Математические модели САУ

На первом этапе расчета и проектирования систем автоматического управления ограничиваются их качественным описанием на основе анализа функциональных схем. Такое описание называют содержательным, или неформальным. Неформальным описанием называется вся имеющаяся совокупность сведений о САУ, достаточная для построения фактического алгоритма ее работы. Неформальное описание содержит информацию, достаточную для построения функциональной схемы САУ, служащей основой для разработки ее формального (математического) описания.

Недостаток содержательного (неформального) описания САУ состоит в том, что в этом случае не оперируют количественными характеристиками и, таким образом, наука, в основе которой лежит неформальное описание, не является точной наукой. Для исследования же и проектирования САУ необходимо оперировать количественными характеристиками, определяющими качество ее работы. В связи с этим центральным понятием в ТАУ является математическая модель или оператор системы.

Под математической моделью САУ понимают количественную формализацию абстрактных представлений об изучаемой системе. Математическая модель — это формальное описание системы с помощью математических средств: дифференциальных, интегральных, разностных, алгебраических уравнений, а также неравенств, множеств и т. д.

Используя понятие системного оператора, можно на единой основе рассмотреть понятие математической модели САУ.

Пусть У и А' — множества входных и выходных сигналов САУ. Если каждому элементу у е Уставится в соответствие определенный элемент х е X, то говорят, что задан системный оператор А.

Посредством системного оператора А задается связь между входом и выходом САУ:

Операторное уравнение (или уравнение с оператором А) Ах-у следует считать математической моделью САУ, поскольку оно устанавливает количественную связь между ее входным y (t) и выходным x (t) сигналами.

Принципиально важным является ответ на вопрос: как построить оператор системы А?

В подавляющем большинстве случаев операторные уравнения систем принадлежат к классу дифференциальных уравнений или эквивалентных им интегральных уравнений. Для получения дифференциального уравнения системы в целом обычно описывают отдельные ее элементы, т. е. составляют дифференциальные уравнения для каждого входящего в систему элемента. Например, для САУ, приведенной на рис. 1.4, составляют дифференциальные уравнения усилителя, привода, реостата, электрической печи, термопары и элемента сравнения.

Совокупность уравнений всех элементов и дает уравнение системы в целом.

Уравнение системы определяет ее математическую модель, которая к тому же для одной и той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной.

Полезно при решении одной и той же задачи управления на разных этапах строить разные математические модели, т. е. начать исследование можно с простой модели, а затем ее постепенно усложнять с тем, чтобы учесть дополнительные физические явления и связи, которые на начальном этапе не учитывались (как несуществующие).

Задать оператор системы — это значит задать правило определения ее выходного сигнала по входному сигналу.