Уравнения механики деформируемого тела и граничные условия

Для решения задачи об определении напряженно деформированного состояния тела имеются шесть уравнений равновесия и шесть геометрических соотношений, в которые входят 15 неизвестных функций координат (а в задачах динамики — и времени), а именно: шесть компонентов тензора напряжений (а_г(х, у, г),…, т_1/г(х, у, г)), шесть компонентов тензора деформаций (е_г(х, у, г),…, у_у2(х, у, z)) и три проекции вектора перемещений (и (х, у, z), v (x, у, z), w (x, у, z)).

Таким образом, задача оказывается статически неопределимой и, как известно, имеющиеся уравнения необходимо дополнить определяющими (физическими) соотношениями.

Физические уравнения отражают особенности механических свойств материала тела в заданных условиях его деформирования и в общем случае связывают компоненты тензоров напряжений, деформаций и их скоростей, т. е.

Здесь опущены индексы у компонентов тензоров и их скоростей, точкой обозначено дифференцирование по времени, Т— температура.

Итак, полная система уравнений механики твердого деформированного тела включает следующие 15 уравнений:

• уравнения равновесия (движения).

• геометрические соотношения.

• физические уравнения.

Таким образом, для определения напряженно деформированного состояния нагруженного тела и поля перемещений его точек необходимо проинтегрировать приведенную систему уравнений.

Заметим, что в уравнения равновесия входят напряжения, действующие по граням элементарного параллелепипеда, мысленно выделенного в какой-либо внутренней точке тела.

Вместе с тем имеются точки, прилегающие к поверхности тела, нагруженной некоторой заданной нагрузкой интенсивности p_v. В окрестности такой точки можно мысленно выделить малый элемент, который будет иметь форму тетраэдра (рис. 1.7).

Рис. 1.7.

На трех его гранях будут действовать компоненты тензора напряжений, а на наклонной — проекции на координатные оси внешней поверхностной нагрузки.

Действующие на него силы должны удовлетворять уравнениям равновесия Рассмотрим первое из уравнений ?(/v)_v ⁼ 0. Его можно расписать как.

С учетом того, что между площадями граней тетраэдра существуют соотношения.

рассматриваемое уравнение равновесия примет вид

Рассуждая аналогично, можно записать оставшиеся два уравнения равновесия. Таким образом, напряжения в точках, прилегающих к такой границе тела, должны удовлетворять следующим уравнениям:

Итак, уравнения равновесия (1.15) всегда должны рассматриваться вместе с граничными условиями (1.18).

Следует иметь в виду, что в зависимости от характера задачи граничные условия могут быть заданы не только для напряжений, но и для перемещений, а также могут быть граничные условия смешанного типа (частично для напряжений, частично для перемещений).

Так, например, в точках тела, прилегающих к заделке (см. рис. 1.7), перемещения должны быть равны нулю, т. е.