Следствия из дифференциальных зависимостей

Полученные дифференциальные зависимости справедливы при любом виде нагружения. Однако при растяжении и кручении распределенная нагрузка встречается редко, поэтому все дальнейшие рассуждения проведем на примере изгиба. В основе следствий лежит геометрический смысл производной и интеграла; производная от функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. Поперечная сила есть тангенс угла наклона касательной к эпюре изгибающих моментов.

Чем больше поперечная сила при изгибе, тем больше наклон эпюры изгибающих моментов. Если поперечная сила положительная, наклон эпюры изгибающих моментов положительный (против часовой стрелки) (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Зависимость наклона эпюры М от знака Q.

Интеграл от функции равен плошали, ограниченной кривой подынтегральной функции и осью абсцисс.

Проинтегрируем вторую дифференциальную зависимость:

Приращение изгибающего момента между двумя сечениями равняется приращению площади эпюры поперечной силы между этими сечениями.

Влияние каждого вида нагрузок на характер эпюр поперечной силы и изгибающего момента показано в табл. 3.1. Используйте эту таблицу для проверки правильности построения эпюр Q и М.

Приведенные зависимости позволяют строить эпюры внутренних усилий без расчетов по характерным точкам. Следует помнить, что любая эпюра с нуля начинается и нулем заканчивается, потому что она представляет собой графическое представление уравнения равновесия тела.

Расчет балки на изгиб начинают с построения эпюры поперечных сил Q. Последовательно переходя от одной характерной точки к другой, подсчитывают сумму сил, находящихся по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Перед построением эпюры изгибающих моментов М надо определить направление наклона эпюры М. Если Q > 0 — наклон положительный (вверх, если идем слева направо), Q < 0 — наклон отрицательный (см. рис. 3.5).

При построении эпюры М на конце балки момент М1 = 0 (эпюра начинается с нуля). Для нахождения момента М2 в следующем характерном сечении к значению М1 добавить площадь эпюры Q между этими сечениями (добавить со знаком плюс или минус зависит от определенного заранее направления наклона эпюры М). В сечениях, где действуют пары сил, на эпюре Л/ сделать скачок на величину момента пары сил.

При построении эпюр должны быть известны все нагрузки, действующие по одну сторону от рассматриваемого сечения, поэтому для балки с шарнирными опорами необходимо заранее найти реакции опор. Для балки, заделанной одним концом, эпюры строят, идя со свободного конца балки. При этом определять реакции в заделке не требуется. Они получаются автоматически как значения Q и М в заделке.

Определение внутренних усилий — важнейший момент расчета конструкции на прочность. Необходимо свободно владеть навыками построения эпюр и правилами их проверки. Для этого нужен навык построения эпюр вручную (без компьютера).