Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе

• Введение
• Глава I. Теоретические основы изучения темы математического анализа «Функциональные последовательности и ряды»
• § 1. Определения функциональной последовательности и функционального ряда
• § 2. Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов
• § 3. Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности
• § 4. Определения равномерной сходимости функциональных рядов
• § 5. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
• § 6. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда
• § 7. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)
• § 8. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов
• § 9. Почленное интегрирование функциональных рядов
• § 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов
• Глава II. Психолого-педагогические аспекты и методические рекомендации изучения темы математического анализа. «Функциональные последовательности и ряды»
• § 1. Психолого-педагогические аспекты образования в высшей школе
• § 2. Содержание учебного материала по теме: «Функциональные ряды»
• § 3. Тематическое планирование учебного материала по теме. «Функциональные последовательности и ряды»
• § 4. Методические рекомендации по проведению лекционных занятий
• § 5. Использование ТСО на лекционных занятиях
• § 6. Методические рекомендации по проведению практических занятий
• § 7. Электронное пособие по теме «Функциональные последовательности и ряды»
• § 8. Разработка практических занятий
• Практическое занятие № 1
• Тема: «Функциональные последовательности и ряды»
• Практическое занятие № 2
• Тема: «Равномерно сходящиеся функциональные последовательности и ряды»
• Практическое занятие № 3
• Тема: «Интегрирование и дифференцирование функциональных
• последовательностей и рядов»
• Заключение
• Список литературы

Образование в XXI веке превратилось в одну из важнейших отраслей человеческой деятельности, оно охватывает буквально все общество и интенсивно реформируется, меняется содержание знаний, идет активное его приращение; растут потребности в конкретных видах знания. Таким образом учебный процесс в высшей школе стал более сложным по своим задачам, интенсивности и содержанию. Реформа Российского образования в высшей школе заключается в том, что к традиционно изучаемым курсам добавляются новые. Это ведет к сокращению аудиторных часов, предназначенных для изучения базовых дисциплин математического блока — математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры.

Поэтому встает вопрос об интенсификации учебного процесса за счет обновления всех его сторон — содержания, форм, методов и внедрения новейших информационных технологий.

Тема «Функциональные последовательности и ряды» в курсе математического анализа считается довольно сложной для изучения. Однако анализ соответствующей литературы показал, что ни один источник не может представить целостной системы теории функциональных последовательности и ряда. Это и определяет актуальность теоретических и практических исследований по данной теме.

Объектом исследования является процесс изучения раздела математического анализа «Последовательности и ряды» в педагогических вузах.

Предмет исследования — методика изучения темы «Функциональные последовательности и ряды» в педагогических вузах на математических факультетах.

Научная проблема исследования заключается в поиске наиболее общих закономерностей при изучении выше указанного вопроса.

функциональный ряд последовательность интегрирование Цель данной работы состоит в исследовании функциональных последовательностей и рядов, а также разработке методики их изучения в педагогическом вузе.

Гипотеза исследования состоит в том, что материалы выпускной квалификационной работы будут способствовать более эффективному изучению данной темы студентами математических факультетов педагогических вузов во время аудиторных занятий и при самостоятельной подготовке к занятиям.

Для успешной реализации поставленной цели необходимо было решение следующих задач:

Разработать и обосновать методику изучения темы «Функциональные последовательности и ряды» .

Создать электронное пособие, способствующее более эффективному изучению вышеуказанной темы.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

Теоретический анализ проблемы определения основных положений исследования.

Анализ психолого-педагогической, математической, методологической литературы, учебных пособий и периодических изданий, работ по истории математики, учебных программ.

Изучение методического опыта преподавателей.

Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны и проверены:

Учебные материалы для изучения темы «Функциональные последовательности и ряды» в высшем учебном заведении педагогической направленности.

Учебно-методическое пособие, представляющее собой электронный учебник по данной теме.

Методические рекомендации для преподавателей вузов педагогического профиля по организации обучения соответствующего раздела математического анализа.

Глава I. Теоретические основы изучения темы математического анализа «Функциональные последовательности и ряды»

§ 1. Определения функциональной последовательности и функционального ряда

Опр.1. Пусть дана последовательность функций:, причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области. Такая последовательность называется функциональной и обозначается: .

Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения. Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от, т. е. .

Опр.2. Функция называется предельной функцией последовательности .

Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении, но и функциональные свойства предельной функции.

Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной, заданной в области :

.

Такой ряд называется функциональным рядом.

Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция принимает числовое значение. Поэтому при каждом из X функциональный ряд превращается в числовой ряд, а о сходимости числовых рядов подробно описано в.

Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном из, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x:. Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового:. Здесь — частичная сумма функционального ряда n-го порядка

.

Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Пример № 1. Найти область сходимости ряда

.

Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:

Следовательно, при данный ряд сходится абсолютно, а при расходится.

Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и .

При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:

которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.

Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.

§ 2. Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Опр.5. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции, если

.

Опр.6. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция, в которой она равномерно сходится на множестве X. Обозначение:

[14].

§ 3. Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности

Перепишем неравенство опр.5 в виде двойного неравенства:

.

Это означает, что график функций целиком располагается в полосе шириной, и функции и получены смещением функции вверх и вниз на величину.

Рис. 1.

Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды.

§ 4. Определения равномерной сходимости функциональных рядов

Опр.7. Если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится к функции на множестве X, то ряд равномерно сходится на множестве X.

Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального

ряда на некотором отрезке .

Пусть функциональный ряд сходится на отрезке к функции и — какое-нибудь значение из области сходимости, причем .

Тогда числовой ряд

сходится и его сумма равна, т. е.

=

Представим это равенство в виде

=,

где — n-я частичная сумма; - остаток ряда.

Тогда,

.

Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер также зависит как от, так и от значения из области сходимости:. Однако, для функционального ряда число может и не зависеть от, т. е. это число будет одно и тоже для каждого значения, принадлежащего области сходимости.

Опр.8. Функциональный ряд, сходящийся на отрезке, называется равномерно сходящимся, если для любого существует такой номер, не зависящий от, что при, каково бы ни было.

Пример № 2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму. При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид Очевидно, что. Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство, нужно положить, откуда или .

Пусть — ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом. Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число, зависящее от, что при. Для каждого заданного можно найти соответствующее, определяемое отношением. Однако если, меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число — неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер, что при. Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на, где — положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом.

§ 5. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность S_n (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0, , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций S_n (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х — область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N,,, N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности S_n (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т. е. 0 (), N,,: .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

Следовательно, 0,,, N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N,, N:. Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Так как по условию достаточности выполняется неравенство, то какое бы х из Х не было взято, функциональная последовательность будет числовой последовательностью, а для числовой последовательности выполняется критерий Коши сходимости числовой последовательности, который утверждает, что эта последовательность сходится.

3) Значит, у функциональной последовательности существует конечный предел, а это доказывает существование предельной функции для функциональной последовательности:. Кроме того, .

А это означает, что функциональная последовательность будет сходиться на множестве Х, так как будет выполняться неравенство:, перейдем к пределу при, а n-const, получим: — условие равномерной сходимости функциональной последовательности по определению.

Теорема доказана.

§ 6. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы 0, N,, , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство

1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :

.

2) Если будут выполняться неравенства:, то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.

Теорема доказана.

§ 7. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)

Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный, элементами которого являются функции, определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд. Тогда, если для всех выполняется неравенство, то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.

Доказательство:

Пусть выполняются все условия теоремы.

Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т. е. или .

Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:

По условию теоремы выполняется неравенство:. Поэтому, при выполняется и такое неравенство: .

Если, то неравенство примет вид: (с учетом пункта 2). По свойству транзитивности — это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при. Значит, функциональный ряд будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд сходится.

Докажем равномерность сходимости функционального ряда. Из неравенства и, используя свойства модуля суммы двух действительных чисел () можно переписать это неравенство так:

.

По свойству транзитивности: — условие равномерности сходимости функционального ряда на множестве Х.

Теорема доказана.

Замечание. Положительный сходящийся числовой ряд, связанный с функциональным рядом, называется мажорантным или мажорирующим.

Пример № 3: Доказать, что функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на всей числовой прямой.

Решение

1) Так как, N, R, то в качестве мажорантного ряда выберем при R.

2) Cравним общие элементы функционального и числового рядов:, при R. Следовательно, сходится абсолютно и равномерно на R, так как — положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с). Замечание. Признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости функционального ряда.

§ 8. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть — частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке, как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции, то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел, получим:

.

Следовательно, — условие непрерывности функции в точке .

Теорема доказана.

Замечание

1) Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде:

или ,

так как ,

его сумма ,

следовательно, .

2) Так как каждая функция непрерывна в точке, то для любой функции можно написать утверждение:, следовательно,. Таким образом, предел от функционального рядаравен сумме пределов его элементов.

Известно, что если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве. Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей.

Теорема 5. Если функции, N непрерывны в точке и равномерно сходятся к функции на множестве Х, то и функция непрерывна в точке и выполняется равенство: (предельные переходы по х и по n перестановочны).

Доказательство

Так как функции равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: .

Функция является непрерывной в точке множества Х на основании теоремы 4. Так как непрерывна в точке, то можно записать следующее утверждение: (определение 1 непрерывности функции в точке).

Используя равенство пункта 1, подставим вместо левую часть утверждения .

Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке, то на основании определения 1 непрерывности функции в точке можно записать .

Перейдем к пределу при в последнем равенстве:

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции, то верно следующее утверждение:

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана.

§ 9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции, то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу, причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т. е., то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на, то она интегрируема на указанном отрезке, т. е. существует определенный интеграл

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на, то получим неравенство:

что равносильно выражению

но, поэтому

.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к, т. е. справедлива

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т. е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на, то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции, т. е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

§ 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов

Теорема 7. Пусть последовательность функций, непрерывно дифференцируемых на, и последовательность их производных равномерно сходятся на, тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций, т. е., непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:

или

.

Доказательство

Обозначим через предельную функцию последовательностей функций: .

По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на .

На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на, следовательно, она будет интегрируема на, т. е. существует, он будет равен (на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).

По свойству определенного интеграла:, правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: (на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция дифференцируема для .

Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна .

В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на, то она на нем интегрируема, т. е. существует. Следовательно, функция непрерывна в каждой точке .

Из пунктов 4),

5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на и функциональные ряды: равномерно сходятся на. Тогда сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:

=

(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).

Доказательство

Обозначим предел частичных сумм, т. е. для функционального ряда. По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций. На основании только что доказанной теоремы и функция непрерывно дифференцируема, т. е.. Последнее равенство можно переписать по-другому:

.Теорема доказана.

Глава II. Психолого-педагогические аспекты и методические рекомендации изучения темы математического анализа. «Функциональные последовательности и ряды»

§ 1. Психолого-педагогические аспекты образования в высшей школе

В настоящее время нет, пожалуй, более спорной проблемы в педагогике и психологии высшей школы, чем проблема воспитания студентов. Вуз служит не только и может быть не столько для передачи специальных знаний, сколько для развития и воспроизведения особого культурного слоя, важнейшим элементом которого является и сам специалист. Специалиста как представителя определенной культуры характеризует не только специфический набор знаний и умений, но и определенное мировоззрение, жизненные установки и ценности, особенности профессионального поведения и т. п. Поэтому он не только передает студенту знания и профессиональные умения, а приобщает его к определенной культуре, и чтобы эта культура развивалась и воспроизводилась, необходимы живые люди, живое человеческое общение.

Воспитывать — это в значительной степени означает строить систему взаимоотношений между людьми. В современной педагогике (а также в психологии) начинает преобладать подход к воспитанию не как к целенаправленному формированию личности, в соответствии с выбранным идеалом, а как к созданию условий для саморазвития личности. Ведь уникальность и неповторимость каждой личности составляют богатство всего общества, и всякое искусственное ограничение свободного проявления и развития личности подрывает ее творческие потенции.

В своем развитии личность стремится выйти за пределы самое себя, стремится к росту, направление которого воспитатель не может предугадать заранее и он не имеет права принимать сколько-нибудь ответственные решения за воспитуемого, какими бы само собой разумеющимися эти решения не казались ему. Самый главный прием воспитания — это принятие человека таким, какой он есть, без прямых оценок и наставлений. Только в этом случае будет сохраняться у воспитателя контакт с воспитуемым, что является естественным условием плодотворного взаимодействия обоих участников воспитательного процесса.

Главная задача воспитателя — раскрыть перед воспитуемым широкое поле выборов, которое часто не открывается самим ребенком, подростком, юношей из-за его ограниченного жизненного опыта, недостатка знаний и неосвоенности всего богатства культуры. Раскрывая такое поле выборов, воспитатель не должен, да и не может скрыть своего оценочного отношения к тому или иному выбору. Следует избегать только слишком однозначных и директивных способов выражения этих оценок, всегда сохраняя за воспитанником право на самостоятельное принятие решения, в противном случае ответственность за любые последствия принятых решений он с себя снимет и переложит на воспитателя.

Другое принципиальное требование к организации процесса воспитания — неизменно уважительное отношение к личности воспитуемого как полноценного и равноправного партнера любой совместной деятельности. Идея равенства, партнерства и взаимного уважения друг к другу лежит в основе так называемой педагогики сотрудничества, принципы которой совершенно неоспоримы в вузовском обучении. Как утверждают многие крупные ученые и педагоги, основатели больших научных школ, наибольший учебный и воспитательный эффект достигается в таких ситуациях, когда учитель и ученик вместе решают задачу, ответ на которую не знает ни тот, ни другой. В этом случае феномен партнерства и сотрудничества выражен максимально.

Другая важнейшая задача воспитания — помощь воспитуемому в выработке индивидуального стиля жизни, индивидуального стиля деятельности и общения. Для решения такой задачи преподавателю необходимо владеть некоторыми навыками и методиками психодиагностики, а также вооружить студентов приемами самопознания. Важнейшее значение имеет знание психологических и психофизиологических особенностей студентов, определяемых их социальным статусом, возрастом и характером основной деятельности.

Способность знать и понимать студентов, адекватно оценивать их личностные качества и состояния считается одним из важнейших профессиональных качеств преподавателя и ставится на второе место после знания предмета. Но преподаватели, как правило, прикладывают очень мало усилий, чтобы повысить свою подготовку в этой области, хотя постоянно стремятся обновить и пополнить свои специальные (предметные) знания.

Для того чтобы при построении программы учесть возможности и потребности студентов, нужно хорошо их знать. Успешная учебная деятельность студента зависит не только от степени владения приемами интеллектуальной деятельности; она обусловлена также личностными параметрами учебной деятельности — устойчивой системой отношений студента к окружающему миру и к самому себе.

Необходимо учитывать возрастные особенности и индивидуальные различия студентов в воспитательно-образовательном процессе вуза. Современные студенты — это прежде всего молодые люди в возрасте 18−25 лет. Этот возраст определяется как поздняя юность или ранняя зрелость. Отсутствие единого термина уже говорит о сложности, неоднозначности психологических характеристик этого периода жизни. Очень важно иметь в виду, что ни одну сторону жизни человека нельзя понять в отрыве от других сторон. Возьмем, например, такой параметр, как физическое развитие молодых людей. Студенческий возраст совпадает с периодом достижения человеком физического совершенства. Большинство спортивных рекордов установлено именно в этом возрасте. Однако, как свидетельствуют данные Всемирной организации здравоохранения, именно студенты характеризуются худшими показателями физиологических функций в своей возрастной группе. Причины этого, как показывают исследования, кроются в том, что в процессе вузовского обучения студенты испытывают сильное психическое напряжение, часто разрушительное для здоровья.

Преподаватель должен учитывать, что эти нагрузки особенно велики в периоды контроля и оценивания. Но именно здесь часто совершается одна из грубейших педагогических ошибок: негативную оценку результатов усвоения учебной программы преподаватель переносит на оценку личности студента в целом, давая студенту знать с помощью мимики, жестов, а то и в словесной форме, что он неумен, ленив, безответствен и т. п. Заставляя студента переживать негативные эмоции, преподаватель оказывает прямое влияние на физическое состояние и здоровье студента.

Учеба в вузе требует больших затрат времени и энергии, что обуславливает некоторую задержку социального становления студентов по сравнению с другими группами молодежи. У преподавателей создается ошибочное представление о студентах как социально незрелых личностях, нуждающихся в постоянной опеке, снисходительном отношении. Сам того, не осознавая, преподаватель в этом случае как бы ограничивает уровень, до которого студент, по его представлению, может развить свои личные качества, в данном случае ответственность, инициативность, самостоятельность. А человеку свойственно легко адаптироваться к заниженным требованиям: в этих условиях способности студента не только не развиваются, но и часто деградируют.

Отношение же педагога к студенту как к социально зрелой личности, на-против, как бы отодвигает планку, раскрывает новые горизонты, тем самым не ограничивая возможности развития личности, а усиливая их своей верой, внутренней поддержкой.

Как правило, именно в студенческом возрасте достигают максимума в своем развитии как физические, так и психологические свойства, и высшие психические функции: восприятие, внимание, память, мышление, речь, эмоции и чувства. Этот факт позволил Б. Г. Ананьеву сделать вывод о том, что этот период жизни максимально благоприятен для обучения и профессиональной подготовки, так как происходит активное формирование индивидуального стиля деятельности. Преобладающее значение в познавательной деятельности начинает приобретать абстрактное мышление, формируется обобщенная картина мира, устанавливаются глубинные взаимосвязи между различными областями изучаемой реальности.

Если преподаватель не развивает именно эти способности, у студента может закрепиться навык полумеханического запоминания изучаемого материала, что ведет к росту показной эрудиции, но тормозит развитие интеллекта. Результаты специальных обследований показывают, что у большинства студентов уровень развития таких интеллектуальных операций, как сравнение, классификация, определение весьма невысок. Преподавателю зачастую приходится прилагать большие усилия, чтобы преодолеть школярское отношение к учебе: ориентацию только на результат интеллектуальной деятельности и равнодушие к самому процессу движения мысли.

Лишь немного более половины студентов повышают показатели интеллектуального развития от первого курса к пятому, и как правило такое повышение наблюдается лишь у слабых и средних студентов, а лучшие студенты часто уходят из вуза с тем же уровнем интеллектуальных способностей, с которым пришли.

Важнейшая способность, которую необходимо приобрести студенту в вузе, — это собственно способность учиться, которая радикальным образом скажется на его профессиональном становлении, так как определяет его возможности в послевузовском непрерывном образовании. Научиться учиться важнее, чем усвоить конкретный набор знаний, которые в наше время, как известно, быстро устаревают. Еще важнее уметь самостоятельно добывать знания, основанное на творческом мышлении.

Предложенные ниже рекомендации способствуют развитию творческого мышления в процессе обучения в вузе:

Одно из самых первых педагогических требований, предъявляемых к процессу обучения с точки зрения развития творческого мышления состоит в том, чтобы никогда не подавлять интуицию ученика.

Вторая рекомендация состоит в формировании у студентов уверенности в своих силах, веры в свою способность решить задачу.

В процессе обучения желательно в максимальной степени опираться на положительные эмоции.

Необходимо всемирно стимулировать стремление учащегося к

самостоятельному выбору целей, задач и средств их решения.

Следует в довольно широких пределах поощрять склонность к рис кованному поведению.

Важнейшая задача — не допускать формирования конформного мышления, бороться с соглашательством и ориентацией на мнение большинства.

Развивать воображение и не подавлять склонность к фантазированию, даже если оно иногда граничит с «выдаванием» выдумки за истину.

Формировать чувствительность к противоречиям умение обнаруживать и сознательно формировать их.

Чаще использовать в обучении задачи так называемого открытого типа, когда отсутствует одно правильное решение, которое остается только найти или угадать.

Шире применять проблемные методы обучения, которые стимулируют установку на самостоятельное или с помощью преподавателя открытие нового знания, усиливает веру студента в свою способность к таким открытиям.

Весьма полезным для развития творческого мышления является обучение специальным эвристическим приемам решения задач раз

личного типа.

Важнейшим условием творчества студентов является совместная с преподавателем исследовательская деятельность.

И наконец, самая главная, тринадцатая заповедь, — всячески поощрять стремление человека любого возраста быть самим собой, его умение слушать свое «Я» и действовать в соответствии с его «советами». Для этого на всех этапах обучения преподаватель должен не просто декларировать свое уважение к личности ученика, но и реально чувствовать, переживать непреходящую и ни с чем не сравнимую ценность каждой живой личности.

§ 2. Содержание учебного материала по теме: «Функциональные ряды»

Содержание лекционных занятий

Основные понятия (функциональная последовательность, функциональный ряд, область сходимости функционального ряда, предельная функция, равномерно сходящиеся функциональные последовательность и ряд, мажорантный ряд);

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда;

Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса);

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов;

Теорема о почленном интегрировании функциональных последовательностей и рядов;

Теорема о почленном дифференцировании функциональных последовательностей и и рядов.

Содержание практических занятий

Основные понятия (функциональная последовательность, функциональный ряд, сходимость функционального ряда, область сходимости функционального ряда);

Основные понятия (равномерно сходящийся функциональный ряд, мажорантный ряд);

Признак Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходтмости функционального ряда;

Свойства равномерно сходящихся функцинальных последовательностей и рядов;

Почленное интегрирование функциональных последовательностей и рядов;

Почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

§ 3. Тематическое планирование учебного материала по теме. «Функциональные последовательности и ряды»

Тема «Функциональные последовательности и ряды» входит в четвертый раздел математического анализа «Ряды», включающего:

Числовые ряды;

Функциональные ряды;

Степенные ряды.

Примерный тематический план по теме «Ряды»

Тема «Функциональные последовательности и ряды» включает вопросы:

Функциональные последовательности и ряды;

Равномерно сходящиеся функциональные последовательности и ряды;

Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

Основная цель — ознакомить студентов с фундаментальными понятиями функционального ряда, признаками сходимости и свойствами функциональных рядов.

Примерный тематический план по теме «Функциональные последовательности и ряды»

Тематическое планирование лекций по теме: «Функциональные последовательности и ряды»

Тематическое планирование практических занятий по теме: «Функциональные ряды»

§ 4. Методические рекомендации по проведению лекционных занятий

Курс «Математический анализ» входит в блок дисциплин предметной подготовки и занимает важное место среди них в процессе подготовки будущих педагогов — математиков.

Целью курса является научное обоснование тех, относящихся к нему понятий, первое представление о которых дается в школе. Курс математического анализа имеет также общеобразовательное и прикладное значение: многие вопросы содержат материал, способствующий формированию правильного представления о современной естественно-научной картине мира.

Материал, подлежащий изучению по курсу «Математический анализ» распределен на 4 семестра, он содержит лекционный материал, практические занятия, коллоквиумы и контрольные работы. В систему подготовки студентов входят также курсовые работы в седьмом семестре. Лектору с согласия кафедры предоставляется право изменять последовательность прохождения отдельных тем, выбирать методы изложения вопросов курса и распределять время на их прохождение.

Лекционный курс позволяет изложить материал, входящий в содержание курса и создает теоретическую основу для всех видов учебной деятельности по математическому анализу. Коллоквиумы обеспечивают контроль усвоения студентами части лекционного материала.

Резкое сокращение аудиторного времени на изучение курса «Математический анализ» ставит задачу усиления самостоятельной работы студентов по проработке важнейших разделов курса. На лекции преподаватель может успеть лишь в тезисной форме изложить основные вопросы курса. Все остальное изучение материала ложится на плечи студентов в виде их самостоятельной работы.

В процессе изучения курса предусматриваются следующие виды самостоятельной работы студентов над изучаемым материалом:

1) проработка и осмысление лекционного материала;

2) работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу;

3) подготовка к практическим занятиям по рекомендуемой литературе.

Ряд тем и вопросов курса отведены для самостоятельной проработки студентами. Количество и содержание этих вопросов зависит от степени усвояемости студентами лекционного материала. Если лектор чувствует, что материал лекции хорошо понимается и усваивается аудиторией достаточно, то сложность лекции можно повысить, а темп чтения можно ускорить, чтобы дать студентам больше интересного материала, что может несколько сократить объем самостоятельной работы.

С другой стороны у лектора появляется возможность расширить круг изучаемых проблем, дать на самостоятельную проработку новые интересные вопросы. Студент должен изучить эти вопросы, используя литературу по математическому анализу, имеющуюся в наличии в библиотеке педагогического вуза, и изложить кратко и доступно для себя основное содержание материала. Преподаватель проверяет качество усвоения самостоятельно проработанных вопросов на практических занятиях, контрольных работах, коллоквиумах и во время экзамена. Затем корректирует изложение материала и нагрузку на студентов.

Таким образом, использование самостоятельной работы студентов дает возможность значительно активизировать их работу над материалом курса и повысить уровень их усвоения.

В ходе выполнения данной выпускной квалификационной работы по теме «Функциональные последовательности и ряды» были разработаны фондовые лекции. Теоретический материал, содержащийся в них, является необходимым и достаточным для изучения данной темы. Опираясь на фондовые лекции и учитывая, насколько хорошо студенты усваивают материал, преподаватель может решать, что рассматривать на лекции, а что предложить студентам для самостоятельного изучения.

Был создан и электронный конспект фондовых лекций, который может использоваться студентами для подготовки к лекционным и практическим занятиям, коллоквиумам, контрольным работам, ректорским контрольным работам, к текущему экзамену за семестр и государственному экзамену.

Электронный конспект фондовых лекций набран в программе WORD 14-м шрифтом, что обеспечивает удобство при работе с информацией.

Файл с конспектом лекций помещен на сайт ИВЦ. Таким образом, студентам предоставлена возможность с помощью локальной сети ИВЦ ознакомиться с фондовыми лекциями по теме «Функциональные последовательности и ряды» в компьютерных залах №№ 4, 16, 24. Студенты имеют возможность скопировать информацию на гибкомагнитный диск и изучить ее на компьютере вне института, например, дома. Кроме того, студенты могут распечатать конспект фондовых лекций в ИВЦ, что также позволит усваивать учебный материал в удобное для них время.

Для удобства демонстрации материала на лекционных занятиях с помощью информационных технологий, текст лекций был набран также и 36-м шрифтом.

§ 5. Использование ТСО на лекционных занятиях

Среди разнообразных методов и средств совершенствования процесса обучения в высшей школе, а также интенсификации и повышения эффективности учебной деятельности важное место отводится использованию технических средств обучения (ТСО).

ТСО — это совокупность технических устройств и дидактических материалов, используемых в учебном процессе в качестве средства повышения эффективности обучения. Ни отдельное устройство, ни дидактический материал, взятые сами по себе, не могут выступать как технические средства обучения, становятся таковыми в результате их «соединения» .

На лекционных занятиях целесообразно использовать технические средства предъявления информации (ТСПИ). К таким ТСПИ относятся следующие технические устройства: графопроектор, видеопроектор, учебное телевидение (телевизор, компьютер), ПО ЭВМ.

Вся вышеперечисленная аппаратура составляет материально-техни-ческую базу факультета математики и информатики СГПИ и является доступной для преподавателей факультета.

Но не только свободный доступ к этим средствам обучения обуславливает их использование в учебном процессе. Каждое из них имеет свои технические характеристики, которые позволяют с разной степенью эффективности предъявлять информацию. Преимущества и недостатки графопроектора и видеопроектора были выявлены преподавателями вуза при проведении лекций в течение длительного срока.

В последние годы все более прочные позиции завоёвывает учебное телевидение как одно из основных технических средств предъявления учебной информации. Подключение телевизоров к компьютеру позволяет выводить на их экраны изображение с экрана дисплея. Таким образом, информация, предъявляемая на лекциях, может храниться на дискетах и дисках. Это создаёт большие преимущества компьютеру перед другими средствами обучения — огромная информационная ёмкость видеодиска, высокое качество воспроизведения на экране телевизоров, возможность организации управления выводом нужных кадров, малое время поиска кадров.

В ходе исследования был создан электронный конспект фондовых лекций по теме «Функциональные последовательности и ряды», предназначенный для демонстрации материала при проведении лекционных занятий, по содержанию не отличается от электронного конспекта фондовых лекций для подготовки к лекционными практическим занятиям, коллоквиумам, контрольным работам, к текущему экзамену за семестри государственному экзамену, но текст набран 36-м шрифтом, что обеспечивает студентам возможность воспринимать материал без лишнего напряжения, позволяет сделать процесс обучения более эффективным.

Материалы фондовых лекций по вышеуказанной теме в электронном виде были продемонстрированы студентам второго курса факультета математики и информатики СГПИ в осеннем семестре 2003;2004 учебного года. Лекции проводились с применением аудиторного телевизионного комплекса в большой поточной аудитории, рассчитанной на 120 человек. Используемый комплекс включал в себя два телевизора Samsung с диагональю 72 см и компьютер P-III в комплекте с дисководом и CD-ROMом.

Эффективность и удобство использования данных ТСПИ при проведении лекций очевидна: преподаватель видит лекции перед собой на экране дисплея компьютера и с помощью мышки или клавиатуры может передвигаться вверх и вниз страницы, в начало и в конец лекции с нужным темпом; преподаватель обращён лицом к аудитории — поддерживается контакт со студентами, появляется возможность подробных комментарий, а также постоянного контроля дисциплины; хорошая освещённость аудитории создаёт благоприятные условия; студенты, не успевающие записывать лекцию со слов преподавателя, могут переписывать лекционный материал с экранов телевизоров, не переспрашивая и не отвлекая вопросами преподавателя от хода его мыслей — тем самым экономится время, которое может быть использовано для контроля знаний; студенты, пропустившие лекции по уважительной причине, могут попросить преподавателя скопировать нужные лекции на их дискеты и затем распечатать их.

Необходимо отметить, что неотъемлемой частью проведения таких лекционных занятий является тщательная подготовка к ним, исключающая всякого рода неполадки и «накладки» .

Поэтому преподавателю необходимо зараннее проверить исправность и качество работы технических средств, произвести расстановку телевизоров и подобрать размер шрифта таким образом, чтобы текст лекции хорошо просматривался с экранов телевизоров из любой точки аудитории. И уже непосредственно перед началом лекции производится подключение компьютера к телевизорам, активизация дискеты с текстом лекции и поиск нужных кадров. приходится порой брать на себя дополнительные функции по обеспечению внешних условий своей деятельности, без которых применение ТСО невозможно.

При хорошей подготовке и исключении «накладок» использование в лекции даже простых технических средств предъявления информации может существенно повысить её привлекательность для студентов, дидактическую эффективность, а также снизить нагрузку на голосовой аппарат преподавателя.

§ 6. Методические рекомендации по проведению практических занятий

Концепция целенаправленного развития у студентов готовности к самообразованию приводит к тому, что самостоятельная деятельность студентов, управляемая и организуемая, тесно смыкается с образованием, которое является составной и закономерной частью целостной ситемы учебно-воспитательной работы.

В рамках указанной концепции на первый план выходит самостоятельная работа студентов, представленная как в рамках основных форм организации учебного процесса (лекции, практические занятия), так и в частности организация самостоятельной работы во внеурочное время.

Программа по «Математическому анализу» предусматривает разнообразные виды самостоятельных работ:

по образцу,

реконструктивно-вариативные,

частично-поисковые,

творческие.

Первые два вида самостоятельных работ применяются непосредственно на учебных занятиях, и предназначены для подготовки студентов к более высокому уровню учебной деятельности.

Следующие виды самостоятельной работы предназначены для интеллектуального роста студентов, выполнение работы этого рода предлагается студентам старших курсов — это индивидуальные задания, курсовые работы, дипломное проектирование, а также НИРС.

Чтобы учебный процесс при данных условиях проходил наиболее эффективно, студентам с первых занятий необходимо вырабатывать и развивать у себя систему знаний и умений, которые отражают меру интеллектуального развития:

в конкретном видеть общее;

из общего выделять конкретное;

видеть внутри — и межпредметные связи относительно различных научных понятий, методов;

осознание единства и целостности научной картины мира;

умение соотносить научные категории с объективной реальностью;

понимание относительного характера знаний и необходимости уточнять их путём систематического познания;

умение анализировать и обобщать;

прочность уже имеющихся знаний, умений и навыков, их восстанавливаемость.