Свободные колебания под действием силы упругости

Изучение темы начинаем с рассмотрения двух-трех примеров колебательных систем, находящихся под действием упругих сил. Учащиеся убеждаются в том, что эти колебания быстро прекращаются. Выясняем причины затухания колебаний.

Поскольку перед учащимися в начале изучения колебаний была поставлена общая проблема — получение уравнений колебаний при каждом типе взаимодействия, которая повторяется в начале изучения и данной темы, учащиеся самостоятельно высказывают предположение, что для получения уравнения колебаний под действием силы упругости необходимо изучить некоторую идеальную модель колебательной системы, находящуюся под действием силы упругости. Уже на стадии проведения идеализации колебательной системы у учащихся возникает проблемная ситуация, анализ которой проводится на основе демонстрационного эксперимента. Обсуждение вопросов должно подвести учащихся к необходимости вспомнить определение колебательной системы с соответствующими уточнениями: любая колебательная система характеризуется инертными свойствами — массой и свойствами, относящимися к возвращающей силе, в данном случае — силе упругости. В реальных колебательных системах оба свойства пространственно не разделены. Например, зажатая в настольных тисках стальная пластина имеет распределенную по всему колеблющемуся объему массу, в то же время возвращающая сила есть сила упругого взаимодействия между деформированными элементами всей пластины. Получение точных количественных закономерностей между изучаемыми величинами для реальных колебательных систем затруднено.

Такой детальный анализ изучаемых явлений и жизненный опыт учащихся позволяют им высказать предположение, что в рассматриваемом случае идеализация должна преследовать цель: инертные свойства системы (мера — масса) должны быть сосредоточены в небольшом объеме так, чтобы деформация ее не оказывала влияния на характер процесса; упругие свойства определялись бы полностью другим элементом системы, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой всей системы. Таким образом, учащиеся сами приходят к определению пружинного маятника: колебательной системы, состоящей из точечной массы, прикрепленной к свободному концу упругой пружины небольшой массы.

Далее говорим, что в опытах вместо идеального пружинного маятника берут закрепленную одним концом упругую пружину с прикрепленным к свободному концу массивным телом. Такая система с большой точностью позволяет пронаблюдать на опыте закономерности колебаний идеального пружинного маятника. Следует обратить внимание учащихся на то, что закон колебаний пружинного маятника не меняется от того, рассматриваются ли колебания в вертикальной или горизонтальной плоскости. Для получения уравнения колебаний пружинного маятника методически оправданным является рассмотрение колебаний маятника в горизонтальной плоскости. Связано это с тем, что при рассмотрении колебаний пружинного маятника в вертикальной плоскости появляется необходимость учитывать постоянную по значению силу тяжести груза, за счет которой смещается положение устойчивого равновесия системы. Говорить обо всем этом учащимся на стадии получения уравнения движения нецелесообразно. Однако этот вопрос нельзя оставить без внимания. Поэтому после получения уравнения движения пружинного маятника в горизонтальной плоскости учащимся на дом задается задача: получить уравнение движения пружинного маятника, колеблющегося в вертикальной плоскости.

Задача эта носит проблемный характер. Ее решение позволяет учащимся сделать вывод не только об аналогичности уравнений движения в двух разных случаях, но также убедиться в том, что сила тяжести в данном случае не оказывает влияния на закономерность протекания процесса. Этот вывод позволяет еще раз обратить внимание учащихся на то, что пружинный маятник колеблется исключительно за счет внутренних сил упругости системы «груз — пружина».

В начале изучения вопроса учащимся сообщается, что в общем случае уравнение движения пружинного маятника имеет сложный вид. Как и в случае математического маятника, в целях упрощения решения задачи мы ограничиваемся колебаниями с малой амплитудой. Этому требованию отвечают колебания под действием силы, пропорциональной деформации пружины, т. е. в пределах справедливости закона Гука.

Затем на демонстрационном столе устанавливается груз на пружине, колебания которого могут происходить лишь в горизонтальной плоскости. После качественного рассмотрения динамики процесса переходим к получению закона колебаний пружинного маятника (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Пружинный маятник.

Отклоним массу т из положения равновесия. В пределах упругости пружины на массу действует сила, параллельная оси Ох и пропорциональная деформации пружины. Следовательно, F = -кх (к — жесткость пружины). Уравнение движения тела в направлении оси ОХ имеет вид тх" = -кх, или.

На основе полученного уравнения делаем вывод, что малые свободные колебания, происходящие в изолированной системе под действием силы упругости, совершаются с ускорением, пропорциональным смещению и направленным к положению равновесия.

Вновь обращаемся к знаниям учащихся с целью актуализации содержания той проблемы, которая была поставлена в начале изучения рассмотренных вопросов. Сравнивая уравнения (3.4) и (3.5), учащиеся приходят к выводу: малые свободные колебания математического и пружинного маятников подчиняются одинаковым количественным закономерностям. В частности, из этих уравнений следует, что характерной особенностью свободных колебаний является постоянство отношения ускорения к смещению системы от положения равновесия в любой момент времени. Иными словами, физическая природа сил, под действием которых происходят малые свободные колебания в изолированных механических системах, не влияет на характер протекания колебательного процесса.

Этим выводом заканчивается важный этап формирования понятия «свободные колебания». На нем раскрывается динамика колебательного процесса, позволяющая после ознакомления и выделения особенностей колебательного движения выяснить физику изучаемых явлений.