Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

Правильная или наиболее удачная экономико-математическая постановка задачи в значительной степени определяет полезность рекомендаций по совершенствованию систем массового обслуживания в коммерческой деятельности.

В связи с этим необходимо тщательно проводить наблюдение за процессом обслуживания в системе, поиска и выявления существенных связей, формирования проблемы, выделения цели, определения показателей и выделения экономических критериев оценки работы СМО. В этом случае в качестве наиболее общего, интегрального показателя могут выступать затраты, с одной стороны, СМО коммерческой деятельности как обслуживающей системы, а с другой — затраты заявок, которые могут иметь разную по своему физическому содержанию природу.

Повышение эффективности в любой сфере деятельности К. Маркс в конечном счете рассматривал как экономию времени и усматривал в этом один из важнейших экономических законов. Он писал, что экономия времени, равно как и планомерное распределение рабочего времени по различным отраслям производства, остается первым экономическим законом на основе коллективного производства. Этот закон проявляется во всех сферах общественной деятельности.

Для товаров, в том числе и денежных средств, поступающих в коммерческую сферу, критерий эффективности связан со временем и скоростью обращения товаров и определяет интенсивность поступления денежных средств в банк. Время и скорость обращения, являясь экономическими показателями коммерческой деятельности, характеризуют эффективкость использования средств, вложенных в товарные запасы. Товарооборачиваемость отражает среднюю скорость реализации среднего товарного запаса. Показатели товарооборачиваемости и уровня запасов тесно связаны с известными моделями. Таким образом, можно проследить и установить взаимосвязь этих и других показателей коммерческой деятельности с временными характеристиками.

Следовательно, эффективность работы коммерческого предприятия или организации складывается из совокупности времени выполнения отдельных операций обслуживания, в то же время для населения затраты времени включают время на дорогу, посещение магазина, столовой, кафе, ресторана, ожидание начала обслуживания, ознакомление с меню, выбор продукции, расчет и т. д. Проведенные исследования структуры затрат времени населения свидетельствуют о том, что значительная его часть расходуется нерационально. Заметим, что коммерческая деятельность в конечном счете направлена на удовлетворение потребности человека. Поэтому усилия моделирования СМО должны включать анализ затрат времени по каждой элементарной операции обслуживания. С помощью соответствующих методов следует создавать модели связи показателей СМО. Это обусловливает необходимость наиболее общие и известные экономические показатели, такие как товарооборот, прибыль, издержки обращения, рентабельность и др., увязывать в экономико-математических моделях с дополнительно возникающей группой показателей, определяемых спецификой обслуживающих систем и вносимых собственно спецификой теории массового обслуживания.

Показателями СМО с отказами являются: время ожидания заявок в очереди Г_оч = 0, поскольку по своей природе в таких системах существование очереди невозможно, то L₀₄ = 0 и, следовательно, вероятность ее образования Р_оч = 0. По числу заявок k определяется режим работы системы, ее состояние: при k = 0 — простой каналов, при 1 < k < п — обслуживание заявок, при k > п — обслуживание и отказ. Показателями таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании Р_()ТК, вероятность обслуживания Р₍/_)С, среднее время простоя канала ?_пр, среднее число занятых п₃ и свободных каналов /?_св, среднее время обслуживания t₀g_c, абсолютная пропускная способность А.

Для СМО с неограниченным ожиданием характерно, что вероятность обслуживания заявки Р₀(_ус = 1, поскольку длина очереди и время ожидания начала обслуживания не ограничены, т. е. формально 1_0Ч —? о° и Т_оч —" оо. В таких системах возможны следующие режимы работы: при к = 0 наблюдается простой каналов обслуживания, при 1 < к < п — обслуживание и при к > п — обслуживание и очередь. Показателями эффективности таких СМО являются среднее число заявок в очереди L₀₄, среднее число заявок в системе к, среднее время пребывания заявки в системе Г_смо, абсолютная пропускная способность А.

В СМО с ожиданием с ограничением на длину очереди, если число заявок в системе k = 0, то наблюдается простой каналов, при 1 < к < п — обслуживание, при n обслуживание и очередь и при к > п + m — обслуживание, очередь и отказ в ожидании обслуживания. Показателями эффективности таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании Р_отк, вероятность обслуживания Р₀g_c, среднее число заявок в очереди ?_()Ч, среднее число заявок в системе Z,_CM0, среднее время пребывания заявки в системе Г_смо, абсолютная пропускная способность А.

Таким образом, перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом: среднее время обслуживания — ?₀б_с; среднее время ожидания в очереди — Г_оч; среднее время пребывания в СМО — Г_смо; средняя длина очереди — 1_0Ч; среднее число заявок в СМО — Т_смо; количество каналов обслуживания — п интенсивность входного потока заявок — X; интенсивность обслуживания — р; интенсивность нагрузки — р; коэффициент нагрузки — а; относительная пропускная способность — Q; абсолютная пропускная способность — Л; доля времени простоя СМО — Р₀] доля обслуженных заявок — Р₀^_с; доля потерянных заявок — Р_отк; среднее число занятых каналов — п₃; среднее число свободных каналов — п_св; коэффициент загрузки каналов — K_:i; среднее время простоя каналов — ?_пр.

Следует заметить, что иногда достаточно использовать до 10 основных показателей, чтобы выявить слабые места и разработать рекомендации по совершенствованию СМО.

Это часто связано с решением вопросов согласованной работы цепочки или совокупностей СМО.

Например, в коммерческой деятельности необходимо учитывать еще и экономические показатели СМО: общие затраты — С; издержки обращения — С_и0; издержки потребления — С_ип; затраты на обслуживание одной заявки — С, убытки, связанные с уходом заявки, — С_у1; затраты па эксплуатацию канала — С_к; затраты простоя канала — С_пр; капитальные вложения — С_ка"; приведенные годовые затраты — С_пр; текущие затраты — С_хек; доход СМО в единицу времени — Д_ь

В процессе постановки задач необходимо раскрыть взаимосвязи показателей СМО, которые по своей базовой принадлежности можно разделить на две группы: первая связана с издержками обращения С_ио, которые определяются числом занятых обслуживанием каналов, затратами на содержание СМО, интенсивностью обслуживания, степенью загрузки каналов, эффективностью их использования, пропускной способностью СМО и др.; вторая группа показателей определяется издержками собственно заявок С_ип, поступающих на обслуживание, которые образуют входящий поток, ощущают эффективность обслуживания и связаны с такими показателями, как длина очереди, время ожидания обслуживания, вероятность отказа в обслуживании, время пребывания заявки в СМО и др.

Эти группы показателей противоречивы в том смысле, что улучшение показателей одной группы, например сокращение длины очереди или времени ожидания в очереди путем увеличения числа каналов обслуживания (официантов, поваров, грузчиков, кассиров), связано с ухудшением показателей другой группы, поскольку это может привести к увеличению времени простоев каналов обслуживания, затрат на их содержание и т. д. В связи с этим при формализации задач обслуживания вполне естественно стремление построить СМО таким образом, чтобы установить разумный компромисс между показателями собственно заявок и полнотой использования возможностей системы. С этой целью необходимо выбрать обобщенный, интегральный показатель эффективности СМО, включающий одновременно претензии и возможности обеих групп. В качестве такого показателя может быть выбран критерий экономической эффективности, включающий как издержки обращения С_но, так и издержки заявок С_нп, которые будут иметь оптимальное значение при минимуме общих затрат С. На этом основании целевую функцию задачи можно записать так:

Поскольку издержки обращения включают затраты, связанные с эксплуатацией СМО — С_экс и простоем каналов обслуживания — С_пр, а издержки заявок включают потери, связанные с уходом необслуженных заявок — С_т и с пребыванием в очереди — С_оч, тогда целевую функцию можно переписать с учетом этих показателей таким образом:

В зависимости от поставленной задачи в качестве варьируемых, т. е. управляемых, показателей могут быть: количество каналов обслуживания, организация каналов обслуживания (параллельно, последовательно, смешанным образом), дисциплина очереди, приоритетность обслуживания заявок, взаимопомощь между каналами и др. Часть показателей в задаче фигурирует в качестве неуправляемых, которые обычно являются исходными данными. В качестве критерия эффективности в целевой функции могут быть также товарооборот, доход, прибыль или, например, рентабельность, тогда оптимальные значения управляемых показателей СМО находятся, очевидно, уже при максимизации указанных показателей, а не при минимизации, как в предыдущем варианте.

В некоторых случаях следует пользоваться другим вариантом записи целевой функции

где С_отк и С_сист — соответственно издержки заявок, связанные с уходом необслуженных заявок и с пребыванием в системе.

В качестве общего критерия может быть выбран, например, уровень культуры обслуживания покупателей на предприятиях, тогда целевая функция может быть представлена следующей моделью:

где З_пу — значимость показателя устойчивости ассортимента товаров; К_у — коэффициент устойчивости ассортимента товаров; З_пв — значимость показателя внедрения прогрессивных методов продажи товаров; К_в — коэффициент внедрения прогрессивных методов продажи товаров; З_пд — значимость показателя дополнительного обслуживания; К_я — коэффициент дополнительного обслуживания; З_пз — значимость показателя завершенности покупки; К_л — коэффициент завершенности покупки; З_по — значимость показателя затрат времени на ожидание в обслуживании; К₀ — показатель затрат времени на ожидание обслуживания; З_кт — значимость показателя качества труда коллектива; К^ — коэффициент качества труда коллектива; К_Ш1 — показатель культуры обслуживания по мнению покупателей.

Для анализа СМО можно выбирать и другие критерии оценки эффективности работы СМО. Например, в качестве такого критерия для систем с отказами можно выбрать вероятность отказа Р_отк, значение которого не превышало бы заранее заданной величины. Например, требование Р_отк <0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности X. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать либо число каналов п при заданной интенсивности обслуживания р, либо интенсивность р при заданном числе каналов.

После построения целевой функции необходимо определить условия решения задачи, найти ограничения, установить исходные значения показателей, выделить неуправляемые показатели, построить или подобрать совокупность моделей взаимосвязи всех показателей для анализируемого типа СМО, чтобы в конечном счете найти оптимальные значения управляемых показателей, например количество поваров, официантов, кассиров, грузчиков, объемы складских помещений и др.

Рассмотрим применение методов и моделей теории массового обслуживания в алгоритме моделирования типичных для коммерческой деятельности систем массового обслуживания.