Коэффициент корреляции и его свойства. 
Пример выравнивания опытных данных

Обратимся к табл. 5 и найдем Х_в и Y_B , далее составим разности х/ - Х_в и у/ -Х_в. затем вычислим произведения (х/- Х_в)(у>— Y_B). Все вычисления поместим в таблицу.

Если между X и У существует линейная корреляция, то разности X/ - Х_в

^и У/ -X_fl для каждого /=1,2,3…п, имеют одинаковые знаки в случае прямой корреляции и противоположные в случае обратной корреляции.

Следовательно, при наличии корреляционной зависимости.

эсть число, отличное от нуля. Если же X и У не связаны корреляционной зависимостью или, как говорят, не коррелированы, то знаки разностей носят случайный характер, при суммировании они взаимно погашаются и сумма при большом числе наблюдений будет мала или равна нулю. Следовательно, эта сумма характеризует меру влияния изменения одной величины на изменение другой.

Определение 1. Выборочным корреляционным моментом или ковариацией К_ху называется число, определяемое формулой.

В теории корреляции доказывается, что если X и У независимы, то К_ху = 0. Корреляционный момент характеризует силу связи между X и У. Размерность К_ху равна произведению размерностей наблюдаемых случайных величин. Разделив К_у на произведение среднеквадратических отклонений, получим безразмерный показатель.

или.

Определение 2. Выборочным коэффициентом корреляции г_в называется отношение выборочного корреляционного момента К_ху к произведению выборочных среднеквадратических отклонений этих величин.

Формулу (43) можно записать в другой форме, удобной для случаев, ко гда зависимость между X и У задается корреляционной таблицей. Имеем.

Тогда.

Свойства выборочного коэффициента корреляции.

1. Значения коэффициента корреляции изменяются на множестве.

[-1.1] = {г:-1s г *1}.

• 2. Чем больше И, тем теснее связь между изучаемыми количественными признаками.
• 3. Если |г| = 1, то корреляционная зависимость становится функциональной.
• 4. Если г * 0, то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости, но условие г = 0 не исключает существования какого-либо другого вида корреляционной зависимости (параболической, показательной и ДР).

Пример. Связь между выходом продукции, соответствующей запросам потребителя, У (%) от времени, прошедшего с момента начала работы системы менеджмента качества на предприятии X (в месяцах), характеризуется следующей таблицей:

• 1. Требуется показать, что корреляция линейная.
• 2. С помощью способа наименьших квадратов найти линейную зависимость между X и У.
• 3. Найти выборочный коэффициент корреляции.

Решение. Построим в системе координат Оху точки МЦхь yl) (рис. 4). Из рисунка видно, что точки располагаются вдоль прямой линии. Для определения коэффициентов а и Ь составим вспомогательную табл. 8.

Система уравнений имеет вид.

• 204,0 а + 36,0 Ь = 319,0;
• 36,0 а + 9,0 Ь = 58,6, откуда находим: а = 1,42, b — 0,83, у = 1,42х + 0,83.

Рис. 4.

Таблица в

Определим теперь выборочный коэффициент корреляции. Первоначально находим

Составляем вспомогательную таблицу.

Как видим, связь между величинами X и У очень тесная. Коэффициент корреляции близок к 1.