Функциональные уравнения. 
Электротехника и электроника

К ним относят алгебраические и трансцендентные уравнениями, которыми описываются нелинейные резистивные цепи. При использовании численных методов для решения функциональных уравнений сначала делают грубую оценку корней (начальное приближение), а затем производят уточнение их значений на основе принятого алгоритма до получения требуемой точности. Выбор начального приближения определяется требованиями обеспечения сходимости и осуществляется программными средствами.

Для понимания сути численных алгоритмов рассмотрим два метода.

Метод простых итераций. С помощью этого метода отыскивается приближенное решение уравнения, представленного в виде.

по алгоритму.

Принимая в (3) к = 0, для начального приближения д' вычисляют Х. Затем, используя Х при к = 1, определяют х₂ и т. д. Вычисления продолжают до тех пор, пока разность л*+1 нс станет меньше некоторого заданного значения. На рис. 2,а в графической форме иллюстрируется реализация алгоритма итераций. Линиями со стрелками показан путь движения от начального значения д₀ к точному значению д* корня уравнения.

• (2), который расположен в точке пересечения функций F (x) и д*.
• 250

Рис. 2. Иллюстрация численных методов решения нелинейных уравнений: метод простых итераций (а); метод Ньютона — Рафсона (б) Метод Ньютона — Рафсона. С помощью этого метода уточняется корень нелинейного уравнения.

Вывод итерационной формулы базируется на представлении функции F (x) двумя членами ряда Тейлора:

где х_к — значение корня уравнения (3) на к-м шаге; х& — уточненное значение корня; F'(x_k) — производная F (x) при х =х_к+.

Если допустить, что при полученном уточненном значении jc*4 j корня уравнение (4) обращается в нуль, т. е. F (x_k+) = 0, то из выражения (5) получаем итерационную формулу (алгоритм).

Графическая иллюстрация алгоритма Ньютона — Рафсона приведена на рис. 2, б. В каждой точке х_к (к = 0, 1, 2,…) проводится касательная к функции F (x). Ее пересечение с осью х дает новое уточненное значение корня х_к+. Так как производная F'(xk) представляет собой отношение катетов F (x_k) и -х_к треугольника (показан штриховкой), графические построения соответствуют алгоритму (6). По стрелкам на рис. 2,6 можно проследить путь от.** к точному решению х*.

Для системы двух уравнений F"(xi, Х2) — 0 (я — 1,2) вместо (5) имеем.

для определения и *2,ж;

Перепишем эти уравнения в матричной форме, обобщив на произвольное число п уравнений системы:

где х*и" х* — //-мерные векторы; J (x*) — матрица Якоби от F (x) в точке х = х*.

Решение этой системы относительно х*+| можно представить в виде итерационной формулы.

О сходимости алгоритмов. Для сходимости алгоритма простых итераций достаточно, чтобы в окрестности точного решения х* ± xq модуль производной правой части (1) не превышал единицы: |.F'(**)I < 1. Следовательно, угол, а наклона касательной к функции F (x) на интервале х* ± *о не должен превосходить 45° (рис. 3, я). При, а = 45° алгоритм зацикливается (рис. 3,6), при а > 45° — расходится (рис. 3, в).

Рис. 3. Иллюстрация сходимости — расходимости алгоритма простых итераций.

Полагая, что при уточненных значениях корней уравнение Fn (xj&u ^х2м)⁼ получим систему уравнений.

Метод Ньютона (7) имеет малый размер области сходимости и требует задания начального значения х⁽⁰⁾, близкого к точке решения х*. В отличие от простых итераций с линейной скоростью сходимости метод Ньютона обеспечивает квадратичную (более высокую) скорость сходимости и поэтому эффективен, если F (x) является выпуклой функцией.