Пример использования пространственных уравнений статики

Плита массой т лежит на двух опорах и подвешена на тросе в точке С. Определить давление плиты на опоры А и В, а также натяжение троса. Размеры плиты: DC = СЕ, АВ = DE = BE = AD (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Плита на двух опорах, подвешенная на тросе

Решение. В данном случае имеем пространственную систему. Однако ввиду симметричности нагрузок можно сократить число уравнений статики, исходя из здравого смысла и опыта решения таких задач.

Теоретически, в каждой из опор Ап В возникают три составляющих общей реакции (силы, равной давлению на опору), т. е. приняв начало координат в точке А, имеем.

Для гибкой подвески направление реакции R_c всегда совпадает с направлением натянутого троса.

Разложение опорных реакций R_A и R_B на три слагаемых по осям координат делается во всех случаях, когда нельзя заранее указать их направления. Отметим, что направление составляющих сил по осям х, у, z при отсутствии опыта решения также могут быть взяты произвольно (с направлением к центру координат или от центра координат). В дальнейшем, если получаем при решении отрицательную величину какой-либо составляющей силы, это означает, что истинное направление не угадано и следует изменить знак этой силы.

Как видим (см. рис. 4.3), на плиту действует одна активная сила тяжести плиты — mg, которая приложена в точке пересечения ее диагоналей (точка S — центр тяжести плиты). Активную силу уравновешивают семь реактивных сил (реакций): R_a R_Ax, R_Af/, R_Az, R_Bl/, R_Bx, R_Bz.

Число уравнений статики составляет шесть. В общем виде задача статически неопределима_} если число неизвестных сил больше шести. Заметим, что статически неопределимые задачи решаются:

• • с учетом дополнительных уравнений деформаций (в курсе «Сопротивление материалов»);
• • рациональным упрощением задачи и сокращением числа неизвестных сил с учетом физического смысла задачи.

В данном случае отсутствие активных сил, действующих по осям х и у при симметричности нагрузки, дает основание считать, что R_U/ = 0, R_Ax = О, R_B = 0, R_Bx. = 0, так как для возникновения этих реакций нет противодействующих сил. Формально используя уравнения статики, получаем.

Силы R_/U, R_A, R_Bx, R_Bl/ не могут вращать плиту вокруг оси х, т. е. их моменты относительно оси х равны нулю.

отсюда

откуда R_Bx = 0.

Соответственно и R_Ax. = 0 (если взять начало координат в точке В, то ^М₂ = R_BxAB = 0 и R_Bx. = 0). Подставив значение R_c в выражение для? М_Г, получим.

откуда.

Так как 1)1: = АВ, то

Из уравнения сил по оси z получаем, после подстановки R_c и R_Bz

Из уравнения сил по оси х и у получаем R_Hh — R_A = 0. Эти силы направлены противоположно друг другу и в сумме дают нулевую равнодействующую, т. е. каждую из них можно принять равной нулю (как было установлено в начале решения задачи).