Математика как предмет познания в начальной школе

Вопросы для обсуждения

• 1. Каковы предпосылки математического познания?
• 2. Что представляют собой первичные исходные элементы в математике?
• 3. Каковы взгляды Ж. Пиаже на онтологию математического познания?
• 4. Каковы взгляды Платона и Аристотеля на онтологию математических объектов?
• 5. В чем состоит роль знака (текста) в математическом образовании?
• 6. Истинность фактов в математике и в начальном математическом образовании, в чем сходство и различие?
• 7. Каковы особенности теоретического и эмпирического подходов в обучении математике?
• 8. Каковы связи принципов научности и системности в обучении математике младших школьников?
• 9. Каково значение принципа систематичности в математическом образовании?
• 10. В чем суть онтологических связей принципов доступности и наглядности в обучении математике младших школьников?

Познание начинается с момента возникновения проблемы. Пока не осознано наличие проблемы как знания о незнании не может начаться и процесс познания. Постановка проблемы — не только осознание того, что мы еще не знаем, но и готовность к поискам ее решения. Возникновение проблемы обусловлено некоторыми предпосылками в виде предзнания, которое может быть как результатом действий человека в реальном мире, так и результатом воображения, необходимого для формирования идеи и возникновения на ее основе вопроса, поиск ответа на который и составляет суть познания.

Предзнание в математике может представлять собой некоторые элементы как первичные исходные, из которых можно построить теорию, дающую способ решения имеющейся проблемы. Например, в качестве исходных элементов геометрии полагают точку, прямую, плоскость. Сами по себе абстрактные математические понятия «точка» или «прямая» никаким наличным материальным бытием не обладают и не обладают никакими индивидуальными свойствами, а все, что познается о точках и прямых, исчерпывается тем, что проявляется в их взаимодействии с другими геометрическими объектами. Причем описания вида «точка есть то, что не имеет ни величины, ни частей» ничего не определяют и нигде в геометрии не используются. Тем не менее такого рода описания играют психологическую роль, они нужны как опора мысли, мышление не может быть беспредметным. И точка, и прямая предъявляются учащимся чаще всего в форме графических моделей.

Возможен и другой подход к введению исходных элементов познания в математике. Он состоит в том, что исходные элементы задаются не сами по себе, а вычленяются из некоторой системы, так или иначе известной из предшествующего опыта. Как показал Ж. Пиаже, оптологическая специфика математического познания состоит в том, что понимание абстрактных математических структур опирается на неявное знание, связанное с элементарными арифметическими и геометрическими представлениями, которые формируются весьма рано и независимо от целенаправленного обучения. Опора на такие представления позволяет трактовать, например, точку как результат дифференциации и интеграции имеющихся у детей знаний об окружающем пространстве и тел в этом пространстве, местонахождение которых можно некоторым наглядным образом фиксировать, а линию рассматривать как траекторию движения некоторого объекта, в частности точки.

Вместе с тем обучение математике не может игнорировать вопрос об онтологической сущности математических объектов, различные взгляды на природу которых восходят к Платону и Аристотелю. Так, Платон считал, что математические объекты существуют сами по себе, так сказать, «в готовом» виде, в мире идей и лишь открываются интеллектуальными усилиями человека. Аристотель, напротив, полагал, что математические понятия создаются в процессе конструктивной и преобразующей деятельности человека в реальном (вещественном или идеальном) мире, и существуют в форме мысленных образов, которые «материализуются» теми или иными знаками. И Платон, и Аристотель отмечают абстрактность математических сущностей, как материальные объекты они представлены только знаками.

С методологических позиций знак (знаковая форма, схема) являются объектом действия. Причем знаковые обозначения в математике таковы, что они, вообще говоря, не допускают разночтений, двусмысленностей, позволяют производить действия с ними по однозначно определенным правилам. Такое положение «провоцирует» направленность педагогических усилий на обучение этим правилам. Знаки «удобнее» и «доступнее», чем репрезентируемое ими содержание, и в условиях обучения могут неправомерно доминировать над обозначаемым содержанием. При этом знак воспринимается либо как обозначающий самого себя, либо как неотъемлемый атрибут репрезентируемого знаком объекта. Например, «2» — это и есть число два.

С другой стороны, математические понятия, правила, отношения и связи предъявляются познающему субъекту, как правило, не отдельными знаками, а текстами, чаще всего представляющими собой последовательность слов или собственно математических знаков. Например, прием нахождения суммы 7 + 5 может быть задан следующим текстом: найди число, которое дополняет 7 до 10, найди число, которое дополняет найденное число до 5, прибавь полученное число к 10; запиши ответ. Очевидна сложность данного текста, а избежать громоздких словесных описаний удается не всегда. В обучении математике сложность грамматических конструкций, обозначающих математические понятия линейной последовательностью слов или каких-либо других знаков, является одной из причин, затрудняющих ее усвоение.

Если обратиться к аристотелевскому взгляду на математический объект как па результат деятельности познающего субъекта в реальном мире, существующий только в виде мысленного образа, то обучение, преодолевающее трудности такого рода, должно идти по пути конструирования в сознании учащихся понятийного образа математического объекта, адекватного его объективному содержанию. Этот образ обозначается знаком. Понятийный образ, создаваемый в процессе обучения, не обязан совпадать с объективным содержанием математического объекта во всей его полноте, но обязан содержать то знание, которое не подлежит изменению, но может расширяться и обогащаться в процессе дальнейшего обучения.

Особый онтологический статус математики приводит к другой проблеме ее преподавания: проблеме установления истинности математического знания. Онтологическая сущность математических объектов обусловливает невозможность установления истинности утверждений математики ни непосредственным наблюдением, ни результатами специально организованного эксперимента. Единственным способом установления истины в математике служит доказательство: последовательность умозаключений, каждое из которых является либо следствием предшествующих, либо доказано ранее. Такое положение приводит к необходимости принять некоторые утверждения за истинные без доказательства. По целому ряду причин обучение математике в школе по такой логической схеме невозможно. Более того, данная схема не гарантирует возможности того, что среди доказываемых утверждений не встретятся такие, одно из которых является отрицанием другого, что подвергает сомнению выбор исходных утверждений.

Тем не менее это не снимает проблемы обоснования истинности суждений, изучаемых в школе. Например, истинность результатов вычислений в пределах первой сотни может быть проверена практически на основе адекватных моделей числа и действий над числами. Причем учитель обязан понимать, что примеры, подтверждающие то или иное утверждение, не могут служить доказательством его истинности, но могут служить опровержением некоторых суждений, сформулированных по аналогии. Включение в процесс познания таких видов деятельности, которые ведут к «открытию» тех или иных математических фактов адекватными их сущности способами, не оставляют у детей сомнений в их истинности, оставаясь тем не менее гипотезами, достоверность которых увеличивается подтверждающими примерами. Хотя младший школьник все, что ему преподносится в школе, принимает, как правило, без сомнений, это не отменяет необходимости формирования у детей способностей контролировать, корректировать, подтверждать или опровергать истинность тех или иных предложений.

Сложившиеся в начальном математическом образовании эмпирический и теоретический подходы индуцируют различные стратегии обучения. Эмпирический подход определяет репродуктивный характер обучения, его цель — воспроизведение учащимися учебного материала в том виде, в котором он предлагается как предмет усвоения. Представители эмпирического подхода ставят во главу угла объяснительно-иллюстративный метод, направленный на формирование знаний, умений и навыков и отражающий реалии уходящего в историю индустриального общества. Как отмечает А. Я. Данилюк, классическая зуновская дидактика, основанная па эмпирическом подходе, стала устаревать по мере появления учения А. Н. Леонтьева о личностных смыслах, теорий развивающего обучения и современных концепций личностно ориентированного образования^[1].

Теоретический подход определяет продуктивный характер обучения, создание условий для самореализации личности в качестве главной цели образования. Продуктивные методы обучения математике, в основе которых лежит теория деятельности, позволяют ребенку конструировать понятийные образы математических объектов в процессе специально организуемой предметной (в логическом, а не только материальном смысле) деятельности, совершать «обратный» выход в предметную деятельность при решении познавательных задач. Представители теоретического подхода считают необходимым и возможным в процессе обучения математике формировать у младших школьников мышление в понятиях и о понятиях. Теоретический подход способствует достижению одной из наиболее значимых целей общего математического образования: цели «приведения ума в порядок», сформулированной еще М. В. Ломоносовым. С другой стороны, теоретический подход, ориентируясь на реалии постиндустриального общества, смещает акценты в математическом образовании: главным в обучении становится не обучение счету в широком смысле, а понимание

сущности и места математики в целостном знании о мире. С этих позиций классические дидактические принципы в обучении математике приобретают новые оттенки.

Системообразующим принципом обучения знаниевого типа является принцип научности, он состоит в том, что учащимся для усвоения предлагаются подлинные, прочно установленные наукой знания, а используемые методы обучения по своему характеру приближаются к методам изучаемой науки. Не отменяя принципа научности, гуманистическая сторона математического образования определяет его прежде всего в отношении к ученику. Так, в системе обучения математике в начальной школе, разработанной под руководством В. В. Давыдова, принцип научности реализуется посредством опоры на конструктивно-генетическую природу математических объектов, что соответствует историческому ходу становления и развития математики: в сжатом виде ученик на основе теории учебной деятельности проходит тот путь познания, который приводит к новому знанию.

Часть принципа научности — принцип системности, так как научные знания системны по своей сущности. В обучении математике младших школьников этот принцип, как правило, реализуется внутри каждой из содержательных линий курса: арифметической, геометрической, алгебраической, в настоящее время и в линии обучения информатике, но вызывает трудности в обосновании математических и логических связей между ними.

Принцип систематичности выражает ту сторону принципа научности, которая фиксирует соответствие обучения математике науке педагогике. Согласно этому принципу учебное содержание логически располагается так, чтобы новое знание выводилось из предыдущего и, в свою очередь, служило основой последующего с учетом познавательных возможностей учащихся на данном этапе обучения. Построение системы обучения арифметике по десятичным концентрам, основы которого были заложены еще в XVIII в., позволяет реализовать принцип систематичности, организуя обучение от простого к сложному, от известного к неизвестному.

Принцип доступности обучения состоит в том, что математическое знание становится доступным младшему школьнику в результате его дидактической реорганизации, которая, сохраняя содержание изучаемого знания, адаптирует его к познавательным возможностям ребенка. Доступное обучение формирует первоначальные, не развитые в теоретическом отношении представления, образующие основу для системного научного знания. Оно осуществляется в процессе перевода математического знания на доступный ученику язык. Доступное обучение приближает научные знания к сознанию ученика посредством их упрощения. Проблема в том, что в обучении математике, при этом возможны упрощения, искажающие объективное содержание изучаемого знания, вопреки необходимости воспроизвести в сознании ученика объективное научное знание и способы научного мышления, в той мере, в какой это достижимо на каждом конкретном отрезке обучения. Например, сообщение учащимся того, что «вычитание есть операция, обратная сложению», само по себе требующее уточнения, принесет детям больше вреда, чем пользы, в силу того, что возможности формирования понятий «алгебраическая операция» и «обратная алгебраическая операция» в начальной школе крайне ограничены, если не допускать искажения их содержания.

Принцип наглядности стоит на одном из первых мест среди принципов обучения в начальной школе, в том числе в обучении математике. Принцип наглядности определяет особую форму организации дидактической системы, в которой параллельно вербальному или знаковому описанию объекта различными текстами дается его представление в визуальной форме, т. е. знание одновременно предъявляется как в словесной, так и в визуальной форме.

Наглядность в обучении математике имеет совершенно иной характер в сравнении с другими изучаемыми в начальной школе дисциплинами. Математический объект в принципе не может быть предъявлен наглядно. Реализация принципа наглядности в начальном математическом образовании не может сводиться к занимательным картинкам, даже если они и вносят в процесс познания эмоциональные эффекты. Принцип наглядности обучения математике может быть реализован только с помощью специальных средств: предметных, графических, символических и др. Например, лист бумаги может служить моделью поверхности, а отрезок — моделью непрерывной величины. Особую роль принцип наглядности играет в дидактической системе обучения математике, разработанной под руководством В. В. Давыдова, в которой наглядное представление математических объектов, свободное от каких бы то ни было «привходящих обстоятельств», играет системообразующую роль. Необходимость расширения и уточнения используемых средств наглядности в начальном математическом образовании связана, в частности, с трудностями изучения геометрии в основной школе, обусловленные тем, что непрерывно-континуальный язык абстрактной «картинки» с трудом воспринимается школьниками по причине недостаточности соответствующего познавательного опыта.

Принцип связи теории с практикой предполагает систематическое усвоение знаний с практическим их применением в соответствующих жизненных ситуациях. В обучении математике младших школьников он реализуется прежде всего в процессе решения текстовых задач, т. е. задач в которых требуется найти те или иные количественные/качсственные характеристики ситуации, описываемой вербально и имеющей определенную фабулу. С другой стороны, особое положение текстовых задач в математическом образовании заключается в том, что они выступают и как средство, и как цель обучения. Несмотря на то что исследований проблем, связанных с обучением младших школьников решению текстовых задач достаточно, эти проблемы до сих пор остаются актуальными в методике обучения математике.

В то же время принцип связи теории с практикой обладает большими дидактическими возможностями в сравнении с принципом наглядности. При реализации принципа связи теории с практикой наблюдение за математическим объектом может происходить на фоне адекватной ему природной или социальной среды в контексте его естественного поведения. Теоретическое знание перекодируется языком практики путем соотнесения слова и образа, рассуждения и действия. В начальном обучении математике принцип связи теории с практикой тесно взаимодействует с принципом наглядности.

Принцип активности, сознательности, прочности усвоения направлен на активизацию и интенсификацию мышления ученика, его становления как субъекта учения. Этот принцип характеризует обучение в целом в плане тех результатов, к которым оно должно привести, и общих условий, необходимых для этого. Результаты образования являются системообразующим компонентом ФГОС НОО, где целью и основным результатом образования выдвигается формирование готовности к саморазвитию личности на основе усвоения универсальных учебных действий.

Таким образом, идеальные абстрактные объекты математики как предмет познания предъявляются ученику для непосредственного усвоения и (или) выступают в качестве объекта преобразования, формируя в сознании учащихся представление о месте и роли математики в целостном представлении о реальном мире. С другой стороны, организация познавательной деятельности детей на основе дидактических принципов, направляющих процесс познания на становление субъекта учения, выполняет функцию воздействия на личностные характеристики учащегося в направлении его целостного и непротиворечивого развития.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Подготовьте сообщения по следующим темам.
• • Проблема, которую решают ученики при изучении отношения порядка, состоит в овладении умением выстраивать предметы в последовательность без опоры на их непосредственно наблюдаемые качества.
• • Поверхность, линия, точка как исходное предзнание в обучении младших школьников элементам геометрии.
• • Репродуктивный метод обучения математике в начальной школе: плюсы и минусы.
• • Достоверность математического знания о сравнении чисел первого десятка и его обоснование в обучении первоклассников (свои выводы подтвердите заданиями из учебника математики М. И. Моро и др.).
• • Принцип наглядности как средство формирования у первоклассников умений оперировать различными знаками (подтвердите свои выводы заданиями из учебника математики Г. В. Дорофеева и др.).
• 2. Покажите, что формирование понятия «величина» в системе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова реализует теоретический подход. Свои выводы подтвердите заданиями из учебника математики В. В. Давыдова с соавторами.
• 3. Опираясь на принцип систематичности, постройте рассуждение на тему «Чтобы овладеть приемом письменного сложения чисел надо уметь складывать однозначные числа».
• 4. Н. Б. Истомина утверждает: «Прежде чем обучать решению текстовых задач, необходимо разъяснить детям, что такое сложение и вычитание». Докажите, что этим реализуется принцип системности. Подтвердите примерами из учебника Н. Б. Истоминой «Математика».
• 5. Напишите эссе на тему «Моя готовность осуществлять принцип научности в обучении математике».
• 6. Подготовьте выступление на тему «Личностная ориентация обучения математике предполагает обучение ребенка мыслить».

• [1] Данилюк А. Я. Теория интеграции образования. Ростов и/Д: Изд-во Ростовского педагогического университета, 2000. С. 204.