Представление эллиптической функции в виде отношения произведений элементарных множителей

В предыдущем пункте мы получили формулу, изображающую эллиптическую функцию в виде суммы простейших элементов, которая может быть рассматриваема как аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби. Мы выведем теперь другую формулу, при помощи которой можно представить всякую эллиптическую функцию; эта формула будет аналогична представлению рациональной функции в виде дроби, числитель и знаменатель которой разложены на линейные множители.

Пусть f (z) есть эллиптическая функция, имеющая в параллелограме периодов нули в точках а_1э а._" а, и полюсы в точках р₂, …, причём эти точки могут быть различными или частично совпадающими (в случае кратных нулей или полюсов).

В силу § 1, п. 3, имеем:

Примем вместо число тогда, очевидно, будет Образуем теперь выражение.

которое будет представлять мероморфную функцию с нулями в точках а_к и им эквивалентных и с полюсами в точках ^ и им эквивалентных.

Покажем, что F (z) есть эллиптическая функция с основными периодами 2(о и 2а/. В самом деле, воспользовавшись свойствами функции з, выражаемыми формулами (32), имеем:

где

и, значит,

Итак, две эллиптические функции f (z) и F (z) с одними и теми же периодами имеют в параллелограме периодов одни и те же нули и полюсы, одинаковой кратности, а потому они могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем (§ 1, и. 3). Следовательно, имеем:

Постоянное С определяется либо путём задания функции / {г) в точке, не являющейся её нулём или полюсом, либо посредством разложения в ряды левой и правой частей и отожествления соответствующих членов.

Очевидно, из доказательства вытекает, что, обратно, всякое выражение вида (37) всегда изображает эллиптическую функцию порядка s с нулями в точках a_t, а₂,…, о* и полюсами в точках p_t, j$₂,…" если оц, Og,…, а_5% {?, j$₂,…, — любые точки (частично совпадающие или все различные) параллелограма периодов, а.

В качестве приложения выведенной формулы (37) рассмотрим функцию ^ (z) — ф (и), имеющую полюс второго порядка в точке z=:0 и нули при z = ±u. Следовательно, по формуле (37) имеем:

Чтобы определить постоянную С, рассмотрим разложения обеих частей в ряды по степеням z, а затем сравним коэффициенты при ~. Имеем:

Поэтому коэффициент при в правой части будет равен — Сз² (и) а в левой он равен 1. Отсюда следует, что и, значит,