Основы теории эксперимента

Метод важнее открытия, ибо правильный метол исследования приведет к новым, еще более ценным открытиям.

Л. Ландау

Основы теории эксперимента предусматривают анализ ряда вопросов:

• 1) целей экспериментального исследования, определяющих его конечный результат;
• 2) типовых задач эксперимента;
• 3) основных положений планирования эксперимента;
• 4) условий проведения эксперимента и варьируемых факторов;
• 5) методики и эмпирической схемы проведения эксперимента, включая приборную обстановку;
• 6) методов обработки, отображения и интерпретации экспериментальных данных.

Целями экспериментального исследования могут быть:

• — подтверждение правильности научной гипотезы;
• — проверка на практике адекватности, работоспособности и практической пригодности моделей, методик;
• — определение оптимальных условий технологического или иного операционного процесса.

Вне зависимости от целей типовыми задачами эксперимента являются:

• 1) проверка теоретических положений для подтверждения их истинности;
• 2) поиск значений параметров, обеспечивающих достижение оптимального (устойчивого, допустимого и т. п.) значения показателя функционирования;
• 3) построение интерполяционных аналитических зависимостей искомой функции от параметров явления (процесса);
• 4) оценка дифференцирующего влияния параметров системы на показатель эффективности (качества) исследуемого процесса;
• 5) проверка эффективности процессов, испытания образцов техники;
• 6) проверка (уточнение) констант математических либо иных моделей;
• 7) выявление параметров, незначительно влияющих на показатели эффективности (качества) системы.

Основы планирования эксперимента являются важным элементом теории эксперимента и будут рассмотрены в следующем параграфе более подробно.

Условия проведения эксперимента — это обстоятельства, в которых происходит эксперимент и которые изменить не представляется возможным.

Варьируемые факторы — это обстоятельства, принимающие определенные значения и непосредственно воздействующие на процесс (явление), определяющие его характер, и которые исследователь может варьировать.

При планировании эксперимента факторы должны быть управляемы, т. е. должна быть обеспечена возможность установить их нужное значение и поддерживать их постоянными в течение опыта либо изменять по заданной программе. Фактор можно считать заданным для проведения эксперимента, если вместе с его названием указана область его определения, т. е. совокупность всех значений, которые он может принимать, а также его размерность и точность фиксирования, интервал его варьирования. В исходной точке эксперимента значения параметра должны быть наилучшими и лежать внутри области определения.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов и их уровней, называют полным факгорным экспериментом. Если число уровней каждого фактора равно двум, то это означает, что проводится полный факторный эксперимент типа 2к, где к — число варьируемых факторов.

Если факторов много, то можно проводить ограниченный эксперимент. Для этого сокращают число варьируемых факторов, оставляя только наиболее значимые из них. Значимость факторов может быть определена опытным или аналитическим путем по силе их влияния на результат эксперимента. «Несущественными» факторами, как правило, можно пренебречь.

Если сократить число варьируемых факторов и провести ограниченный эксперимент не представляется возможным, то для уменьшения числа опытов составляют так называемый дробный план испытаний.

Методика проведения эксперимента включает в себя совокупность приемов, операций и способов достижения целей, поставленных перед экспериментом, в том числе:

• — технологию (совокупность методов и инструментов) эксперимента и описание опытной (приборной) установки;
• — приемы и правила осуществления каждого этапа эксперимента, порядок использования приборов и оборудования;
• — стратегию эксперимента и атгоритм ее реализации: количество серий эксперимента и их отличия друг от друга; количество опытов в каждой серии или иные условия завершения серии; порядок анализа результатов после завершения каждой из серий перед переходом к последующей серии;
• — последовательность действий исследователя в ходе каждой серии опытов;
• — порядок измерения, фиксации результатов и методы их обработки;
• — порядок анализа итоговых результатов и формулирования выводов.

Наиболее распространены натурные и аналоговые методы проведения эксперимента, а также моделирование и социальные эксперименты. Последние представляют собой практически основную возможность получения стохастической первичной информации при исследовании социальных проблем.

Натурные методы основаны на изучении поведения объекта в заранее оговоренных условиях. Они предполагают определенные правила подготовки объекта (построение нового либо использование эксплуатируемого объекта, установка датчиков и т. п.), приемы проведения и фиксации измерений; способы обработки и представления экспериментальных данных, способы измерения условий работы исследуемого объекта и т. п.

Аналоговые методы основаны на проведении экспериментов на аналоговых моделях идеального объекта исследования, адекватно отражающих реальный предмет или явление. Они позволяют установить сходства в некоторых сторонах, качествах и отношениях между нетождественными объектами и явлениями.

Моделирование — воспроизведение свойств исследуемого объекта или явления на специально, по определенным правилам, созданном его аналоге. Моделирование является одним из наиболее распространенных методов экспериментальных исследований, особенно в вопросах социального управления.

Различают дескриптивное, прескриптивное, предметное, аналоговое, концептуальное, аналитическое, имитационное и системное отображение реальных процессов и явлений. Сами модели различают по следующим типам: физические, математические и натурные, концептуальные и детальные. Например, лабораторная модель Асуанской плотины представляла собой копию реальной плотины в масштабе 1:1000. На ней изучались показатели работы будущей реальной плотины, а затем было осуществлено ее строительство.

Независимо от класса моделей основными правилами моделирования являются:

• — построение модели и оценка се адекватности (соответствия реальному объекту или процессу);
• — разработка алгоритма процесса моделирования;
• — создание механизма измерения входных и выходных параметров модели, а также параметров внешних и внутренних факторов, оказывающих воздействие на модель;
• — выбор правил оценки и обработки результатов, формулирования выводов.

Методы обработки экспериментальных данных. После завершения эксперимента исследователь располагает данными, которые необходимо соответствующим образом обработать и сформулировать выводы по эксперименту. Особое внимание должно быть уделено математическим методам обработки опытных данных — установлению эмпирических зависимостей, аппроксимации связей между варьирующими характеристиками, установлению критериев и доверительных интервалов и др.

Это позволяет определить объем и трудоемкость экспериментальных исследований, которые зависят от задачи эксперимента и степени точности принятых средств измерений. Возможны три задачи проведения эксперимента.

Первая — теоретически получена аналитическая зависимость, которая од;

нозначно определяет исследуемый процесс, например у = 5е. В этом случае объем эксперимента для подтверждения данной зависимости минимален, поскольку функция однозначно определяется экспериментальными данными.

Вторая — теоретическим путем установлен лишь характер зависимости, например у = ае~^х. В этом случае задано семейство кривых. Экспериментальным путем необходимо определить а и х. При этом объем эксперимента больше, чем в первом случае.

Третий — теоретически не удалось получить каких-либо зависимостей. Разработаны лишь предположения о качественных закономерностях процесса. Во многих случаях целесообразен поисковый эксперимент, но объем экспериментальных работ резко возрастает.

Методы обработки экспериментальных данных зависят от того, с какими целями они обрабатываются. Такими целями могут быть:

• — определение закона распределения результатов измерений и точности полученных экспериментальных данных;
• — графическое представление экспериментальных данных;
• — представление выявленной зависимости измеренных величин в виде аналитических зависимостей (формул);
• — оценка тесноты связи между варьируемыми факторами эксперимента.

Все множество методов, используемых для обработки экспериментальных данных, можно условно разделить на две группы:

• 1) статистические, основанные на методах математической статистики;
• 2) графические, использующие методы аппроксимации статистических данных эксперимента графиками или диаграммами.

Статистические методы в ходе эксперимента используются для того, чтобы определить:

• — области нормального и аномального существования объекта;
• — силы влияния на объект внешних и внутренних факторов;
• — рациональное соотношение переменных параметров процесса;
• — надежность функционирования объекта исследования и т. п.

Наблюденные в последовательности п опытов значения образуют частичную совокупность значений случайной величины х. Поскольку экспериментальные данные, как правило, имеют вероятностный характер, прежде всего, необходимо определить закон распределения исследуемой величины и его характеристики. Для определения закона распределения случайной величины д: можно использовать широко известные методы статистической проверки гипотез с помощью критериев Пирсона (х²)> Фишера (F) дисперсного анализа, известных из курса математической статистики. Наиболее распространен метод проверки статистических гипотез с применением критерия Пирсона (х²). Он предусматривает выполнение следующих этапов [32], [33].

На первом этапе строят статистический ряд (гистограмму) полученных в ходе эксперимента значений случайной величины х. Его разбивают на к интервалов. Количество интервалов можно рассчитать по формуле:

где п — объем выборки.

Формула позволяет получить наименьшее значение (нижнюю границу) числа интервалов — к. Она наиболее точна при больших значениях п. При /*= 100 значения к >6, при п = 1000 к >9. Одновременно для выборки рассчитывают среднее значение случайной величины — X, ее дисперсию — D (x) и среднеквадратическое отклонение — с.

На втором этапе по внешнему виду гистограммы выбирают наиболее близкий закон распределения случайной величины х и рассчитывают вероятность попадания случайных величин в каждый /-Й интервал. При небольших выборках к такой вероятности стремится наблюдаемая в эксперименте частота — f_oi, которая может быть определена по формуле:

На третьем этапе по принятому закону распределения случайной величины рассчитывают теоретические значения вероятности ее попадания — f_Tl в соответствующий /-Й интервал. Имея эмпирические и теоретические вероятности, рассчитаем наблюденное значение критерия Пирсона по зависимости:

На четвертом этапе по таблице критических точек распределения х² с учетом заданного уровня значимости, а (обычно принимают, а > 0,05) и числа степеней свободы 5 (число заложенных связей между теоретическим и эмпирическим законами распределения, обычно 5=3−4) находим критическое.

2 2 2.

значение Хкрит • Если Хнабл ^< Хкрит" ^то гипотеза о распределении статистической выборки принимается.

В экспериментальных исследованиях нередки случаи, когда с помощью критерия х² либо других критериев доказывается, что одна и та же статистическая выборка одинаково удовлетворяет нескольким законам распределения. Из них следует выбрать один. Но при этом возникают проблемы точности и надежности измерений, разброса данных и т. д. Эти проблемы особенно актуальны при малом количестве измерений.

Разброс данных измерений характеризуется среднеквадратическим отклонением а. Другим показателем разброса может служить коэффициент вариации:

Чем больше, а и К_в, тем больше разброс результатов измерения. С помощью ст и К_в можно определить интервал, в котором с заданной вероятностью окажутся измеренные данные эксперимента (его называют доверительным интервалом):

где t — коэффициент гарантии, смысл которого — разброс среднеквадратического отклонения в интервал, между которым с определенной вероятностью попадает то или иное количество возможных значений случайной величины х.

Например, с вероятностью Р = 0,997 доверительный интервал равен ± За, а с вероятностью Р = 0,5 равен ±0,68 а.

Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины (дг_д) попадет в доверительный интервал р, называют доверительной вероятностью измерения — Ф (/). Она определяется в долях единицы (или в %) по таблицам интеграла вероятностей.

Величину 1 — Ф (/) называют уровнем значимости, который позволяет утверждать, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз в серии из л_и измерений:

т. е. в серии из п_И измерений бракованным будет всего одно измерение.

При оценке доверительного интервала, доверительной вероятности и уровня значимости используют статистические характеристики: математическое ожидание (или статистическое среднее х), среднеквадратическое отклонение а. Они зависят от количества и точности измерений. Для оценки точности измерений применяют показатели gq — среднеарифметическое значение среднеквадратического отклонения и точность измерения т:

Показатель т по своей сути близок к коэффициенту вариации — характеризующему однородность измерений:

Эти показатели позволяют приближенно определить минимально необходимое число измерений в эксперименте — N_mj_n по формуле:

где / - коэффициент гарантии.

Оценки доверительного интервала для рассмотренных методик возможны при числе испытаний п > 30. Однако стоимость или сложность эксперимента могут нс позволить выполнить такое количество испытаний.

При малых значениях п для нахождения доверительного интервала рекомендуется /-распределение Стыодента (опубликованное в 1908 г. английским математиком В. Госсетом под псевдонимом Стьюдент — студент). Его плотность распределения показана на рис. 8.1. Она описывается выражением.

где Г — гамма-функция.

Рис. 8.I. Плотность распределения случайной величины при различном числе испытаний При возрастании п распределение Стьюдента стремится к нормальному. Доверительный интервал для малых значений п по методу Стьюдента равен.

где  — коэффициент Стьюдента, определяемый по специальной таблице.

Методы отображения экспериментальных данных. После обработки экспериментальных данных их необходимо представить в форме, удобной для использования на практике либо для проведения последующих исследований. Обычными формами представления данных являются: таблицы, графики, математические зависимости, номограммы. Они также могут иметь комплексный характер, т. е. представлять собой сочетание математической зависимости и графика, таблицы, формулы и номограммы и т. п.

Методы графической интерпретации экспериментальных данных. При исследовании зависимости показателя у от фактора х функция двух переменных может быть выражена линией на плоскости: прямой, экспонентой, линиями степенных функций и т. п.

Например, при отображении функции двух переменных с помощью однофакторной линейной модели используется зависимость вида:

где а — постоянная составляющая; b — коэффициент реагирования.

Однако линейность функции могла оказаться недоказанной либо эта гипотеза вызывала сомнения. Тогда следовало выдвинуть другую гипотезу (например, соответствие функции степенной, экспоненциальной, показательной и логарифмической либо другой кривой). Для этого можно выбрать одну из множества классических кривых. Вид кривой можно определить по статистическому ряду, гистограмме. Одной гистограмме по внешнему виду могут быть близки несколько кривых, одна из которых может быть принята за основную.

Практика показала, что найти идеальную кривую, которая проходила бы через все экспериментальные точки, практически невозможно. Задача заключается в том, чтобы найти теоретическую зависимость (кривую), отклонение которой от экспериментальных точек было бы минимальным.

Проверку степени соответствия выбранной кривой эмпирическому распределению обычно проводят методом наименьших квадратов, согласно которому лучшими значениями коэффициентов Aq, А, А2, …" А_п будут те, для которых сумма квадратов невязок будет наименьшей. Графическая интерпретация метода наименьших квадратов представлена на рис. 8.2.

Изложенная методика подбора линии аппроксимации экспертных данных методом наименьших квадратов позволяет выбрать наиболее подходящую кривую для любых экспериментальных данных, если последние могут вообще иметь закономерность.

Рис. 8.2. Иллюстрация сущности метода наименьших квадратов.

Существуют другие методы аппроксимации данных эксперимента, например применение логарифмических шкал, составление номограмм и т. п. Для обработки и отображения данных используют методы интерполяции и экстраполяции.