Математика П. Ферма

В отличие от Декарта П. Ферма написал совсем немного произведений. Очень значительная часть его наследия заключалась в письмах к математикам и рабочем экземпляре книги Диофанта «Арифметика». Философским вопросам Ферма практически не уделял внимания, но тем не менее его математика относится к традиции материального эфира, ибо Ферма разрабатывал проблематику именно в русле тех методов, которые использовали Аполлоний и Диофант. Причем Диофант был для Ферма более предпочтителен.

Говорят, что Ферма практически не расставался со своим экземпляром «Арифметики». Именно эта область математических исследований была основной целью его творчества. «Арифметика, — писал он, — имеет свою собственную область, теорию целых чисел, эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последователями (если только она не содержится в тех книгах Диофанта, которых нас лишило разрушительное действие времени); арифметики, следовательно, должны ее развить и возобновить»^[1].

В решении неопределенных уравнений очень значительную роль играют целые и простые числа. Ферма в отличие от Диофанта очень много внимания уделяет решению неопределенных уравнений в целых числах. Простые числа — это свободные члены в неопределенных уравнениях. Раз они простые, то их уже нельзя более сократить, не переходя в область рационального. Что это значит? При решении получаются значения хну. Эти значения могут быть либо рациональными, либо целыми. Оба значения описывают движения внутри эфирного вихря. По у описывается выталкивающая сила эфира, а по х — инерционное движение тяжелой материальной точки.

Естественно, когда обе переменные принимают только целые значения, получается весьма интересный случай гармоничного движения с целыми приращениями. Еще более интересен, красив и гармоничен случай, когда обе переменные оказываются мало того, что целыми, но еще и взаимно простыми. «Ферма впервые поставил вопрос об определении вида простых чисел, представимых некоторой квадратичной формой. Число п называется представимым формой ах^[2][3] + 2Ьху + су^[3], если существуют такие целые, взаимно простые х_{, учто п = ах -г 2Ьх_ху_х + су»^х.

Сразу поясним это на примерах. Например, х^[3] + у¹ = а, где а — простое число вида Ап + 1, х^[3] + 2у^[3] = а, где а — простое число вида 8п + 1 и 8п + 3, х^[3] + 3у^[3] = а и х^[3] + ху + у^[3] = а, где а — простое число вида 6я + 1.

Самый первый пример сразу дает возможность осознать всю важность рассматриваемой темы, ибо сумма х^[3] + у^[3] является элементом и уравнения окружности, и теоремы Пифагора. Очевидно, что это очень значимые для математики вещи.

Ферма идет еще дальше. Рассматривая как раз задачу х^[3] + у^[3] = а^[3] (8-я задача II книги «Арифметики» Диофанта), Ферма делает свое всемирно известное замечание на полях книги. «Наоборот, невозможно разложить ни куб па два куба, ни биквадрат на два биквадрата, ни, вообще, степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем; я открыл этому поистине чудесное доказательство, которое из-за недостатка места не может поместиться на этих полях»^[3].

Это, наверно, одна из самых известных математических теорем — Великая теорема Ферма. Правда, основной интерес у общественности вызвала не сама теорема, а огромная премия, предложенная за ее решение. Эта теорема «в начале 20 столетия приобрела столь громкую известность благодаря учреждению Вольфскелем премии в 100 000 марок за ее решение»^[18]. Это была действительно по тем временам очень большая сумма, и поэтому огромное количество людей, в основном дилетантов, пыталось решить эту многовековую проблему.

Итак, «уравнение х^п + у^п = zⁿ неразрешимо в рациональных числах х, у_у 2 при всех значениях п, кроме п = 2»^[19]. Ферма высказал эту теорему в предельно общем виде для всех натуральных чисел. Но доказательство представил только для случая, когда п = 4. Да и то это доказательство было обнародовано не сразу. Доказательство для п = 3 дал Эйлер в 1770 г. А затем в течение еще двух столетий доказывалась справедливость этой теоремы для все большего и большего числа натуральных показателей. Дирихле и Лежандр смогли доказать эту теорему для «= 5 В 1825 г., Ламе сделал то же самое для п-1.

Большая заслуга в доказательстве частных случаев Великой теоремы Ферма принадлежит Куммеру. Он показал, что теорема верна для всех простых Пу меньших 100 (кроме некоторых чисел-исключений, таких как 37, 59, 67). Наконец, в 1995 г. Э. Уайлс опубликовал общее доказательство, которое на данный момент признано вполне удовлетворительным.

Доказательство Уайлса построено на принципах, отличных от методов Ферма. Очевидно, что если бы Ферма имел общее доказательство, то оно вряд ли совпадало с доказательством Уайлса. Свой метод доказательства Ферма называл «бесконечным или неопределенным спуском». Вот какое описание способу доказательства Ферма дал Цейтен: «Прежде всего он делает указание о своем методе доказательства отрицательных предложений, заключающихся в том, что некоторая задача (например, определение сторон прямоугольного треугольника, площадь которого есть квадрат) не может быть решена в целых числах: он доказывает, что если бы было найдено одно решение, то из него можно было бы получить другое в меньших числах; доказанное имело бы силу и для этого второго решения и т. д.; но так как целые числа нельзя уменьшать бесконечно, то задача невозможна»^[20].

На самом деле Ферма доказывал следующее «замечание к задаче, добавленной к книге Баше де Мезириаком, в которой требуется отыскать прямоугольный треугольник в рациональных числах, площадь которого была бы рациональной. Ферма заметил, что эта площадь не может равняться квадрату. Эта задача сводится к доказательству неразрешимости в целых числах уравнения х* — у^А = z^[21]. Отсюда в свою очередь следует Великая теорема Ферма для случая п = 4. В своем замечании Ферма привел полное доказательство своего утверждения — это единственное дошедшее от него теоретико-числовое доказательство»^[21].

Ферма очень много занимался вопросами деления чисел. На первый взгляд может показаться, что это просто головоломки для любителей математических шарад, просто красивые вычисления. Но на самом деле все эти задачи имеют фундаментальный философский и физический смысл. Особенно известна так называемая Малая теорема Ферма, которая как раз и посвящена вопросам делимости. «Ферма установил, что для каждого числа а, не делящегося на простое число р, существует такое число /?, являющееся делителем р — 1, что а^п — 1 делится на /?»^[2].

Например, возьмем а = 2, р = 7. Берем п — 3 или 6. Тогда 8−1 делится на 7 или 64−1 делится на 7.

В обозначениях Гаусса Малая теорема Ферма сейчас записывается с использованием операции «взятие по модулю»: а¹¹ = 1 (mod р), гдер — простое число, не делящее я, и р = 1 (mod п). Что значит «взятие по модулю»? Это значит, что при делении на это число получится какое-то число и остаток. Этот остаток и есть результат взятия по модулю. Например, 17 делим на 4, получим 4 и остаток 1. В этой связи Ферма весьма много занимался вопросами дружественных и совершенных чисел.

Зачем же надо было тратить время на математические игры? Вот какое объяснение дает Цейтен: «Ферма сообщает далее, что употребляемый им здесь метод совпадает с тем, которым он пользовался при своем дифференцировании. Судя, но этому, дело здесь должно идти о преобразовании уравнений путем замены некоторой величины (например, q) другой (q + h), что должно быть связано с изменением величины показателя а; таким образом все сводится к простым алгебраическим преобразованиям»^[24]. Таким образом, опять же весь смысл подробного рассмотрения простых чисел, деления чисел, дружественных и совершенных чисел сводится к решению неопределенных уравнений, а значит, и к описанию взаимодействия эфирного вихря и тяжелой материальной точки. Ведь и замена величины, о которой говорит Цейтен, соответствует элементарным диофантовым подстановкам.

Ферма принадлежит решение в целых положительных числах неопределенного уравнения ах^[25] + 1 = у^[25]. Это неопределенное уравнение Ферма предложил в качестве вызова сначала французским, а затем и английским математикам. Чтобы решение не было найдено простым подбором, Ферма предложил значения а равными 149, 109, 433. При этих значениях наименьшие значения данного неопределенного уравнения будут достаточно большими, чтобы исключить подбор. Требования к решению заключались в том, чтобы сначала найти наименьшее решение, а затем найти и все остальные решения.

Наибольших успехов в решении добились английские математики Дж. Валлис и У. Броункер. Наверно, поэтому позже произошла путаница, и Л. Эйлер приписал решение этого уравнения другому английскому математику Дж. Пеллю. В течение долгого времени это неопределенное уравнение так и называлось уравнением Пелля, хотя никто из англичан так и не дал общего решения. Сам Ферма, несомненно, обладал общим решением, но дал лишь частное решение для простейшего случая а = 2. «Ферма придавал уравнению ах² + 1 = у^[25] очень большое значение, считая, что оно поясняет путь, по которому должна развиваться наука о числах»^[25]. В этой связи он рассмотрел и более общее уравнение ах^[25] + b = у^[25].

Необходимо отметить еще один выдающийся результат Ферма в теории решения неопределенных уравнений. «Ферма… развил учение о решении двойных и тройных равенств»^[31]. Ферма приводит пример такого двойного равенства в примечаниях к «Арифметике» Диофанта:

«решение которого, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения вида аи² — bv^[25] = с. Ферма писал: „Баше в комментариях к Диофанту приписывает себе честь нахождения правила для двух частных случаев. Я даю общее правило для нахождения всех случаев. И определяю правилами, является ли оно возможным или нет“»^[33].

В заключение следует сказать, что Ферма является наряду с Декартом родоначальником аналитической геометрии. Правда, его вклад был достаточно быстро забыт в сравнении с успехами декартовских математических методов. Тем не менее Ферма уверенно работал и методами Аполлония, изучая пересечение различных кривых линий. «Высшие („линейные“) места, как он уже сказал в начале своей работы, с помощью приведений можно легко свести к „плоским“ (т.е. прямой и окружности) и „телесным“ (т.е. эллипсу, параболе, гиперболе)»^[34]. Эти слова сказаны об аналитическом методе Ферма.

Зная этот метод, можно было свести все высшие кривые («линейные места») к кривым первого и второго порядка. Хотя Ныотои предпочитал при решении уравнений третьей степени использовать конхоиду Никомеда, а при решении уравнения четвертой степени — эллипс^[35]. Ньютон также часто использовал циссоиду Диоклсса. И. Барроу, Я. Бернулли, Дж. Стирлинг, Г. Ф. Лопиталь искали решение уравнения а = bx + сх^[35] + dx³ + … + рх^п в пересечении прямойу = аиу = Ьх + сх^[35] + dг³ + … + рх^п. И. Зегнер впервые в 1758 г. предложил искать точки пересечения уравнения у = Ьх + сх^[35] + + dx³ + … + рх^п с осью х.

• [1] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 73.
• [2] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 74.
• [3] Там же. С. 78.
• [4] Там же. С. 78.
• [5] Там же. С. 78.
• [6] Там же. С. 78.
• [7] Там же. С. 78.
• [8] Там же. С. 78.
• [9] Там же. С. 78.
• [10] Там же. С. 78.
• [11] Там же. С. 78.
• [12] Там же. С. 78.
• [13] Там же. С. 78.
• [14] Там же. С. 78.
• [15] Там же. С. 78.
• [16] Там же. С. 78.
• [17] Там же. С. 78.
• [18] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 71.
• [19] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 172.
• [20] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 174.
• [21] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 22.
• [22] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 22.
• [23] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 74.
• [24] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 171.
• [25] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 76.
• [26] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 76.
• [27] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 76.
• [28] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 76.
• [29] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 76.
• [30] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 76.
• [31] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 26.
• [32] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 76.
• [33] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 77.
• [34] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 215.
• [35] Там же. С. 59.
• [36] Там же. С. 59.
• [37] Там же. С. 59.
• [38] Там же. С. 59.