Учет пластических деформаций при растяжении—сжатии

При растяжении—сжатии распределение деформаций и напряжений по сечению стержня равномерное, т. е. о = const и с = const. При упругом и упругопластическом растяжении—сжатии нормальные напряжения во всех точках сечения одинаковы. Справедлива формула для напряжения о = N/A.

В статически определимых задачах из условий равновесия определяют продольные усилия N, а по ним напряжения о. Определить удлинения стержней по старой формуле AL = ^-, основанной на.

ЕА

законе Гука, уже нельзя. Надо по диаграмме деформирования, зная напряжения, найти деформацию с = AL/L и по ней определить удлинение A L.

В статически неопределимых задачах под действием пластических деформаций происходит перераспределение напряжений, что ведет к изменению условий равновесия системы.

Учет пластических деформаций при изгибе

При изгибе статически определимых балок изгибающий момент определяют методом сечений, как указано в гл. 2, независимо от величины деформации. Характер распределения напряжений в поперечных сечениях балки оказывается различным при упругих и упругопластических деформациях. В теории пластичности принято, что гипотеза плоских сечений справедлива как при упругих, так и упругопластических деформациях балки.

Это положение является основным при расчетах балок в упругопластической области, без принятия гипотезы о распределении деформаций расчет оказывается невозможным. На основании этой гипотезы можно считать, что при изгибе, но высоте сечения деформации распределены по линейному закону как при упругой, так и при упругопластической деформации (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Распределение деформаций и напряжений при упругопластическом изгибе.

балки Для определения напряжений при упругопластической деформации надо по диаграмме деформирования для заданного значения деформации е определить соответствующее ей значение напряжения о. Величина этого напряжения будет зависеть от выбранного вида аппроксимации диаграммы деформирования. Будем постепенно увеличивать нагрузку на балку и соответственно изгибающий момент. При чисто упругой деформации напряжения в сечении распределены по линейному закону, пока на поверхности балки они не достигнут предела текучести о_тах = о_г Найдем предельный изгибающий момент при упругой деформации:

При дальнейшем увеличении нагрузки у поверхности бачки появляется пластическая зона, которая увеличивается с ростом нагрузки. В центре балки сохраняется упругая зона. Далее зона упругопластической деформации растет, постепенно захватывая почти все сечение.

Рассмотрим идеальный случай, когда все сечение пластически деформируется. Напряжения во всех точках сечения равны пределу текучести. Такое предельное состояние называется пластическим шарниром. При постоянной нагрузке части балки слева и справа от сечения взаимно разворачиваются (балка представляет собой пластический механизм). Практически при любых максимальных деформациях на нейтральной оси деформация равна нулю и в центре сечения остается, пусть и маленькая, упругая зона.

Найдем предельный изгибающий момент, возникающий в пластическом шарнире. Из условия эквивалентности напряжений и внутренних усилий [см. (1.3)]. М = JoycM. При изгибе напряжения.

А

в верхних и нижних волокнах балки имеют различный знак. Однако в функциях аппроксимации диаграммы напряжения не меняют знак автоматически при перемене знака координаты у. Как следствие этого в пластическом шарнире М = Ja_TydA = 0.

А

Возьмем сумму интегралов для сжатой и растянутой частей сечения Л/_пласт = J o_TydA + J G_TydA. С учетом dA = bdy выражение.

V, Кша

для предельно возможного изгибающего момента в прямоугольном поперечном сечении примет вид.

В условиях пластической деформации балка может выдержать в полтора раза большую нагрузку, чем при упругой деформации:

^пласт/^упр 1.

Найдем изгибающий момент при упругопластическом изгибе: Напряжения о по высоте сечения переменные:

о = Ее, если деформация упругая е < е_т;

о = Ф (е), если деформация упругопластическая е > е_т. (8.2).

Здесь Ф (с) — уравнение диаграммы деформирования, зависящее от принятой аппроксимации диаграммы.

Mathcad позволяет записать зависимость о от координаты выбранной точки у в виде одной функции с помощью условного оператора. Для этого надо знать координату границы упругой и упругопластической зон у_т

На эпюре деформаций е (см. рис. 8.2) рассмотрим три подобных треугольника. Запишем отношение их катетов:

Из этого выражения находим величины е и у_г в зависимости от.

^тах^-

Здесь ?_Т = о_т/? — деформация, соответствующая пределу текучести. Решить упругопластическую задачу легче, задаваясь деформацией, а не нагрузкой.

Порядок расчета. Задаемся е_тах. По выражениям (8.3), (8.2) и (8.1) определяем изгибающий момент М_{упр пласг}. Строим график М от? и уже по графику для заданного момента определяем соответствующую ему деформацию с_П1ах. Для найденного значения ?_тах находим зависимость о от у.

В пластически деформированной балке при разгрузке возникают остаточные напряжения. При определении остаточных напряжений следует учесть, что при нагрузке распределение напряжений упругопластическое, при разгрузке — чисто упругое. Определим их величину.

Пусть балку нагрузили моментом М_нагр. После разгрузки М = 0. Состояние разгрузки можно представить как сумму моментов нагрузки и разгрузки, равную нулю: М_наго + Л/_оазго = 0. Откуда.

л.

где W — момент сопротивления сечения. Для прямоугольного сечения IV = (ЬИ²)/6.

Из выражения (8.4) находим максимальное упругое напряжение при разгрузке о_тахразгрПо высоте сечения упругие напряжения распределены по линейному закону. Тогда из подобия треугольников а.

max разгр _.

°_Разф ⁼—1²—У' Остаточные напряжения определяются как сумма напряжений нагрузки и разгрузки (рис. 8.3): о^ = о_нагр + О_разгр.