Множественный и частный коэффициенты корреляции

Пусть У — зависимая, а Х, Х2, …, Х_т — независимые переменные. Рассмотрим ситуацию пассивного эксперимента, т. е.

предположим, что матрица экспериментальных данных является случайной выборкой значений многомерной случайной величины (У, ЛЛ, Х₂, …, Х_т).

Множественным коэффициентом корреляции (multiple correlation coefficient) между У и Х|, Хг, …, Х_т называется число р (У; Xj, Х2, …, Х_т), равное максимальному значению коэффициента корреляции между У и любой невырожденной линейной комбинацией Xi, Х2, …, Х_7П:

Частным коэффициентом корреляции (partial correlation) между У и Хк (к < т) при фиксированных значениях переменных Х, Хг, …, Х_р (список не содержит переменную Xfc) называется число.

где U — У — mi; U2 = X* — m2; mi и т2 — математические ожидания условных распределений У иХ (соответственно при фиксированных значениях Xi, Х2, …, Х_р.

Множественный коэффициент корреляции (3.7) служит мерой линейности зависимости между У и набором переменных Xi, Хг, …, Х_т, а частный коэффициент корреляции — мерой линейности зависимости между У и Хк, когда Xi, X2, …, Х_р фиксированы.

Предположим теперь, что (У, Xi, Х2, …, X_m) — многомерная нормально распределенная случайная величина. Обозначим через р_у, р], рг, • • •, Pm и Оу, а², о2, …, математические ожидания и дисперсии случайных величин Y, Х,Хг, …,Х_т, а через Oyi и Oij — ковариации У с X, и Xj с Xj соответственно. Тогда можно доказать, что условное распределение У для данных значений х, х%, ?. ?, х_т независимых переменных Xi, Хг, …, Х_т является нормальным с параметрами.

где Pi, …, p_m — функции дисперсий и ковариаций случайных величин У, Х_ЬХ₂, …, X_m; р₀ = р_у — Pipi — Р2Р2 — ••• ~РтРтСлучайная величина г = У — р нормально распределена с параметрами 0 и о², поэтому можно записать

где е ~ 7V (0, а²). Таким образом, мы пришли к модели множественной линейной регрессии (3.1), поэтому изложенные ранее результаты, относящиеся к активному эксперименту, применимы и в случае пассивного эксперимента. Заметим также, что из (3.8) следует, что квадрат множественного коэффициента корреляции равен доле дисперсии У, «объясненной» линейной регрессионной зависимостью от Х, Х2, …, Х_т:

Аналогично можно показать, что квадрат частного коэффициента корреляции можно понимать как долю остаточной дисперсии У, «объясненной» добавлением Xк к набору Х, Х₂,…, Х_Р.