУ в программах автоматизированного анализа цепей наиболее часто применяют различные модификации метода исключения Гаусса, в частности методы, основанные на представлении матрицы коэффициентов СЛАУ в виде произведения нижней L и верхней U треугольных матриц (/.{/-преобразование). Решение СНАУ обычно производится с помощью различных модификаций метода Ньютона или с помощью метода установления, при котором установившийся режим в цепи, описываемый СНАУ, рассматривается как предел, к которому стремится при затухании переходный процесс в рассматриваемой цепи.

Вопросы и задания для самопроверки

• 1. Запишите систему узловых уравнений цепи для мгновенных значений токов и напряжений в скалярной форме. Каков смысл входящих в уравнения физических величин?
• 2. Запишите систему узловых уравнений цени в матричной форме. Разъясните смысл входящих в систему матриц и векторов.
• 3. Как выражается матрица узловых проводимостей через матрицу проводимостей ветвей исследуемой цепи?
• 4. Какие компонентные и топологические матрицы исследуемой цепи нужны для формирования системы узловых уравнений?
• 5. Запишите систему контурных уравнений произвольной цепи в матричной форме. Как эта система формируется и применяется?
• 6. Почему компонентные матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей произвольной цепи содержат операторы дифференцирования и интегрирования?
• 7. Почему узловые и контурные уравнения произвольной цепи для мгновенных значений содержат производные и интегралы от неизвестных функций времени?
• 8. Выше было отмечено наличие в уравнениях электрического равновесия производных и интегралов от неизвестных функций времени. Какая из этих двух математических конструкций — производная или интеграл — наиболее сильно затрудняет решение упомянутых уравнений и почему?
• 9. Напряжения или токи некоторых элементов цепи называются переменными состояния. Какой смысл вкладывается в этот термин?
• 10. Какие независимые переменные используются при формировании уравнений электрического равновесия цени?
• 11. Охарактеризуйте положительные и отрицательные особенности метода переменных состояния.
• 12. Опишите методику формирования уравнений состояния.
• 13. В чем сущность явных методов численного интегрирования уравнений равновесия?
• 14. Каково принципиальное отличие неявных методов численного интегрирования уравнений от явных методов?
• 15. Дайте общую характеристику уравнениям электрического равновесия в форме Коши.
• 16. Какими особенностями обладает упомянутая форма Коши?
• 17. Какой из методов — узловых напряжений, контурных токов, переменных состояния — позволяет получить уравнения электрического равновесия в форме Коши и почему?
• 18. Какие методы численного интегрирования уравнений электрического равновесия — явные или неявные — получили преимущественное распространение в современных программах автоматизированного анализа цепей и почему?