Построение приближенных методов решения задач исследования ХТС

Пусть исходная задача исследования ХТС, обозначаемая через А, заключается в том, чтобы минимизировать функцию ср («), зависящую от вектора параметров ХТС х е= Н_п в некоторой области Q = [х | gi (к) ^ 0, г 6= /}, отображающей допустимые состояния ХТС; St (х) — функция ограничения модели ХТС. т. е.:

Поскольку решение задачи А будет определяться приближенно, оно может не совпадать с истинным решением этой задачи, а являться лишь близким ему в определенном смысле. В этом случае мы говорим, что это решение в максимальной степени удовлетворяет условиям системы ограничений исходной задачи и обеспечивает близкое к наименьшему значению целевой функции. Сущность предлагаемого подхода заключается в том, что решение исходной задачи исследования ХТС рассматривается как процесс достижения целей при нечетких (приближенно достигаемых) ограничениях областей изменения переменных. Поиск решения исходной задачи сводится к поиску предельной точки некоторой последовательности экстремумов вспомогательных функций, построенных из функций принадлежности нечетких ограничений и целей. При некоторых свойствах функций целей исходпой задачи и применяемых функций принадлежности нечетких ограничений искомая «предельная точка» приблизится к решению исходпой задачи с требуемой точностью. Пусть множество ограничений исходной задачи А представляет собой «пересечение» локальных множеств, образуемых локальными ограничениями:

В смысле приближенного достижения условий ограничений каждая локальная область C_t может отождествляться с некоторым нечетким множеством C_t допустимых значений переменных соответствующего локального ограничения. Функция прпнадлежности нечеткого множества C_t имеет вид.

и соответствует степени удовлетворения вектором переменных х локальному ограничению g {х)⁰ исходной задачи.

Функции принадлежности нечетких локальных множеств допустимых параметров, формируемых из локальных ограничений исходной задачи исследования ХТС, позволяют определить функцию принадлежности нечеткого множества допустимых параметров ХТС, представляющего собой пересечение нечетких допустимых. множеств в смысле отдельных ограничений С_f:

функцию принадлежности нечеткого множества Ф, — параметров, нарушающих i-e локальное ограничение:

функцию принадлежности нечеткого множества Ф параметров, нарушающих систему ограничений задачи А в целом, которое представляет собой дополнение нечеткого множества допустимых параметров задачи А:

которое означает, что нечеткое множество параметров, нарушающих систему ограничений исходной задачи Л в целом, представляет собой объединение нечетких множеств параметров, нарушающих отдельные ограничения этой системы. Справедливость соотношения (7.7) нетрудно доказать, используя цикл следующих соотношений:

Сформулируем эквивалентные задачи исследования (в смысле эквивалентности исходной задаче А).

Определение. Пусть исходная задача исследования ХТС А разрешима, т. е. множество ее решений не пусто и компактно, тогда задача А1, эквивалентная исходной задаче исследования ХТС А_у заключается в определении предельной точки х* последовательности решений некоторых вспомогательных задач В (/) при t оо:

где В (0 — вспомогательная задача безусловного поиска экстремума в пространстве Е_п. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Если известно наименьшее значение целевой функции (или КЭ) исходной задачи А: ср* = inf (р (х), то можно оце;

нить степень принадлежности нечеткого множества оптимальных значений КЭ с помощью функции принадлежности (х), и тогда вспомогательная задача В (t) примет вид.

Случай 2. Если неизвестна нижняя оценка КЭср*, то вспомогательная задача В (t) записывается как.

Обоснуем эквивалентность задач А и А1. Для этого установим свойства непрерывности функций принадлежности (х) и p, Q (х), применяя для их определения минмаксные правила композиции непрерывных элементарных функций принадлежности [3]. Пусть Pd (#) — некоторая обобщенная функция принадлежности нечеткого множества D d Е_П1 определенная по минмаксному правилу из элементарных функций принадлежности:

где fj (х, У) =/_; (х, у_1У.. у_п) непрерывные для Vx, У d Е_п функции. Тогда а) функция (х) непрерывна для Vx Е_п; б) функция, получаемая в результате выполнения арифметических операций (умножения, сложения, вычитания, деления) над функцией принадлежности id (#) и конечным числом непрерывных других функций, есть непрерывная на Е_п за исключением тех значений х, при которых знаменатели при делении обращаются в нуль.

Доказательство. Пусть F (z) = max [₂ (z)l, где cp! (z), cp₂ (z) — непрерывные фупкции для Vz ?= E_n. Возможны три случая: а_х) <�р_х (z) > (р₂ (z), Vz d Е_п a₂).

x (z) < cp₂ (z), Vz E_n a₃) другие ситуации. В случаях ах), а₂) имеем F (z) = =.

t (z), F (z) =.

2 (z) и F (z) — непрерывная.

В случае а₃) можно доказать, что [3z°: cpj (z°) = ф₂ (z°)l. Пусть, например, z° — единственная, тогда справедливы соотношения.

ИЛИ.

Оба соотношения (7.13) означают, что F (z) непрерывна для Vz €= Е_п. Аналогичным образом. можно доказать непрерывность F (z) в случае, когда z° не единственная.

Теперь, полагая F' (z, у) = шах 1]_х (х, у), /₂ (х, г/)], мы сможем доказать, что F" (х, у) = max IF' (z, у), /₃ (х, у)) непрерывна, и т. д.

Таким образом, х> (х, у) = шах [/^ (х, у)] непрерывна при Vx €Е.

J—1, т

6Е Поскольку fj (х, у) непрерывна при Vy ЕЕ ^то нетрудно доказать непрерывность функции % (х) = [шах. .. шах /_;— (х,.

Vi v_n

у_L,.. ., y_n)l при V;. Отсюда следует непрерывность функции принадлежности (x_D (х) для V# Е_п. Доказательство пупкта б) очевидно и основано на свойствах непрерывных функций [4].

Из приведенного доказательства следует также непрерывность функций рл (я), построенных по другим правилам из элементарных непрерывных функций принадлежности /;(я, У),; = 1, 2,. .. .. т.

Приступим к обоснованию свойств допустимости и оптимальности приближенных решений эквивалентных задач исследования ХТС. Предположим, что множество допустимых значений переменных исходной задачи исследования ХТС имеет область значений. Это означает, что.

является компактным. Установим существование предела последовательности минимальных значений функций F (t, х) задач В (t). Пусть.

Тогда последовательность минимальных значений функции F (t_yx) вспомогательных задач В (t) имеет верхний предел, равный А.₀, т. е.

Доказательство. Пусть xj = х (tj) — оптимальное решение вспомогательной задачи B (tj).

Из соотношений для а *> 0, 3 > О получим, что для /=0,1,2…т

Далее из определений функций принадлежности имеем, А это означает, что

т. е. утверждение доказано.

Эквивалентность задач исследования ХТС А и А I устанавливается в следующих утверждениях.

Пусть Q — замкнутое множество в Е_п, {ж* = x (tj)} — последовательность решений вспомогательных задач В (tj) для V/, сходящаяся к х. Если Xj ЕЕ Q Для j = 1, 2,.. ., т и существует такое положительное число Л/ < оо, что tj (1 — рс (ж) Я ^ М для / = 1, 2,.. ., ттг, то X

Доказательство. Предположим противное: ж Q, Тогда, по определению, имеем.

Из того, что рс (#) и tj (1 — рс (я))^ непрерывны, следует, что [Я шар 2? с центром х: ts> (1 — рс (я))⁰ > ЗЛ//2, Уж F⁷ /У| и далее [t_N> (1 — р_с (ж))& = 0, Vx ЕЕ Q] => [2? П ^ = 01- Так ^как

[ж, — х_у / -? оо] ^ [ЯЛ^Г": целое: Ж/ е Й, V/ > jV"), то [7V =.

= max (N'y N")] [ж, — М -" U, (1 — p_Q (ж,))3 >

> (1 — рй (acjv))⁰ > ЗЛ//2]. Но по условию tj (1 — p_S2 (жу))Р ^.

^ М -=" (ж ^ Q). Отсюда ж является допустимым решением исходной задачи А.

Докажем теперь оптимальность в смысле исходной задачи исследования ХТС приближенного решения эквивалентной задачи А1 в результате решения совокупности вспомогательных задач В (tj). Пусть множество ограничений Q исходной задачи исследования ХТС (7.1) замкнуто; функции принадлежности р<�р (ж), ро (ж) печетких множеств целей и ограничений пепрерывпы в Е_п; множество ж', определенное в (7.14), компактно; xj — решение вспомогательной задачи В (tj) для tj tj_+l, V/ = 1, 2,. .. Тогда любая предельная точка последовательности {acy}Jli является оптимальным решением исходной задачи А.

Доказательство. Из приведенных выше доказательств можем считать, что последовательность решений вспомогательных задач В (tj) сходится к некоторой точке х: lim {ху = arg В (tj)_t

j-*oo

tj > fj_,} = x. Возможны два случая.

Случай 1. ЯЛГ > 0: N целое: Itj (1 — pa (ху))^р — О, V/ > N_f так как Хух ^ Й)) & [(1 — р_Ф (х))^а = (1 — |х_ф (*))^а + tj (1 — — С*))¹³" Vx Й) =$> [Ху = л₀, V/ > N) при J > N =Ф [ху максимально принадлежит нечеткому множеству целей исходной задачи А].

Поскольку |А_Ф (х) непрерывна и Ху2; (1 — р_Ф (ху))^а = Х₀ при у > 7V, получим, что (1 — р_ф (1))^а = Х₀ и х — оптимальное приближенное решение исходной задачи исследования А.

Случай 2. Возможно не существует такого числа N, как предполагалось в случае 1. Так как Ху —при у—? оо, пусть в силу непрерывности р_ф (х) при j (Е К имеем.

Так как [Xj = (1 — р_ф (ху))^а -Ь fy (1 — Цп («у))¹³ < А,₀, V/ е= /П, получим.

что означает ограниченность числом Х₀ + М* последовательности {tj (1 — (ху))^}, V/ €Е К. Из предыдущего вытекает, что.

Но так как.

то х — оптимальное приближенное решение исходной задачи А. Сделаем несколько замечаний.

' Замечание 1. Если целевая функция исходной задачи исследования ХТС <�р (х) непрерывна и ограничена, то полученные выше результаты остаются справедливыми для эквивалентной задачи Л1, в которой вспомогательные задачи определяются по соотношениям (7.10) или (7.11), .а функция принадлежности нечеткого множества ограничений задачи р_й (я) определяется из непрерывных элементарных функций принадлежности локальных ограничений.

3 а м е ч, а и и е 2. На рис. 7.1 приведены примеры графиков функций принадлежности нечетких множеств доиустимых и недопустимых значений параметров исходной задачи А. На рис. 7.2 показаны вспомогательные штрафные функции F (t, х), образуемые.

Рис. 7.1. Функции принадлежности нечетких множеств допустимых (а, б) и недопустимых (в, г) значений параметров исходной задачи Рис. 7.2. Модифицированные штрафные функции F (f, х) и целевая функция / (я) исходной задачи исследования ХТС.

<�нз функций принадлежности, и сходимость последовательности ее. минимумов / (х) при I оо к решению исходной задачи А.

Замечание 3. Штрафные функции вспомогательных задач могут определяться как из функции принадлежности множества допустимых параметров в целом, так и из функций принадлежности множеств недопустимых параметров по отдельным ограничениям.

Замечание 4. Простота вычисления штрафных функций вспомогательных задач, их свойства нормированности и селективности вытекают из их определения, из соответствующих функций принадлежности и их свойств.

Замечание 5. При известном значении нижнего предела целевой функции исходной задачи эквивалентная задача А1 имеет вид (7.9), (7.10). При этом при некоторых свойствах (например, выпуклости множества Q, локальной выпуклости элементарных функций принадлежности и т. д.) последовательность решений вспомогательных задач при t-*-oo сходится к решению исходной задачи А, т. е. к глобальному минимуму целевой функции <�р©, несмотря на другие ее свойства (дифференцируемость, выпуклость и т. д.).

3 а м е ч, а н и е 6. В общем случае, если ф (г) произвольная, a Q — выпуклое множество, последовательность решений вспомогательных задач сходится к решению исходной задачи при t ^> > /* ^>0, которое представляет собой глобальный минимум вспомогательной функции F (t, х). Для t<^t* этой предельной точкой может быть некоторый локальный минимум. Если <�р (я) выпуклая, имеющая минимум или монотонная, то решение совокупности вспомогательных задач В (t), (7.10), (7.11) все равно приводит к единственному минимуму вспомогательной функции F (t, х) после некоторого значения t.

Рассмотрим несколько случаев задания функций степеней принадлежности при формализации допустимых илп недопустимых значений параметров.

Случай 1. Ограничения исходной задачи исследования даны в виде равенств Q = (х | g_t {х) = 0, i ^ Тогда функции при;

В этой ситуации, используя формулы определения функции принадлежности (да, (х), x_Qt (х), Ий, (х), а также |Л_Ф, (х), р_Фг (х), р_Ф, (х), получим функцию принадлежности нечеткого множества допустимых значений переменных для задачи исследования ХТС в целом.

а также функцию принадлежности нечеткого множества недопустимых значений переменных для задачи в целом.

Заметим, что все приведенные штрафные функции р_ф (х) в виде функции принадлежности нечеткого множества недопустимых значений параметров ХТС являются непрерывными и удовлетворяют условиям сделанных ранее утверждений.