Комплексный (экспоненциальный) ряд Фурье

Применяется также запись ряда Фурье в комплексной форме, получаемая при замене тригонометрических функций экспоненциальными с введением в рассмотрение комплексных величин.

Тригонометрический ряд Фурье записывается в виде.

По формулам Эйлера имеем:

Подставив эти выражения в (2.10), получим.

Запись формулы (2.14) можно упростить. Для этого введем в рассмотрение отрицательные индексы п и с учетом, что коэффициенты а_пчетны, а коэффициенты Ь_п нечетны относительно индексов, обозначим.

где.

Достоинством этой формы записи ряда Фурье является компактность. Согласно (2.16) сигнал x (t) представлен суммой комплексных составляющих вида c_ne^{J, U0]} где п изменяется отсо до со. Отрицательному значению п соответствует отрицательная частоталсо,. Очевидно, что отрицательные частоты в природе не существуют. Они являются математической абстракцией и появляются в результате формального представления гармонических функций в комплексной форме. Легко показать, что при переходе от комплексной формы записи (2.16) к тригонометрической (2.13) отрицательная частота исчезает. Выделим в (2.16) пару слагаемых, соответствующих некоторому значению п :

Тогда, объединив все слагаемые в (2.14) под один знак суммы, придем к следующей форме записи ряда Фурье:

Векторная диаграмма этих комплексных составляющих ряда показана на рис. 2.3. Векторы с длиной |с_я| вращаются с угловой частотой лсо, во взаимно противоположных направлениях. Сумма этих векторов дает вещественную функцию

Рис. 2.3. Векторная диаграмма гармонического сигнала.

Коэффициенты с_п являются комплексными величинами. Поэтому для представления периодического сигнала в частотной области в общем случае необходимо иметь два вещественных спектра: амплитудный спектр cl и фазовый спектр ф_п = argc". Спектральные диаграммы при использовании комплексного ряда Фурье строятся как для положительных, так и для отрицательных значений со (или п). Легко убедиться в том, что амплитудный спектр является четной функцией, фазовый спектр — нечетной функцией, и в общем случае имеют вид, подобный показанному на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Спектральные диаграммы: а — амплитудная; б-фазовая.

Для положительных п коэффициенты тригонометрического и комплексного рядов Фурье, как следует из (2.11) и (2.15), связаны следующим образом: