Изучение геометрии на уроках математики в 5-6 классах

Дипломная работа

По теме:

Изучение геометрии на уроках математики в 5−6 классах

Введение

Глава 1. Роль изучения геометрии в формировании общего образования школьников

§ 1. Развитие геометрии как школьного предмета

1.1 История российского геометрического образования до начала ХХ века

1.2 Основные этапы развития геометрического образования в советской школе 1917;1991)

§ 2. Роль изучения геометрии

§ 3. Психолого-педагогическая характеристика детей 11−13 лет

§ 4. Анализ действующих учебников математики на предмет содержания геометрического материала Глава 2. Методическая разработка материалов для проведения уроков по геометрии в 5−6 классах

§ 1. Система упражнений пропедевтики и развития интереса к математике

1.1 Упражнений развития графической культуры

1.2 Упражнения на развитие наглядно-образное мышление

1.3 Система упражнений на развитие пространственных представлений

§ 2. Задачи для кружковой работы

2.1 Задачи по геометрии, решаемые методами оригами

2.2 Задачи на геоплане

2.3 Геометрия на клетчатой бумаге

2.4 Задачи на разрезание треугольника

§ 3. Материалы для проведения уроков

3.1 «Цепочки» задач по теме «Точки и прямые плоскости»

3.2 Разработка урока по теме «Угол»

Заключение

Библиография

В разное время высказывались различные мнения о преподавании геометрии и ее месте в системе школьного образования. Недостатки в освоении геометрии могут приводить к серьезному ущербу всего миропонимания.

Геометрические образы сопровождают человека в течение всей его жизни, начиная с первых лет. Первичные геометрические сведения у человека появляются до того, как он способен их формально-логически осмыслить. Чем богаче и разностороннее мир ребенка, тем большее количество таких первоначальных знаний он получает до начала обучения в школе. По наблюдениям многих учителей и специалистов-психологов при неверном обучении ранняя способность оперировать геометрическими образами и синтезировать геометрические знания может в дальнейшем не только не развиваться, но даже резко ослабевать. Поэтому одной из главных задач преподавания геометрии является задача планомерного, систематического развития геометрического, образного мышления, восприятие геометрии не только как школьного предмета, но и как феномена человеческой культуры.

Геометрическое образование должно начинаться с первых шагов пребывания ученика в школе — на уроках труда, природоведения, рисования, а в средних классах — географии и черчения. В настоящее время, в связи с постоянно растущей урбанизацией жизни и значительной формализацией процесса труда, едва ли не единственным источником приобретения опыта в геометрических образах является школа. В связи с этим появляется необходимость в разработке концепции, которая могла бы ликвидировать дефицит геометрического опыта и методически правильно подготовить учащегося к усвоению стандартного курса геометрии.

Геометрическая деятельность является первичной интеллектуальной деятельностью человечества в целом и каждого человека в отдельности. Геометрия — это «не только раздел математики, школьный предмет, это, прежде всего, феномен общечеловеческой культуры, являющийся носителем собственного метода познания мира».

В настоящее время изучение систематического курса геометрии начинается с 7 класса средней школы. Однако со многими геометрическими фигурами посредством практической деятельности дети знакомятся намного раньше. Это происходит уже на занятиях в детском саду и на уроках рисования, труда, математики в начальной школе.

К сожалению, в современной школе начальная часть геометрического образования развита недостаточно. Вследствие этого, школьники, при переходе в 7 класс, встречаются с трудностями, возникающими при изучении систематического курса геометрии: во-первых, происходит знакомство с новой терминологией, во-вторых, учащимся приходится работать с совершенно новыми объектами, восприятие которых требует развитого абстрактного мышления, в-третьих, от учащихся требуется не только свободное владение математическим языком, но и умение самостоятельно доказывать какие-либо утверждения.

В большинстве школ элементы геометрии в 5−6 классах изучаются в рамках одного предмета: математики. В связи с этим возникает вопрос о совершенствовании методики изучения элементов геометрии в курсе математики 5−6 классов.

Цель дипломной работы: Показать возможность непрерывного изучения геометрии на уроках математики, а также на кружках, составить задачный материал для данной работы.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

— проанализировать действующие учебники 5−6 классов, методическую, педагогическую и психологическую литературу по теме дипломной работы;

— разработать систему упражнений для проведения уроков математики и кружковой работы.

При подготовке дипломной работы использовались следующие методические исследования:

— анализ литературы по теме дипломной работы;

— изучение способности детей 5−6 классов воспринимать наглядный геометрический материал;

— апробация разработанного задачного материала.

Данная работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются периоды развития геометрии как учебного предмета и ее роль в формировании развития школьников; вопросы общей и возрастной психологии и педагогики: выявляются особенности развития психических процессов при изучении элементов геометрии у детей данного возраста (приводится психолого-педагогическая характеристика). Далее анализируются различные учебники математики с точки зрения содержания в них геометрического материала (Виленкин Н.Я. и др. Математика 5. Виленкин Н. Я. и др. Математика 6. «Математика 5» под ред. Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина. «Математика 6» под ред. Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина. Мордкович А. Г., Зубарева И. И. «Математика 5», «Математика 6»).

Во второй главе приводится методическая разработка пропедевтического курса геометрии и развития интереса к предмету геометрии. В этот раздел вошли системы упражнений на развитие графической культуры, наглядно-образного мышления и пространственных представлений. Составлен материал для кружковой работы. В этот пункт вошли такие разделы, как: задачи, решаемые методами оригами, задачи на геоплане, геометрия на клетчатой бумаге и задачи на разрезание треугольника. Также приведен материал для проведения уроков: цепочка заданий по теме «Точки и прямые на плоскости» и несколько упражнений по теме «Углы»,

После второй главы приводиться заключение, библиография.

Глава 1. Роль изучения геометрии в формировании общего образования школьников

§ 1. Развитие геометрии как школьного предмета

Приобретение любого познания всегда полезно для ума, ибо он сможет отвергнуть бесполезное и сохранить хорошее. Ведь ни одну вещь нельзя ни любить, ни ненавидеть, если сначала ее не познать. Леонардо да Винчи Ушедший век многое привнес в теорию и методику обучения и воспитания учащихся в процесс их математического образования.

Мы привыкли думать, что геометрия — древнейшая наука и про ее преподавание все известно. Однако, это не так. Прежде всего, следует сказать, что, несмотря на то что геометрия — действительно древнейшая наука, ее современная методологическая основа сформировалась сравнительно недавно: в конце XIX — начале XX веков.

Условно последние десятилетия развития методики преподавания геометрии в школе можно разделить на следующие периоды.

1. Период использования в школе учебников А. П. Киселева — вплоть до начала 60-х годов XX века.

2. Период внедрения в школьную геометрию новых разделов: элементов теории множеств, геометрических преобразований, векторной алгебры и т. д. — В. Г. Болтянский, А. И. Фетисов, И. М. Яглом и др.

3. «Колмогоровский период» (1965;1980) — характеризуется очень серьезным подходом к осмыслению всей структуры школьной математики в целом и геометрии в частности.

4. «Период традиционных современных учебников» для массовой школы — Л. С. Атанасян и др., А. В. Погорелов, И. Ф. Шарыгин, А. Д. Александров и др. Появление этих учебников было связано с желанием авторов вернуться к более традиционному (чем у А.Н. Колмогорова) подходу к изучению школьного курса геометрии.

1.1 История российского геометрического образования до начала ХХ века

Развитие геометрии в XVIII веке:

1. в России начала развиваться система государственного образования, сложилась номенклатура учебных дисциплин, в рамках которой геометрия постепенно выделилась в самостоятельный учебный предмет, что вызвало создание соответствующих учебников.

2. Четкой концепции предмета, критериев отбора содержания и методов его изложения еще не существовало. Авторы порой руководствовались личным опытом и собственными вкусами. Ни один из созданных в это время курсов не был ни систематическим, ни логическим.

3. Существенное влияние на авторов учебников по геометрии оказывали западные традиции и непререкаемый в ту пору научный авторитет Евклида, что приводило к использованию в обучении геометрии самих «Начал», их адаптированных вариантов, переводных и оригинальных учебников, написанных в традициях Евклида. В целом же в XVIII веке вопрос об учебнике геометрии не был решен, что объяснялось не только колоссальным влиянием научного авторитета Евклида и возможностью использования его «Начал» в качестве учебного пособия, но и сравнительно небольшим по современным меркам числом учебных заведений, отсутствием острой потребности в массовом учебнике.

4. Зародились два направления в преподавании геометрии практическое (прикладное) и теоретическое. Основным для XVIII века было практическое направление, что объясняется изначальным появлением системы профессионального образования, а затем уже общего и необходимостью пропаганды геометрических знаний, которые долгое время были под запретом. В последней четверти XVIII века эти направления начали сближаться и само образование сделало шаг от элитарного профессионального к массовому общему.

5. В преподавании основное внимание уделялось геометрии плоских фигур, рассматриваемых в пространстве, и меньше внимания — стереометрии. Свойства фигур и тел изучались лишь в контексте вычисления площадей и объемов, применения этих свойств на практике. Вопрос о развитии у учеников пространственных представлений не ставился, хотя авторов учебников можно отнести к наивным фузионистам.

6. Основной метод преподавания — догматический. На первый план выдвигалось заучивание и воспроизведение готовых фактов, что в лучшем случае развивало лишь память. Этот вывод подтверждается и отсутствием в историко-методической литературе по математике сведений о существовании каких — либо задачников по геометрии. Неизвестен и ответ на вопрос об организации контроля за усвоением геометрических знаний.

Развитие геометрии в XIX веке:

1. сложилась система среднего образования, в рамках которой геометрия была самостоятельным учебным предметом, за исключением начальных учебных заведений. В гимназиях преподавалась элементарная геометрия: от начальных понятий до конических сечений, в неполных средних (городских и уездных училищах) — сокращенный законченный курс планиметрии с элементами стереометрии (поверхности и объемы тел без доказательств).

2. Содержание курса окончательно сформировалось и состояло из двух разделов: планиметрии (линии и фигуры) и стереометрии (тела). Курс не был систематическим в современном понимании этого слова, но являлся последовательным курсом элементарной геометрии в традициях Евклида, выстроенным на дедуктивной основе. Хотя в начале курса аксиомы полностью или частично приводились, но их значение как основ для построения геометрической теории не рассматривалось в школьных учебниках. Под аксиомами понимали очевидные истины. Таким образом, гимназические курсы геометрии в XIX веке не были аксиоматическими, но по содержанию были шире современных в части элементарной геометрии. Они еще не содержали элементов аналитической геометрии, но в них уже нашла отражение теория пределов. Однако можно утверждать, что к концу века образовался серьезный разрыв между геометрией как учебным предметом и геометрией как развивающейся наукой.

3. Курсы геометрии содержали логические пробелы в формулировках определений и в доказательствах. Определения подменялись описаниями, имелся дуализм в определении некоторых понятий. Так, с одной стороны, линия определялась как граница поверхности, а с другой — как результат движения точки. Вольно трактовалось и понятие обратной теоремы.

Определенное влияние на содержание школьных учебников геометрии этого периода оказывали западные авторы, прежде всего французские (Даламбер, Лежандр, Дистервег и др.), что привело к некоторому усилению позиций сторонников метрической геометрии. Однако подлинно метрической школьная геометрия еще не стала. Углы по-прежнему измерялись дугами окружности. Под измерением площадей и объемов понимали сравнение с фигурой, имеющей единичную площадь или объем. Этим объясняется крайне малое число задач на вычисление в школьных курсах и доминирование задач на построение и доказательство.

4. Курс геометрии стал теоретическим, практические приложения свелись к рассмотрению в большем или меньшем объеме измерений и построений на местности и соответствующих им инструментов (даже в училищах различных типов).

5. В XIX веке серьезное внимание уделялось вопросам преподавания, закрепления знаний и контроля за их усвоением, что и привело к появлению задачников по геометрии. Впервые был поставлен вопрос о самостоятельной деятельности учащихся при изучении геометрии, учете их психологических особенностей, хотя под последними понимали только внешние проявления психических процессов, типы восприятия. В связи с этим при усвоении школьниками начальных понятий геометрии встал вопрос о создании подготовительных курсов геометрии. Широкому распространению передовых идей в преподавании геометрии способствовали появившиеся в средние века педагогические журналы. Однако основным видом деятельности учителя по-прежнему оставались передача учащимся готовых геометрических знаний и проверка их усвоения.

1.2 Основные этапы развития геометрического образования в советской школе (1917;1991)

Советский период развития школьного геометрического образования:

1. преподавание геометрии в советской школе впитало в себя содержательные и в меньшей степени методические традиции российской школы благодаря как непосредственному использованию на практике учебника А. П. Киселева и его последующих редакций на протяжении почти 40 лет, так и возвращению к курсу геометрии в духе Евклида в учебниках А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна.

2. Фактология школьного курса, в целом сложившаяся к середине XIX века, практически не изменилась, курс оставался раздельным и последовательным, хотя объем содержания по сравнению с учебником А. П. Киселева уменьшился, что привело в середине 90-х годов к появлению принципа минимизации содержания.

3. Основные изменения содержания касались последовательности изучения отдельных тем курса; ведущего метода доказательства: на основе равенства фигур (Киселев, Атанасян, Александров), с помощью преобразований (Колмогоров, Болтянский, частично Александров); появления новых разделов (векторы, координаты, движения); включения стереометрических сведений или использования пространственных фигур в курсе планиметрии; использования теоретико-множественной терминологии и символики; аксиоматизация курса. У Киселева и его последователей аксиомы не являлись основой для построения школьного курса. На аксиоматической основе были построены учебники Колмогорова, Погорелова, Атанасяна и Александров, хотя со временем их «аксиоматизм» начал ослабевать. В целом курс носил теоретический характер, его практическая направленность реализовалась на уровне примеров, носила второстепенный характер. Он ориентировался на построение школьной геометрии как адаптированного слепка науки, а не учебного предмета, приоритетной оставалась информативная функция знаний, а не развивающая.

4. Борьба за появление пропедевтических курсов геометрии в 70-е годы завершилась включением в курс математики для 4−5 (5−6) классов большого объема геометрических фактов в рамках «геометрии без доказательств», что создало предпосылки к появлению в последующем самостоятельных курсов геометрии для 5−6 (1−6) классов.

5. Ориентация политики государства на развитие промышленности, создание материально-технической базы социализма, укрепление связи образования с производством выделила в качестве приоритетного естественно-техническое направление образования, в котором геометрии принадлежала одна из ведущих ролей. Преобладание технических вузов требовало от большинства выпускников школы твердых знаний по геометрии, сделав успешную сдачу вступительного экзамена одним из ведущих мотивов изучения геометрии. Это, в свою очередь, привело к появлению третьей после школьной и высшей математики — математики для поступающих.

6. Ведущими целями преподавания являлись формирование у учащихся геометрических знаний и умений, развитие логического мышления. Самостоятельная, познавательная деятельность школьников сводилась к решению разнообразных задач. Психологи характеризуют такое построение процесса обучения как направленное на формирование мышления эмпирического типа.

7. Стержневыми направлениями многочисленных методических исследований являлись поиск форм и средств эффективного обучения отдельным вопросам школьной геометрии, обучению решению задач различной тематики и типов. Несмотря на все усилия исследователей, педагогов-практиков, в 80-е годы появились многочисленные публикации, свидетельствовавшие о снижении результативности школьного геометрического образования. Это могло быть вызвано несовершенством методики, низкой квалификацией учителей, поскольку эффективность реализации локальных инноваций в массовой школе целиком зависит от профессиональных возможностей педагога, его интересов; изменением мотивации учебной деятельности; несоответствием содержания и методов обучения уровню психического развития школьников. Наметилась тенденция превращения школьной геометрии в учебный предмет «в себе» .

8. Развитие детской психологии, внедрение развивающих моделей в начальное обучение (Занков, В. В. Давыдов, Эльконин), начало профильной и уровневой дифференциации старшего звена школы вступали в противоречие со стабильным содержанием и методами преподавания геометрии в 6−8 (7−9) классах средней школы, существовавшими в рамках предметно-центрической концепции обучения, где, в частности, ученик рассматривается как объект обучения, и требовали не только поиска новых моделей обучения, но и определения целей и поиска адекватного им содержания курса геометрии для 7−9 классов, превращения ученика в субъект учебного процесса, что нашло свое отражение в высказываниях и публикациях А. Д. Александрова, Н. М. Бескина, Г. Д. Глейзера, И. Ф. Шарыгина и других, однако на технологическом уровне проблемы начали решаться лишь в 90-е годы.

9. Изменение преподавания школьной геометрии в СССР в 60−80-е годы частично совпадали с общемировыми тенденциями включения в школьные курсы элементов современной математики и реализации лозунга «Евклид должен уйти!», а также возвращения к традициям Евклида на новом уровне и более умеренному подходу к связям школьных курсов и современных течений в математике.

§ 2. Роль изучения геометрии

Ни тридцать лет, ни тридцать столетий Не оказывают никакого влияния на ясность И красоту геометрических истин.

Льюис Кэрролл В ряду учебных дисциплин, составляющих в совокупности школьный курс математики, геометрия играет особо важную роль. Эта роль определяется и относительной сложностью геометрии по сравнению с другими предметами математического цикла, и большим значением этого предмета для изучения окружающего мира. Геометрия, являясь неотъемлемой частью математического образования, имеет целью обще-интеллектуальное и общекультурное развитие учащихся. Развитие учащихся средствами геометрии направлено на достижение научных, прикладных и общекультурных целей математического образования, где общекультурные цели обучения геометрии в первую очередь предполагают всестороннее развитие мышления детей. Геометрия, как учебный предмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общего математического образования — целостного развития и становления личности средствами математики.

Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она позволяет наиболее ярко устанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметах и их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать индивидуальные особенности протекания психических процессов учащихся.

Одной из важнейших задач школы является воспитание культурного, всесторонне развитого человека, воспринимающего мир как единое целое. Каждая из учебных дисциплин объясняет ту или иную сторону окружающего мира, изучает ее, применяя для этого разнообразные методы.

Геометрия — это раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания мира, с помощью которого рассматриваются формы и взаимное расположение предметов, развивающий пространственные представления, образное мышление учащихся, изобразительно-графические умения, приемы конструктивной деятельности, т. е. формирует геометрическое мышление.

§ 3. Психолого-педагогическая характеристика детей 11−13 лет

При описании психических процессов детей 11−13 лет будем опираться на психические особенности младших школьников, поскольку дети 5−6 классов близки к младшему школьному возрасту.

Рассмотрим психические процессы младших школьников.

Познавательное развитие в младшем школьном возрасте.

— Внимание

— Восприятие

— Память: произвольная и непроизвольная

— Воображение

— Мышление

Внимание

Внимание — характеристика психической деятельности, выражающаяся в сосредоточенности и в направленности сознания на определённый объект. Под направленностью сознания понимается избирательный характер психической деятельности, осуществление в ней выбора данного объекта из некоторого поля возможных объектов.

Процесс обучения невозможен без достаточной сформированности такой функции деятельности человека, как внимание. У детей преобладает непроизвольное внимание. Ребенок в большей степени реагирует на яркие, эмоциональные признаки информации, чем на ее содержание, он обращает внимание на то, что ему непосредственно интересно. В ходе учебной деятельности ребенок учится направлять и устойчиво сохранять внимание на нужных, а не просто внешне привлекательных предметах.

Школьник младших классов может сосредоточенно заниматься одним делом 10—20 мин. По сравнению с дошкольниками у младших школьников в 2 раза увеличивается объем внимания, повышается его устойчивость переключение и распределение. Во втором и третьем классе многие учащиеся уже обладают произвольным вниманием, концентрируя его на любом материале, объясняемом учителем или имеющемся в книге.

Восприятие

Развитие отдельных психических процессов происходит на протяжении всего младшего школьного возраста. К семи годам у ребенка отмечаются достаточно развитый процесс восприятия (наблюдается высокая острота зрения и слуха, ориентирование на различные формы и цвета), но восприятие младшего школьника в учебной деятельности сводится лишь к узнаванию и называнию формы и цвета.

Восприятие — сложная система процессов приёма и преобразования информации, обеспечивающая организму отражение объективной реальности и ориентировку в окружающем мире.

У первоклассников присутствуют недостатки дифференцированности восприятия, так как еще не сформирована способность к систематическому анализу самих воспринимаемых свойств и качеств предметов. Возможность ребенка анализировать и дифференцировать воспринимаемые предметы связана с формированием у него более сложного вида деятельности, чем ощущение и различение отдельных непосредственных свойств вещей. Этот вид деятельности, называемый наблюдением, особенно интенсивно складывается в процессе школьного учения. На занятиях ученик получает, а затем и сам развернуто формулирует задачи восприятия тех или иных предметов и пособий. Благодаря этому восприятие становится целенаправленным. Такое восприятие, синтезируясь с другими видами познавательной деятельности (вниманием и мышлением), приобретает форму целенаправленного и произвольного наблюдения.

Память: произвольная и непроизвольная

В процессе становления в младшем школьном возрасте находится память. Память приобретает ярко выраженный познавательный характер. Изменения в области памяти связаны со следующими явлениями:

— ребенок начинает осознавать особую, мнемоническую задачу. Он отделяет эту задачу от всякой другой. Такая задача в дошкольном возрасте либо вовсе не выделяется, либо выделяется с большим трудом;

— в младшем школьном возрасте идет интенсивное формирование приемов запоминания. От наиболее примитивных приемов (повторение, внимательное длительное рассмотрение материала) в более старшем возрасте ребенок переходит к группировке, осмыслению связей разных частей материала.

В младшем школьном возрасте существуют следующие особенности памяти:

— наглядный материал запоминается лучше; чем словесный;

— название предметов запоминаются лучше, чем абстрактные понятия;

— абстрактный материал, обобщающий ряд фактов, запоминается лучше, чем абстрактный материал, не подкрепленный фактами.

Память в процессе обучения развивается в двух направлениях — произвольности и осмысленности.

Соотношение непроизвольной и произвольной памяти в процессе развития внутри учебной деятельности различно. В первом классе эффективность непроизвольного запоминания значительно выше, чем произвольного, так как у детей еще не сформированы особые приемы осмысленной обработки материала и самоконтроля. Обе формы памяти — произвольная и непроизвольная — претерпевают в младшем школьном возрасте такие качественные изменения, благодаря которым устанавливается их тесная взаимосвязь и взаимопереходы. Важно, чтобы каждая из форм памяти применялась детьми в соответствующих условиях (например, при заучивании какого-либо текста наизусть используется преимущественно произвольная память). Усвоение учебного материала может происходить и с помощью непроизвольной памяти, если она опирается на средства логического освоения этого материала. Тем самым развивается смысловая память, и ее совершенствование в этом возрасте позволит в дальнейшем освоить достаточно широкий круг мнемонических приемов, т. е. рациональных способов запоминания (деление текста на части, составление плана, приемы рационального заучивания и др.)

Воображение

Воображение — психическая деятельность, состоящая в создании представлений и мысленных ситуаций, никогда в целом не воспринимавшихся человеком в действительности. Воображение основано на оперировании конкретными чувственными образами или наглядными моделями действительности, но при этом имеет черты опосредствованного, обобщённого познания, объединяющие его с процессом мышления. Характерный для воображения отход от реальности позволяет определить его как процесс преобразующего отражения действительности.

Специфика учебной деятельности помогает развить у детей такую важную психическую способность, как воображение. Большинство сведений, сообщаемых школьникам учителем и учебником, имеет форму словесных описаний, картин и схем. Школьники каждый раз должны воссоздавать себе образ действительности (поведение героев рассказа, события прошлого, ландшафты и т. д.). В процессе школьных занятий развивается воссоздающее (репродуктивное) воображение, и уже воссоздающее воображение перерабатывает образы действительности. Дети изменяют сюжетную линию рассказов, представляют события во времени, изображают ряд объектов в обобщенном, сжатом виде (этому во многом способствует формирование приемов смыслового запоминания). Постепенное совершенствование воссоздающего, или репродуктивного, воображения в младшем школьном возрасте создает условия для развития у школьников творческого (продуктивного) воображения. Формированию этой предпосылки помогают занятия по труду, на которых дети осуществляют свои замыслы, изготавливая какие-либо предметы. Этому во многом способствуют и уроки рисования, требующие от детей создать замысел изображения, а затем искать наиболее выразительные средства его воплощения.

Мышление

Как известно, важнейшим психическим процессом является мышление. «Мышление — «это социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза» .

Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы.

В психологии распространена следующая классификация видов мышления:

— наглядно-действенное (связанное с практической деятельностью);

— наглядно-образное (основанное на зрительном восприятии);

— отвлеченное (теоретическое).

В начальной школе у детей интенсивно развивается наглядно-образное мышление. Однако к 11 годам наглядные образы чаще заменяются словесными формулировками.

Мышление в младшем школьном возрасте приобретает абстрактный и обобщенный характер. Выполнение интеллектуальных операций школьниками связано с трудностями.

В развитии мышления наблюдаются две основные стадии:

1) Мыслительная деятельность младших школьников еще во многом напоминает мышление младшего школьника. Анализ учебного материала производится по преимуществу в наглядно-действенном плане. Дети опираются при этом на реальные предметы или их прямые заместители, изображения. Учащиеся пятых классов зачастую судят о предметах весьма односторонне, схватывая какой-либо единичный внешний признак. Умозаключения детей опираются на наглядные предпосылки, данные в восприятии. Обоснование вывода осуществляется не на основе логических аргументов, а путем прямого соотношения суждения воспринимаемыми сведениями.

Большинство обобщений, осуществляемых детьми на этой стадии, фиксирует, конкретно воспринимаемые признаки и свойства, лежащие на поверхности предметов и явлений;

2) К пятому классу изменяется характер мышления младших школьников. Учащиеся овладевают родовидовыми соотношениями между отдельными признаками понятий, т. е. классификацией.

В основе суждений младших школьников о признаках и свойствах предметов и явлений лежат чаще всего наглядные изображения и описания. Но вместе с тем эти суждения являются результатом анализа текста, мысленного сопоставления его отдельных частей, мысленного выделения в этих частях главных моментов, их объединения в целостную картину, наконец, обобщения частностей в некотором новом суждении, теперь уже отделенном от прямых его источников и ставшем абстрактным знанием. Следствием такой умственной аналитико-синтетической деятельности является абстрактное суждение или обобщенное знание. По мере того как ребенок учится классифицировать определенные предметы и явления, появляются все более сложные формы умственной деятельности, которая становится относительно самостоятельным процессом работы над учебным материалом, независящим непосредственно от восприятия. Постепенно растет количество суждений, в которых наглядные моменты сведены до минимума и объекты характеризуются по более или менее существенным связям.

Свойство детского ума воспринимать все конкретно, буквально, неумение подняться над ситуацией и понять ее общий, абстрактный или переносный смысл — одна из основных трудностей детского мышления, ярко проявляющаяся при изучении таких абстрактных дисциплин как математика и грамматика. При переходе в среднюю школу у ребенка значительно повышается удельный вес чтения как источника мыслей. Появляются новые учебные предметы, способствующие развитию отвлеченного мышления. Изучение такого максимально абстрактного предмета, как математика, хорошо показывает, как высоко поднимается уровень абстрактного мышление школьников данного возраста. Так, многим ученикам 5−6 класса легче дается решение «абстрактных» текстовых задач, чем задач с большим количеством конкретно-чувственных деталей, где основные существенные зависимости между величинами маскируются. К таким задачам относятся и задачи геометрического содержания.

Трудность обобщения (как одной их операций мышления) — одна из основных трудностей, возникающих при изучении математики. По словам В. А. Крутецкого, неспособные дети с большим трудом обобщали предложенный математический материал. Они с трудом перебирались от одной ступени к другой, причем каждая ступень должна была закрепляться значительным количеством упражнений. Отметим, что зачастую это происходит вследствие того, что многие младшие школьники не могут выделить общие и существенные свойства какого-либо предмета или явления. Так, узнав о способе нахождения площади прямоугольника (произведение длин его смежных сторон), многие школьники применяют этот способ для нахождения площадей других геометрических фигур, например треугольника. Итак, выделение существенного — это одна сторона процесса абстракции (позитивная). Отвлечение от несущественного — другая ее сторона (негативная). Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что негативная сторона процесса протекает труднее, чем позитивная: отвлечение от несущественного происходит с большим трудом, чем выделение существенного. Однако трудности возникают и при другом мыслительном процессе: переходе от абстрактного к конкретному.

Типичными становятся ошибки в геометрической иллюстрации к задаче, в построении чертежей. Поэтому развитие отвлеченного мышления у пятиклассников в ходе усвоения понятий вовсе не означает, что их наглядно-действенное и наглядно-образное мышление перестает теперь развиваться или вообще исчезает. Наоборот, эти первичные и исходняе формы всякой мыслительной деятельности по-прежнему продолжают изменяться и совершенствоваться, развиваясь вместе с отвлеченным мышлением и под его влиянием. Любое, даже наиболее развитое мышление всегда сохраняет связь с чувственным познанием, т. е. с ощущением, восприятием и представлением. Весь свой материал мыслительная деятельность получает только из одного источника — из чувственного познания. Известно, что усвоение материала будет более эффективным, если опираться на особенности соотношения конкретного и абстрактного мышления детей. В соответствии с этим на уроках «умственная деятельность должна подкрепляться конкретной материальной деятельностью». Значительное место, особенно при изучении геометрического материала, должны занимать упражнения, в которых требуется начертить, измерить, найти на рисунке и предмете, вырезать, составить фигуру и др. Это позволит стимулировать у учащихся развитие наглядно-действенного мышления и на его основе в дальнейшем — образного мышления.

С точки зрения формальной логики мышление характеризуется тремя основными формами: понятиями, суждениями, умозаключениями. Процесс формирования некоторого понятия — постепенны процесс, в котором можно выделить несколько последовательных стадий. Первая стадия представляет собой процесс «видения», который создает в сознании ребенка особую форму отражения реальной действительности — восприятия. «Чувственное восприятие объекта есть начальная, простейшая ступень в его познании — первая ступень в формировании соответствующего уму понятия». Далее в результате отвлечения от чувственного восприятия в сознании детей создается новая форма представление о данном объекте. На следующей ступени познания через род и видовое отличие формируется понятие. На данном этапе ребенок знакомится со свойствами объекта, рассматривает его с точки зрения уже известных ему понятий, выделяет объем и содержание понятия.

Если говорить об особенностях геометрического материала, то специфика его такова, что в возрасте 11−12 лет сформировать в сознании ребенка многие геометрические понятия очень трудно.

Геометрическое мышление в своей основе является разновидностью чувственного, образного мышления, что функционально присуще правому полушарию головного мозга. По мере развития геометрического мышления происходит возрастание логической составляющей и соответственно роли левого полушария. Отсюда важность геометрии в непосредственно физиологическом смысле и особенно для детей в возрасте 8−12 лет с доминирующим развитием правого полушария. А таких детей, как известно не меньшинство.

" Занятия геометрией способствуют развитию интуиции, воображения и других важнейших качеств, лежащих в основе любого творческого процесса". Итак, формирование геометрических представлений, несомненно связано, с развитием воображения. «основная тенденция, возникающая в развитии детского воображения — это переход ко все более правильному и полному отражению действительности, переход от простого произвольного комбинирования представлений к комбинированию логически аргументированному». Если ребенок 3−4 лет удовлетворяется для изображения самолета двумя палочками, положенными крест-накрест, то в 7−8 лет ему уже нужно внешнее сходство с самолетом. Школьник 11−12 лет часто сам конструирует модель и требует от нее еще более полного сходства с настоящим самолетом. С каждым годом возрастает реализм детского воображения. Однако воображение ребенка, оканчивающего начальную школу, характеризуется также другой чертой: наличием элементов репродуктивности, простого воспроизведения. И не секрет, что зачастую в 5 классе ребенок однотипно изображает геометрические фигуры и, в связи с этим, испытывает трудности при решении задач. Однако с возрастом элементов репродуктивности, простого воспроизведения в воображении школьника становится все меньше и меньше и все в большей степени появляется творческая переработка представлений. Образы воображения приобретают уже более обобщенный характер. С каждым годом обучения в школе развитие воображения все в большей степени базируется на освоении технических приемов действий в той или иной области творческой деятельности. Геометрическая деятельность не является исключением.

Известно, что воображение становится более «тусклым» в связи с тем, что у детей отсутствуют какие-либо практические умения. А геометрический материал предоставляет хорошую почву для развития этих умений. Именно благодаря геометрическим занятиям, ученики 5 класса дают действительно творческую переработку полученных ими впечатлений, комбинируя их таким образом, что возникают новые сочетания, которых не было в их непосредственном опыте. Такая «эмансипация» воображения детей младшего школьного возраста от непосредственных впечатлений является следствием расширения их опыта, благодаря практическим и лабораторным работам, а также широкому использованию наглядности.

Таким образом, можно сделать вывод, что в 5−6 классах учащиеся уже способны к восприятию довольно абстрактного геометрического материала, но при его изучении необходимо активно использовать наглядность и применять лабораторные и практические работы. Кроме того, важно не только развивать мышление (как отвлеченное, так и наглядно-образное), но и стремиться к формированию обобщенного воображения. В курсе математики 5−6 класса элементы наглядной геометрии развивают логическое мышление учащихся, их пространственные представления и практические навыки.

§ 4. Анализ действующих учебников математики на предмет содержания геометрического материала

Как показали исследования психологов, возраст детей от 7−12 лет наиболее благоприятен для формирования геометрических представлений. Детям этого возраста присуще яркость восприятия, наглядная образная память, большой интерес к окружающему миру, богатое воображение, способность легко усваивать материал и др.

Ещё в дошкольном возрасте ребёнок встречается с различными линиями, фигурами, поверхностями, формами, под влиянием которых у него формируются геометрические представления. Геометрические представления в этом возрасте носят случайный и хаотичный характер, они не всегда правильные, преимущественно «плоскостные». В начальной школе продолжается процесс накопления детьми представлений о пространстве, необходимых для усвоения элементарных понятий, а затем учащиеся приступают к дальнейшей стадии обобщения и конкретизации свойств и отношений предметов и явлений материального мира по разным признакам: временным, количественным, пространственным.

Обучение в начальной школе ставит своей целью упорядочить эти пространственные представления. Исходя из возрастных особенностей младших школьников, большое значение приобретает наглядность, использование аудиовизуальных средств и применение готовых моделей, изготовленных из картона, пластилина. На уроках учащихся учат находить знакомые им фигуры в окружающей обстановке, видеть их в сложных конфигурациях.

На уроках математики в начальной школе имеют большое значение практические работы: изготовление геометрических фигур, их вычерчивание, вырезание, получение прямого угла перегибанием бумаги, упражнения на формирование навыков работы с наиболее употребляемыми чертёжными инструментами (линейка, угольник, циркуль). Большое внимание уделяется приёму сопоставления и противопоставления фигур.

В начальной школе учащиеся должны уметь:

1 класс:

— изображать прямую, кривую, отрезок, многоугольник;

— находить длину отрезка в см;

— начертить отрезок заданной длины;

— увеличить или уменьшить отрезок на заданное количество см;

— различать углы прямые и непрямые, прямоугольники и квадраты;

— распознавать эти фигуры, называть их и изображать на клеточной бумаге;

2 класс:

— делить отрезок на равные части;

— распознавать и изображать ломаную, окружность, круг, многоугольник;

— измерять длину ломаной.

Характер работ по формированию пространственных представлений во втором классе усложняется, добавляются задачи на деление геометрических фигур на части, упражнения на составление фигур. В 3 классе идёт формирование представления о площади прямоугольника и квадрата. Учащиеся должны знать, что у прямоугольника все углы прямые, а противоположные стороны равны. Учащиеся должны уметь складывать различные фигуры из 2−3 элементарных частей.

Среди задач большинство таких, в которых геометрические фигуры используются для пересчитывания, задачи на деление фигур на части, задачи, связанные с формированием навыков чтения геометрических чертежей с использованием буквенных обозначений; задачи на выяснение геометрической формы предметов и их частей; задачи, развивающие глазомер.

Таким образом, к окончанию начальной школы пространственные представления учащихся становятся более осознанными, полными. Учащиеся, как правило, уже почти свободно ориентируются в пространстве, отмечают направления, определяют положение предметов по отношению к другим предметам, к сторонам горизонта. У них накоплен определённый запас геометрических представлений, терминов. Они могут узнавать пространственный объект в окружающей действительности и находить его графическое изображение. Учащиеся уже могут воспроизвести несложные представления в памяти, в воображении и словесно их описать, а также воспроизвести представления графически в виде предметной модели.

Уроки труда, рисования, математики содержат определённую систему предметов, методов и средств, создающих в уме школьника многообразную категорию пространственных представлений и отношений. Всё это определяет содержание пропедевтической работы учителя по развитию геометрических представлений учащихся начальных классов.

Программа по математики начальных классов уделяет особое внимание развитию конструктивных навыков учащихся, которые будут эффективны лишь при целенаправленном и систематическом их формировании на протяжении всех лет обучения в школе. При правильной постановке преемственности в их развитии, при строгом учёте психологических возрастных особенностей учащихся.

Министерством образования и науки РФ к использованию в образовательном процессе на 2008/2009 учебный год рекомендованы учебники по математике для 5−6 классов следующих авторских коллективов:

1. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд,

2. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович,

3. С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин,

4. В. Г. Дорофеев, С. Б. Суворова, И. Ф. Шарыгин,

1. Н.Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, «Математика: 5 класс», «Математика: 6 класс», Математика 5 класс

Глава 1. Натуральные числа

§ 1. Натуральные числа и шкалы

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник

С практической точки зрения вводится понятие отрезка, как линии, которая соединяет две точки, эти точки называются концами отрезка.

С помощью рисунка вводится понятие лежать между

Сообщается, что отрезки можно сравнивать с помощью измерения и вводятся единицы измерения длины отрезков, которые детям уже известны, фактически идет повторение.

На основе рисунка вводится не только понятие треугольника и его составляющих частей, но понятие многоугольника, по количеству вершин.

Плоскость. Прямая. Луч

Понятие плоскости вводится интуитивно, на основе жизненных примеров: поверхность стола, школьной доски, оконного стекла. Сообщается, что плоскость не имеет края, она безгранично простирается во всех направления.

На основе уже известного понятия отрезка вводится новое понятиепрямая: если отрезок продолжить в обе стороны, то получится прямая. Сообщается, что прямая не имеет концов, неограниченно продолжается в обе стороны.

Сообщается аксиома: через две точки проходит единственная прямая.

Вводится понятие пересечения двух прямых на примере, по рисунку.

Понятие луча вводится на примере по рисунку. Точка О делит прямую на две части, каждую их которых называют лучом. Точка О называется началом лучей. Объясняется как обозначать лучи.

По рисунку вводится понятие дополнительных лучей.

§ 4. Площади и объемы

Площадь. Формула площади прямоугольника

Сначала на конкретной фигуре вводится понятие квадратного сантиметра и вычисляется ее площадь. Затем вводится понятие для площади произвольной фигуры.

Затем приведена словесная формулировка для нахождения площади, а потом уже составляется формула. Весь этот материал известен школьника из начальной школы.

Вводится понятие равных фигур, те, которые можно совместить наложением.

Вводятся некоторые свойства площадей (без доказательств):

1. Площади равных фигур равны. (их периметры тоже равны)

2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей

После знакомства с понятием прямоугольника на его основе вводится понятие квадрата, как прямоугольника, у которого все стороны равны. Затем, вводится формула площади квадрата, после чего объясняется название квадрат числа.

Единицы измерения площадей

Со стандартными единицами измерения и с тем в чем измеряется площадь ученики уже знакомы. На основе знаний об единицах измерения длин отрезков объясняется как переводить одни квадратные единицы в другие.

Площади полей уже известными единицами измерения неудобно измерять. Аналогично вводятся новые единицы измерения: гектар и ар.

Прямоугольный параллелепипед

На основе примеров из жизни: спичечный коробок, деревянный брусок, кирпич — вводится понятие прямоугольного параллелепипеда. Затем вводятся элементы прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, вершины и их количество.

Сообщается, что длину, ширину и высоту параллелепипеда называют его измерениями. После этого вводится понятие куба, как прямоугольного параллелепипеда, у которого все измерения равны.

Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Чтобы сравнить объемы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объемы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объем больше объема второго сосуда. А если заполнить второй сосуд не удастся, то объем первого сосуда меньше объема второго.

Далее структура пункта и введение новых понятий полностью повторяет пункт «Площадь. Площадь прямоугольника» .

§ 5. Обыкновенные дроби

Окружность и круг

Сначала объясняется как с помощью циркуля построить окружность: установим ножку циркуля с иглой в точку О, а ножку с грифелем будем вращать вокруг этой точки. Тогда грифель опишет замкнутую лини, такую линию называют окружностью. Затем на основе готового чертежа вводятся все элементы окружности: круг, радиус, диаметр (и их связь), полукруг, полуокружность, дуга окружности.

§ 8. Инструменты для вычислений измерений

Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

Сразу вводится стандартное (полноценное) определение угла: углом называют фигуру, образованную двумя лучами (стороны угла), выходящими из одной точки (вершина угла).

Затем объясняется правило записи названия угла и приводится несколько вариантов (одной или тремя буквами). Вводится значок для обозначения угла.

По рисунку для точек вводится понятие лежать внутри и вне угла.

Когда рассматривалась тема о площади прямоугольника, сообщалось, что фигуры равны, если их можно совместить наложением. Сообщается, что это применимо для всех фигур и углов в том числе.

Ранее было введено понятие дополнительных лучей, на основе этого понятия вводится понятие развернутого угла: два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла составляют прямую линию, на которой лежит вершина угла.

С помощью практического объяснения вводится понятие прямого угла: согнем два раза пополам лист бумаги, а потом развернем его. Линии сгиба образуют 4 развернутых угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.

Далее проводится «знакомство» с новым чертежным инструментом: чертежный треугольник, как инструмент для построения прямых углов. И приводится план построения прямого угла:

1. Расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпадала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;

2. Провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.

В результате получим прямой угол АОВ.

Измерение углов. Транспортир

Проводится «знакомство» с новым инструментом, предназначенным для измерения углов.

Шкала транспортира располагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен на транспортире черточкой.

Штрихи транспортира делят полуокружность на 180 долей.

Лучи, проведенные из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен 1/180 доле развернутого угла. Такие углы называют градусами.