Ускорение частицы в постоянном силовом поле

Исследуем движение частицы массы т вдоль оси х под действием постоянной силы F. Примем следующие начальные условия для функции х = x (t), описывающей движение частицы. Пусть.

т.е. будем считать, что в момент времени t = 0 частица покоилась в начале координат.

Уравнение движения (10.73) приводит к уравнению для проекции вектора импульса на ось х

Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию р (0) = 0, имеет вид.

При помощи формулы (10.74) составим уравнение для скорости движения частицы вдоль оси х:

разрешив которое относительно v, придем к зависимости скорости от времени:

График зависимости (10.82) приведен на рис. 10.10. Для моментов времени, удовлетворяющих неравенству 0 < t < m c/F, величина? такова, что 0 < (< 1. При этом знаменатель первой дроби в формуле (10.82) будет приближенно равен единице, а скорость будет пропорциональна времени: v (<) ~ Ft/m. Такая зависимость соответствует равноускоренному движению нерелятивистской частицы. При t mc/F скорость частицы асимптотически приближается к скорости света.

где.

Рис. 10.10. Зависимость скорости частицы от времени при движении под действием постоянной силы.

Заменив в равенстве (10.82) скорость v производной от функции х = x (t) по времени t: v = ir, получим дифференциальное уравнение для этой функции

Решением этого уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям (10.80), является функция.

Если t >• mc/F, то i ^ ct, т. е. частица движется почти со скоростью света.

Найдем зависимость скорости частицы от пройденного ею пути. Для этого, используя определение мощности, запишем уравнение (10.75) так:

Согласно этому уравнению приращение энергии частицы равно работе силы на пути dx. Для движения под действием постоянной силы это уравнение легко интегрируется:

где С — постоянная интегрирования. С учетом начальных условий (10.80) будем иметь.

Это равенство определяет искомую зависимость скорости от пути.