Критерий х2 Пирсона

Этот критерий является одним из наиболее распространенных в приложениях критериев согласия. Предположим, что пространство значений случайной величины разбито на конечное число г частей s₍, s_r без общих точек, и пусть Р,…, р" — соответствующие вероятности Р, = Р{Х е 5,},.

П

ZP/-1.

/=1.

Будем предполагать, что все р, > 0. Обозначим через и, число наблюденных значений случайной величины X, принадлежащих множеству Sj.

Рассмотрим вектор (oj,…, о,). В качестве меры расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением и Г и I²

рассмотрим выражение — - р,, где коэффиценты с,;

1=1 I и могут быть выбраны более или менее произвольно. К. Пир;

п

сон показал, что если С; = —, то полученная мера.

Pi

обладает чрезвычайно простыми свойствами.

Теорема 8.1. При п распределение yj стремится к распределению у² с (г — 1) степенями свободы.

На основании этой теоремы по заданному уровню значимости, а находят по таблицам число у² из условия.

Гипотеза Н₀ отвергается, если вычисленная по выборке величина х² > Х" — При доказательстве теоремы нам потребуется следующая лемма.

Лемма 8.1. Пусть Oj,…, о,. — целые неотрицательные числа, причем о, + + … + о, — = п. Число способов, посредством которых п элементов могут разделены на г групп, из которых первая содержит U) элементов, вторая — и₂ элементов, …, г, — о_г элементов равно.

Доказательство леммы. Первую группу из щ элементов можно выбрать С))' способами. После того, как образована первая группа, остается п — uj элементов. Поэтому вторую группу из и₂ элементов можно выбрать Сспособами и т. д. После образования г- 1 группы остаетсяп — v>i —… — o,_i = о,.элементов, которые и образуют последнюю группу. Таким образом, число всех возможных способов, посредством которых п элементов могут бы ть распределены на г групп, из которых первая содержит uj элементов, …, г, — и_г элементов, равно.

к п!

Используя формулу С" = ——, получим утверждение.

k (n — k)

леммы.

Доказательство теоремы. Результат любого испытания с вероятностью Pj = Р{Х е будет принадлежать множеству 5,-. Поэтому, на основании леммы, вероятность того, что в процессе п независимых испытаний о j значений будет принадлежать множеству S_h …, о,-значений — множеству S_n равно Это выражение, как легко видеть, является общим членом разложения (р + … + р_гу. Совместное распределение случайного вектора о = (и_1?…, и,) задается (8.9) и является полиномиальным распределением. Найдем характеристическую функцию полиномиального распределения. Имеем.

Далее, для любых фиксированных t_h …, t_r получим.

I²

Квадратичная форма Q (l …t_r) = имеет матрицу Л = I — рр, где / обозначает единичную матрицу, а р — вектор-столбец р = (Vpi, V²…V/v) — Заменяя t,…, t_r новыми переменными U[… и, — с помощью ортогонального преобразования, при котором и, = получим.

Итак, квадратичная форма Q (t,…, t_r) неотрицательная и имеет ранг г — 1, т. е. при п —¹• °° совместная характеристическая функция величин ДГ|,…, х, стремится к выражению exp (-Q/2), являющемуся характеристической функцией некоторого несобственного нормального распределения ранга г — 1, в котором вся масса сосредо;

Г

точена на гиперплоскости ipfpit ⁼ 0.

Из теоремы непрерывности следует, что в пределе величины ДГ|, …, х_г имеют несобственное нормальное распределение с нулевыми средними и матрицей вторых моментов Л. Отсюда получа;

Г

ем, что в пределе величина %²_Г ⁼ Х-т/ имеет распределение у² с г — 1.

степенями свободы, что и требовалось доказать.