Основные понятия математической логики и подходы к пониманию терминов надежности

Чтобы не ошибаться на правильном пути, надо ничего не делать, по крайней мере нового, но это — самая крупная ошибка.

А. Сент-Дьердьи¹

В результате изучения главы 1 студенты должны: знать

• • основные понятия математической логики; уметь
• • использовать понятия математической логики при анализе и обработке результатов испытаний на надежность;

владеть

• терминологией, используемой в теории надежности.

Связь математической логики и моделей надежности

«Три греха внушают мне страх, они подстерегают всех пишущих, грозят спасению души и ведут к потере достоинства. Вот они: неведение истины, ложь по заблуждению или недомыслию и надменное стремление выдать предположение за действительность… Признаюсь, что повинен во всех трех этих грехах», — таким эпиграфом Иоанна Солсберийского — богослова, писателя и педагога XII в. — из книги «Металогик» (Metalogicon libri IV) открывается книга Дж. Сакса «Теория насыщенных моделей»^[1][2]. Под этими словами подпишемся и мы, следуя своей системе операционных моделей из АТН (рис. 1.1).

Идея рис. 1.1 возникла на основе не только АТН, но и под влиянием мнения А. II. Колмогорова о том, что математическая логика (МЛ) является царицей наук и языком исследователя разнообразных, своего рода предметных, отраслей математики, таких как булева алгебра (у нас это логические модели), теория функций (функциональные модели), теория вероятности и математическая статистика (статистические модели), теория случайных процессов и временных рядов (динамические модели).

Рис. 1.1. Система подмножеств моделей надежности и математической логики:

Л — логические: Ф — функциональные;

С — статистические; Д — динамические модели.

Примечание. Заметим, что интереснейшая, сложная графическая иерархия интервально-статистических моделей со своей аксиоматикой дана в книге В. I I. Кузнецова^[3]. Она показывает путь исследователя от незнания к знанию через уточнение и усложнение моделей и смыкание их с классическими моделями в конце пути. Указанная иерархия, однако, может входить в подмножество пашей системы. Мы же во многом опираемся на известные работы Колмогорова и его учеников, в известном смысле пытаемся подражать его пути, отдавая дань глубокого уважения творчеству и взглядам этой не подпадающей ни под какую классификацию уникальной личности, родившейся и творившей в России.

Связь качества и надежности. Понятие надежности R вытекает из понятия качества. Надежность можно понимать как качество Q, развернутое во времени:

где т = (т_л, т_ф, т_с, Тд); т_л, т_ф, т_с, Тд — соответственно логическое, функциональное, статистическое и динамическое время.

В качестве предложения по аксиоматизации гипотетической Q-теории (качества) в работе [36] рекомендованы названия семи групп аксиом: физической, геометрической, информационной, логической, функциональной, динамической и статистической. Их наполнение предметным содержанием позволит завершить построение обшей теории качества, удовлетворяющей всем требованиям математической строгости с соответствующими решениями проблем полноты, независимости и непротиворечивости [36, с. 310−313].

В основе последних четырех групп аксиом лежит метааксиома времени, и, таким образом, все становится на свои места во взаимосвязи понятий качества и надежности. Хорошо известно, что практика является критерием истины. Поэтому проверка выполнения предложенных семи групп аксиом на практике позволит развить намеченный подход к созданию общей теории качества и надежности. Из вышеизложенного следует логичность построения структуры данной книги, содержащей математические основы, принципы построения моделей надежности и технического риска в ТС, а также модели для оценки безопасности информационно-технических систем.

Выскажем следующую гипотезу: разрабатываемая ТС будет обладать требуемой надежностью после ее реализации, если она удовлетворяет требованиям АТН, поскольку ТС может быть до ее реализации полностью описана с помощью моделей объектов в^[4] — многомерном информационном пространстве согласно теореме Колмогорова, т. е.

правая часть этого своеобразного уравнения (метамодели) определяет содержание АТН; q — множество (подпространство) моделей надежности, включая модели конечномерного (^-пространства с разным содержанием в зависимости от конкретики ТС, является частью^[5]-пространства (надмножества).

В настоящей книге слова «надежность», «модель», «изделие», «риск» и «ошибки» являются ключевыми. Наше понимание рассматриваемых вопросов ассоциативно связано с мыслями, интересными для производственников. В частности, с мыслями томича В. П. Кузнецова, который в разделе «Согласованный синтез моделей и правил. Надежность моделей и истинные ошибки правил» своей книги написал: «Процесс изготовления промышленных изделий „обрастает“, хотим мы этого или не хотим, массой подготовительных работ и вспомогательных служб. Нужно раздобыть сырье, сделать заготовки (модели), скомплектовать их, доставить к месту, а для этого надо иметь помещение, подготовить станки, технику, наконец — найти рабочих и заинтересовать зарплатой, организовать экономические службы (хотя и это еще, конечно же, не все). И только потом можно приступить к изготовлению. На надежность, ритмичность работы нужно смотреть в комплексе с охватом всего отлаженного механизма предприятия в целом. Примерно то же самое имеет место при синтезе модели…»^[6] К идеям этой книги мы еще вернемся при оценке рисков.

• [1] Вольная передача слов из предисловия к книге: Сент-Дьердьи А. Биоэнергетика. М. :Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. С. 11.
• [2] СаксДж. Теория насыщенных моделей / под ред. А. Д. Тайманова. М.: Мир, 1976. С. 9.
• [3] См.: Кузнецов В. П. Интервальные статистические модели. М.: Радио и связь, 1991.С. 7.
• [4] I
• [5] 1
• [6] Кузнецов В. П. Интервальные статистические модели. С. 331.