Теория неделимых И. Кеплера

Философия полагает атомы и пустоту как аксиомы. Математика дает конкретные развернутые описания неделимых. Математика атомизма занимается рассмотрением различных видов и форм неделимых. Еще одной задачей этой математики является рассмотрение сумм неделимых, которые образуют площади, объемы и многообразия более высоких измерений. Вычисление этих сумм производится путем выражения неизвестных сумм через известные.

И. Кеплер дал первое подробное изложение таких сравнений в новоевропейской науке. Часть этих задач, приведенных Кеплером, ранее не была известна европейской науке. Вся математика атомизма занимается только тем, что сводит более сложные задачи к более простым. Кеплер дал множество таких сведений. Он описал огромное количество атомистических фигур и объемов, которые были сведены им к более простым. Это было сделано в произведении «Новая стереометрия винных бочек, преимущественно австрийских, как имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии».

Винные бочки являлись несущественным моментом в этом произведении по сравнению «с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии». Именно это произведение является наиболее полным изложением математических воззрений Кеплера, поэтому этот параграф начнется именно с разбора задач этой книги. Хотя атомистические методы Кеплер применял много раньше в своих астрономических книгах «Новая астрономия» и «Гармония мира». Именно эти произведения обессмертили имя Кеплера. Кеплер сформулировал всемирно известные три закона движения планет, причем вывод этих законов был бы невозможен без математического атомизма. Особенно это касается второго закона Кеплера. Подробный вывод данного закона будет приведен в конце данного параграфа.

Но вернемся к «Новой стереометрии». В первой теореме Кеплер воспроизводит доказательство Архимеда об отношении окружности к ее диаметру. Ход рассуждений прост. Окружность делится на множество частей. Получается много маленьких дуг, которые в случае актуальной бесконечности совпадают со сторонами вписанного и описанного многоугольников. Кеплер так и говорит: «Сущность доказательства состоит в разделении окружности на мельчайшие дуги, которые приравниваются к прямым»^[1].

Дуга, представляемая уже как прямая линия, заключается между стороной вписанного многоугольника и касательной, которая выступает в роли стороны описанного многоугольника. Затем достаточно элементарно дается приблизительная оценка вписанного и описанного многоугольников по отношению к диаметру. Для рассмотренного в доказательстве шестиугольника эти оценки заключены между 21 и 24. При увеличении количества сторон оценки сужаются к 22 без небольшой части. И окончательно Кеплер вместе с Архимедом делает вывод о том, что «отношение окружности к диаметру близко к отношению чисел 22 к 7»^[2]. Здесь важно принципиальное сведение длины кривой линии к прямой линии, выражение неделимых кривой через неделимые прямой. Так, на примере первой теоремы сразу вводятся основные процедуры математики атомизма.

Вторая теорема также взята из Архимеда. Но Кеплер доказывает ее иначе, чем Архимед, который использует косвенное доказательство. Он ищет смысл доказательства Архимеда. Конечно, по Кеплеру, смысл заключается в применении процедур математического атомизма. Теорема 2 гласит: «Площадь круга при сравнении с квадратом диаметра имеет к нему отношение почти как 11 к 14»^[3]. Кеплер начинает с доказательства другого положения Архимеда о равенстве круга и треугольника с основанием, равным длине окружности, и высотой, равной радиусу. Кеплер актуально бесконечно делит круг, т. е. круг становится состоящим из атомов — неделимых. Атомом становится каждый радиус круга. Этот радиус представляется как сектор круга с точечным основанием. Вот как об этом пишет Кеплер: «Окружность круга BG содержит столько же частей, сколько точек, — именно бесконечное число. Каждую из них рассмотрим как основание некоторого равнобедренного треугольника с боковой стороной АВ, и таким образом в площади круга окажется бесконечное множество треугольников, соединенных вершинами в центре А»^[4] (рис. 1.20).

Рис. 1.20.

Линия ВС равна длине окружности круга BG. Каждая точка линии ВС соответствует точке окружности. Затем Кеплер соединяет каждую точку линии ВС с центром круга. Каждое такое соединение представляет собой бесконечно тонкий треугольник с основанием в точке на линии ВС. Этот бесконечно тонкий треугольник Кеплер обозначает, например, как AF или ЕА. Ведь бесконечно тонкий треугольник схлопывается в линию. Из бесконечной суммы всех таких бесконечно тонких треугольников образуется конечный треугольник ЛВС. Каждый бесконечно тонкий треугольник имеет одинаковую высоту АВ и одинаковое основание, равное точке. Поэтому все бесконечно тонкие треугольники оказываются равны друг другу, хотя это и выглядит весьма парадоксально. Ведь линии AF и ЕА явно нельзя считать равными, а бесконечно малые треугольники оказываются одинаковыми.

Далее Кеплер устанавливает взаимно однозначное соответствие между бесконечно малыми секторами круга и бесконечно малыми треугольниками, составляющими конечный треугольник ЛВС. Отсюда согласно атомистической математике можно говорить о равенстве этих неделимых и о равенстве фигур. Так более сложная криволинейная фигура оказывается преобразована в более простую — прямоугольный треугольник. Проще прямоугольного треугольника в атомизме среди плоских фигур считается только прямоугольник. Причем здесь же Кеплер преобразует треугольник АВС в прямоугольник ABDII. «Тогда этот прямоугольный параллелограмм будет равновелик площади круга»¹.

Итак, если атомист что-либо свел к кругу, то дальше золотая цепь уже выкована: круг сводится к треугольнику, а треугольник — к прямоугольнику. Кроме того, еще следует отметить, что Кеплер этими утверждениями произвел квадратуру круга, т. е. для атомистов квадратура круга не представляет собой неразрешимой задачи. Но для математики материального эфира и для математики первоэлементов (евклидова геометрия) точная квадратура круга является неразрешимой проблемой, именно потому, что в этих математиках запрещена актуальная бесконечность. Здесь стоит вспомнить софиста Антифонта, который разрешал проблему квадратуры круга, находясь на позициях атомизма.

Кеплер упоминает результат Архимеда об отношении площади эллипса к площади круга. Площадь эллипса относится к площади круга как малый диаметр к большому. Здесь же говорится о другом результате Архимеда. Согласно Архимеду, площадь эллипса относится к прямоугольнику, построенному на диаметре, как почти 11 к 14. Таким образом, эллипс также вписывается в ряд фигур эллипс — круг — прямоугольник. В этом же ряду оказывается и парабола, площадь которой, опять же согласно Архимеду, равна 4/3 площади треугольника с тем же основанием и той же высотой.

Все эти результаты упоминаются Кеплером для того, чтобы приступить к более сложным сведениям. И действительно, уже теорема 3 устанавливает отношение между стереометрическими телами — цилиндром и столбовидным прямоугольным параллелепипедом. Это отношение, по Кеплеру и Архимеду, соответствует отношению между плоскостными фигурами кругом и квадратом, т. е. как 11 к 14. Для стереометрических тел также устанавливается золотая цепь сведений. Простейшим из стереометрических тел является прямоугольный параллелепипед, который оказывается аналогом прямоугольника в планиметрии.

Далее Кеплер приводит еще несколько результатов Архимеда. Среди них теорема об отношении призмы и пирамиды, цилиндра и конуса. Это один из самых известных результатов Архимеда. Это отношение равно 1/3. Затем идет несколько теорем о поверхностях стереометрических фигур. Эти поверхности также сводятся к простым плоскостным фигурам, в частности к кругу. Очевидно, что все преобразования поверхностей производятся по атомистической методе.

Наконец, в теореме 11 Кеплер приводит отношение объемов цилиндра и вписанной сферы. Это отношение равно 3 к 2. Так цилиндр сводится к еще одному простейшему стереометрическому телу — сфере. При этом сфера представляется атомистически как актуально бесконечное множество бесконечно тонких конусов, сходящихся вершинами к центру сферы. Тогда сравниваемый цилиндр строится следующим образом. Поверхность сферы раскрывается в круг. Соответственно все бесконечно тонкие конусы надстраиваются над этим кругом. При этом они все сходятся в едином центре. Так получается конечный конус. Объем этого конуса равен, по Кеплеру, объему сферы. И затем Кеплер соотносит этот конус с цилиндром, построенным на том же основании, и с цилиндром, построенным на диаметре сферы. Для получения окончательного результата используются вышеприведенные теоремы.

Здесь же Кеплер дает иное доказательство этого же отношения. Цилиндр представляется состоящим из бесконечного числа треугольных призм. Теоремы 12 и 13 дают отношения между кубом и сферой, а также конусом и сферой. В примечаниях к теореме 13 вводится отношение сфероида, параболического коноида и гиперболического коноида к конусу. Таким образом, еще три стереометрических тела могут быть преобразованы к простейшим. Этот раздел заканчивается рассмотрением усеченного конуса и его отношением к вписанному и описанному цилиндрам.

Так заканчивается раздел «Стереометрия правильных кривых тел». Кеплер говорит, что до этих «результатов дошли Архимед и древние геометры, исследуя природу и размеры определенных криволинейных фигур и тел, образованных простейшим способом с их помощью»^[5]. Теперь же Кеплер начинает собственные самостоятельные исследования. Объектом этих исследований являются неправильные стереометрические тела. Именно эти изыскания и становятся вкладом Кеплера в развитие атомистической математики. Кеплер рассуждает следующим образом. Он берет четыре конических сечения: круг, эллипс, параболу и гиперболу. Движением (перемещением) этих сечений образуются 92 вида стереометрических тел. Кеплер использует характерное для атомизма понимание движения как перемещения неделимых (атомов). Берется неделимое, например бесконечно тонкое коническое сечение. И затем это сечение начинают перемещать. Так образуются различные тела, состоящие из атомов. Кеплер выделяет пять видов перемещения (движения) неделимых — атомов. Приведем эти пять видов. В качестве примеров будем рассматривать круговые сечения.

Первый вид. Ось вращения отстоит от центра фигуры и не имеет с сечением общих точек. В случае кругового сечения получается кольцо (рис. 1.21).

Рис. 1.21.

Второй вид. Ось вращения касается сечения. Тогда при вращении точка прикосновения остается неподвижной. Тогда круг вращается вокруг оси вращения и образует фигуру, «которую можно назвать суженным кольцом»^[6] (рис. 1.22).

Рис. 1.22.

Третий вид. «Ось вращения пересекает вращающуюся фигуру за центром, гак что вращается больший сегмент MDN около хорды MN, и центр F проходит через положение G. Получается фигура, в двух противоположных местах, именно около М и N, впалая и имеющая форму яблока»^[2] (рис. 1.23).

Рис. 1.23.

Четвертый вид. Ось вращения проходит через центр сечения. Тогда в случае круга получается сфера.

Пятый вид. «Если же, наконец, ось вращения пересекает вращающуюся фигуру перед центром, так что вращается меньший круговой сегмент CDB около своей хорды САВ, то получается фигура, заостренная на двух противоположных концах, которую можно назвать, но ее виду лимоном»^[2] (рис. 1.24).

Рис. 1.24.

Здесь очень важно отметить, что движение атомов (неделимых) в этих элементарных случаях не следует считать чем-то хаотичным. Движение неделимых — это образование геометрических тел, измерение которых на единицу выше, чем у исходных неделимых. И это движение следует понимать как перемещение неделимого с образованием нового тела.

Но вышеприведенные примеры атомистических перемещений следует считать простейшими. Если же в момент движения неделимого точка вращения или ось вращения начинают менять свое положение по какомунибудь рациональному или иррациональному соотношению, то можно получить все виды соразмерных и несоразмерных (хаотических) движений. Поэтому виды движения Кеплера не исчерпывают возможные перемещения и преобразования атомов. Он выделяет только те виды, которые были ему необходимы для описания новых классов неправильных стереометрических тел.

Кеплер подробно описывает все 92 стереометрических тела в соответствии со способом их образования. Все эти описания и перечисления являются существенным вкладом в понимание движения атомов, ибо Кеплер систематично излагает результаты вращения четырех конических сечений как неделимых. Философия полагает, что атомы движутся. А математика атомизма дает подробное конкретное описание этого движения. Следует сказать, что для атомизма разделение математики и физики является совершенно несущественным. Поэтому современная математика атомизма — это наука о преобразованиях (движениях).

После перечисления неправильных стереометрических тел Кеплер начинает сводить их к правильным стереометрическим телам. Теорема 18 описывает преобразование всякого кольца кругового или эллиптического сечения в равновеликий цилиндр. Опять используется стандартная процедура разбиения кольца на «бесконечное множество тончайших кружочков»^[9]. Затем эти кружочки (неделимые) преобразовываются в соответствующие неделимые цилиндра. В теореме 19 Кеплер дополнительно уточняет, что данное доказательство относится и к суженному кольцу кругового или эллиптического сечения.

Доказательствам, изложенным в теоремах 20—22, Кеплер дал следующее пояснение: «До сих пор для нахождения правил измерения яблок, лимонов, айвы, приземистых дынь, оливок и эллиптических слив нам на помощь приходил цилиндр и шар или вместо него сфероид, преобразованные в части соответствующего цилиндра. Именно, не находя на самих фигурах законов для (измерения) целых тел, мы отыскали меры для их частей в частях цилиндров»^[10] (т.е. там, где не помогал цилиндр, Кеплер использовал шар или сфероид). В целом Кеплер использовал преобразование этих неправильных стереометрических тел «в призмовидный столб, сохраняющий кривизну конического сечения»^[2].

Но такой способ доказательства уже нельзя было использовать при преобразовании другого класса неправильных стереометрических тел — параболических и гиперболических веретен. Кеплер для решения использует уже другие правильные стереометрические тела. «Потому, подобно тому как в телах, образованных сегментом круга, мы прибегали к шару, а в эллиптических — к сфероиду, так в образованных параболой и гиперболой нам остается обратиться к родственным коноидам»^[12]. Используя коноиды, Кеплер доказал еще ряд теорем о преобразованиях неправильных стереометрических тел.

Теперь перейдем к выдающимся астрономическим достижениям Кеплера. Как уже было выше упомянуто, эти открытия также были бы невозможны без методов математического атомизма. Итак, Кеплер предложил новые законы обращения небесных тел. Сначала дадим современную формулировку этих трех положений новой атомистической астрономии:

• 1) каждая планета движется, но эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;
• 2) радиус-векторы планет «заметают» за равные промежутки времени равные секториальные площади;
• 3) квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до Солнца.

Новые законы обращения были результатом наложения философского и математического атомизма на эмпирические данные многолетних наблюдений за Марсом, проводимые Тихо Браге и самим Кеплером.

В наиболее явной форме математический атомизм Кеплера проявляется в доказательстве второго закона движения планет. Напомним, что два первых закона Кеплера были изложены в «Новой астрономии», которая вышла в 1609 г. Для Кеплера было очевидно, что вычисление площади сектора эллипса с вершиной в фокусе невозможно произвести средствами геометрии Евклида или средствами новой алгебры. Поэтому эллипс, введенный в первом законе, также следует понимать с точки зрения математического атомизма. Этот эллипс будет представлен не как у Аполлония Пергского в «Конических сечениях», а как объект исследования методами математического атомизма. Эллипс Кеплера будет атомистичным, а не эллипсом математического эфира. Кеплер верил во всесилие методов математического атомизма. Итак, попытаемся раскрыть смысл этого доказательства с точки зрения философского атомизма.

Для разыскания площади сегмента эллипса Кеплер использует более простую фигуру, которой является круг, так же, как он выше использовал правильные стереометрические тела для нахождения объема неправильных стереометрических тел. Основная проблема этого использования заключается в том, чтобы совокупности неделимых в обоих телах соответствовали друг другу. Ведь иначе можно впасть в ошибки. Кеплер был очень аккуратен и проницателен в математических вычислениях, что вызывало неподдельный восторг современников.

Чтобы понять ход рассуждения Кеплера, сначала обратим внимание на две дуги — NN_{ и ее проекцию ММ_{ (рис. 1.25). Весь успех кеплеровского доказательства основывался на удачном выборе этой проекции.

Рис. 1.25.

За счет этого каждой дуге круга N_nN_n+] соответствует дуга эллипса М"М,_?+1. И теперь Кеплеру необходимо доказать, что треугольники, построенные на этих дугах, также соответствуют друг другу, т. е. площадь треугольника MFMj, i = 1,2, …, п, пропорциональна площади треугольника NFN_h i = 1,2, …, п. Если это удастся доказать, то далее имеет место очевидный вывод. Ведь для круга площадь сектора пропорциональна площади всего круга, значит, и для эллипса это будет точно так же. Об этом говорил еще Архимед. Кеплер рассуждает следующим образом. Основания этих треугольников пропорциональны друг другу, ведь это дуги, о которых говорилось выше. Надо доказать пропорциональность радиус-вектора эллипса FM и расстояния FN для круга. Вот здесь и начинается использование методов математического атомизма. Сначала строится касательная к окружности NK и проводится линия FK. Затем несложными геометрическими построениями доказывается, что FM = FK.

Приведем эти построения для тех, кто хочет потренировать свое мышление разбором простеньких геометрических задач. Дадим современное изложение этого доказательства: «Фокальный радиус-вектор FM точки М, как известно, равен а + ех, где а = ОА — большая полуось эллипса, т. е. радиус круга, х = ОР — абсцисса точек М и N, а г = с/а — эксцентриситет эллипса, т. е. отношение фокусного расстояния OF к ОА. Проведем из фокуса F параллельно радиусу ON прямую FK до пересечения в точке К с касательной к окружности в точке N и опустим перпендикуляр OG из центра О на линию FK. Тогда из подобия треугольников OGF и ONP следует, что FG OP OF с

— =-, т. е. FG =-ОР = —х = ех. И так как GK = ON = а, то линия.

OF ON ON а

FK = FG + GK равна линии FM = a + ex"¹.

Напомним еще раз, что смысл этих несложных выкладок заключается в обосновании равенства FM = FK. Теперь Кеплер снова возвращается к собственно математическому атомизму. Он полагает дуги NN_{ актуально бесконечно малыми и тут же делает верный только для математического атомизма вывод, что фигура NFN_{ мало отличается от треугольника, ограниченного лучами FN_y FN_{ и касательной NK. А значит, треугольник NFN_{ соответствует треугольнику KFN. А уж треугольник KFN вполне соответствует треугольнику MFM_X. Ведь FM = FK, а дуги NN_V KN и ММ у соответствуют друг другу исходя из сказанного ранее.

После рассмотрения пропорциональности площадей следует рассмотреть, как Кеплер соотносит площади и времена. Ведь второй закон устанавливает отношение между секториальными площадями и равными временами. Для установления этой связи Кеплер вводит в свое доказательство два понятия — эксцентрическую аномалию и истинную аномалию. Первое понятие позволяет отразить увеличение площади сектора круга, а второе — увеличение площади сектора эллипса. Будем называть угол A ON эксцентрической аномалией |/, а полярный угол AFM обозначим как истинную аномалию ф.

Кеплер ищет соответствие между этими углами. Для этого он выражает один угол через другой. Если такое выражение окажется возможным, то между углами присутствует пропорциональность. Для реализации этой задачи Кеплер рассматривает tgq>. Итак, tgф = у/(с + х) = PM/(OF + ОР) = = PM/FP. Это совершенно очевидно, ибо это есть дефиниция тангенса как отношения двух катетов РМ и FP прямоугольного треугольника PMF. Но РМ= b • PN/a, где b — малая полуось, в то время как а — большая полуось. Отношение b/а переводит всякую полухорду круга в соответствующую полухорду эллипса. A sinф = PN/OA = PN/a. Следовательно, РМ-у — 6sinv|/. С другой стороны, радиус-вектор r= а + ex = а + ccos|/. Это преобразование легко объясняется. Угол AON равен углу PON. Поэтому cosy можно выразить через треугольник PON. Следовательно, cosvj/ =х/а = ОР/ОА_у так как е = с/а = OF/OA, где с — расстояние от центра эллипса до фокуса, т. е. OF, а = ОА, х = ОР. Соответственно, из формулы cos|/ = х/а следует, что х = = tfcos|/. Поэтому.

Нахождение этого выражения означает, что истинная аномалия выражается через эксцентрическую аномалию. Обозначим С как коэффициент пропорциональности. Теперь Кеплер рассматривает суммы радиусов круга v ф.

jrds и суммы радиус-векторов эллипса jr²ds. Здесь проведена неболь- 0_ о.

¹ История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 167—168.

шая модернизация, так как введено понятие интеграла, которое Кеплер не использовал. Интеграл здесь понимается как сумма неделимых. Вычисление этих интегралов устанавливает пропорциональность между временем t и их значениями:

так как a + ccos|/ = r.

Первый интеграл выражает, если его поделить на два, площадь в полярных координатах.

Итак,.

так как е = с/а, а с = т. Теперь Ct = ba (q + esincp). А если обозначить С/Ьа = = k, то kt = ф + esincp. И с помощью этого уравнения Кеплер определяет положение планеты в данный момент времени.

Атомистические доказательства Кеплера подвели теоретическую базу под эмпирические наблюдения Тихо Браге. Но это было только начало долгого пути построения атомистической астрономической картины мира. Важными вехами на этом пути стали достижения Ньютона, Лапласа и Эйнштейна. Атомистическая астрономическая картина мира была одним из самых успешных проектов атомизма. Это, наверно, не случайно, ведь атомизм попал в Грецию через вавилонскую планетную теорию. Атомизм на протяжении трех веков доминировал в европейской астрономии, успешно отражая нападения со стороны сторонников материального эфира. Причем его позиции в астрономии были непоколебимы даже тогда, когда атомизм был в начале XIX в. изгнан из математики, механики, оптики и теории электричества.

• [1] Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. М., 1935. С. 112.
• [2] Там же.
• [3] Кеплер И. Указ. соч. С. 114.
• [4] Там же. С. 114−115.
• [5] Кеплер Я. Указ. соч. С. 155.
• [6] Кеплер И. Указ. соч. С. 160.
• [7] Там же.
• [8] Там же.
• [9] Кеплер И. Указ. соч. С. 176.
• [10] Кеплер И. Указ. соч. С. 199.
• [11] Там же.
• [12] Там же. С. 200.