Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости

Учение о перпендикулярности прямых в средней школе имеет в своей основе понятие угла между прямыми и умение измерять величину угла.

Случай перпендикулярных прямых появляется при рассмотрении пересекающихся прямых в 7 классе. Величину наименьшего из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, считают углом между ними. Поэтому величина угла между пересекающимися прямыми не может превосходить 90°. В том случае, если угол между прямыми равен 90° (равен прямому углу), прямые называются перпендикулярными (перпендикуляр в переводе с лат. -«отвес»). Прямые, следовательно, будут перпендикулярны в том и только в том случае, если угол между ними равен 90°.

Две пересекающие прямые образуют четыре угла. Если один из этих углов прямой, тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с этим углом, либо вертикальным с ним. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом.

Поэтому в учебнике А. В. Погорелова дается следующее определение перпендикулярных прямых: две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. дастся такое определение: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

При введении понятия перпендикулярных прямых правильному его восприятию и более прочному запоминанию его определения помогает обращение к окружающей действительности, опора на жизненный опыт учащихся. Примеры перпендикулярных прямых в окружающей жизни убеждают учащихся в их существовании, в их большой значимости для практики, а значит, помогают создать правильное представление у них о природе этого понятия — о возникновении его на основе практической деятельности людей.

После определения перпендикулярных прямых вводится соответствующая символика, проводится обучение учащихся использованию введенной символики при выполнении записей, а также обучение чтению записей, в которых используется символика. Перпендикулярность прямых обозначается знаком _1_. Запись a -L в читается: «Прямая а перпендикулярна прямой в».

Существование перпендикулярных прямых показывается конструктивно. В учебнике Л. С. Атанасяна (и др.) решается задача.

Задача /. Дана прямая, а и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой.

Способ решения этой задачи основан на свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию.

Знакомство учащихся со способом построения перпендикуляра к прямой, проходящего через точку вне этой прямой, осуществляется также через решение задачи. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. это задача № 153.

Задача 2. Дана прямая, а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Решение основано на использовании двух окружностей равных радиусов и свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию.

В учебнике А. В. Погорелова доказывается теорема: через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Доказательство теоремы ведется методом от противного.

По учебнику Л. С. Атанасяна и др. в 7 классе, а по учебнику А. В. Погорелова в 8 классе вводятся понятия перпендикуляра и наклонной к прямой.

Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

В разделе о перпендикулярности прямых на плоскости рассматривается понятие наклонной к данной прямой. Поскольку через данную точку проходит только один перпендикуляр к данной прямой, то все остальные прямые, проходящие через эту точку (кроме прямой, параллельной ей), называют наклонными к данной прямой.

В беседе с учащимися следует четко подчеркнуть, что через данную точку к данной прямой можно провести сколько угодно наклонных, а перпендикуляр только один.

Методом от противного доказывается следующая теорема: из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

В восьмом классе вводится понятие серединного перпендикуляра к отрезку. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Затем доказывается теорема о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Эта теорема состоит из двух теорем: прямой и обратной. Доказательство первой теоремы следует провести вместе с учащимися. Доказательство обратной теоремы можно дать с пояснениями в качестве домашнего задания.

Постепенно в работе над понятием серединного перпендикуляра к отрезку выясняется, что прямая будет являться серединным перпендикуляром к отрезку в том и только том случае, если ее точки равноудалены от концов этого отрезка. В процессе такой работы формируются представления учащихся о необходимых и достаточных условиях, которые играют большую роль в дальнейшем построении курса математики средней школы.

Учащимся надо разъяснить, что формулировка теоремы со словами «в том и только в том случае» или «тогда и только тогда» включает в себя две теоремы — прямую и обратную.

Большое значение для изучения последующих разделов курса геометрии и особенно для решения задач имеет установление взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых, которая может быть раскрыта в процессе решения соответствующих задач на доказательство.

Задача 3. Доказать, что два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны.

При се решении можно опираться на единственность перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку. Если изучение перпендикулярности прямых предшествует изучению параллельности прямых, то эта задача рассматривается как теорема — признак параллельности прямых.

Задача 4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к данной прямой, то другая из параллельных прямых также перпендикулярна к этой прямой.

Эта задача вытекает как частный случай из теоремы о свойстве углов, образуемых при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой.

Историческая справка Среди аксиом Евклида была такая (обычно называемая пятым постулатом): «Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньше двух прямых, при продолжении в ту же сторону пересекаются».

Легко доказать, что пятый постулат Евклида равносилен таким предложениям:

• 1. В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
• 2. Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.

Если принять одно из этих предложений, то нетрудно вывести (доказать) пятый постулат Евклида.

Характерной чертой всей греческой математической мысли было стремление освободить изложение геометрии от выводов, основанных на наглядности. Чертеж есть иллюстрация, облегчающая понимание, а нс способ доказательства. В пятом же постулате мы более доверяем нашим зрительным ощущениям. Это вызвало желание доказать пятый постулат, вывести его (или равносильное ему предложение) из других аксиом. Попытки доказать пятый постулат длились около 2000 лет.

Доказательств было много, но каждое из них содержало ту или иную логическую ошибку, и всякий раз постулат оказывался недоказанным. Бесплодно затратив силы, средства и жизнь на доказательство пятого постулата, многие люди впадали в уныние и отчаяние. В недоказуемости его начали усматривать проявление божественной силы.

Пятый постулат доказан не был, но двухтысячелетние усилия ученых подготовили почву для нового великого открытия в геометрии. К этому великому открытию подошли почти одновременно и независимо друг от друга русский ученый Николай Иванович Лобачевский (1792— 1856), венгерский ученый Янош Б о й, а й (1802—1860) и немецкий математик Карл Г, а у ее .

Первым и в более совершенной форме опубликовал свои работы И. И. Лобачевский. 23 февраля 1826 г. на заседании физико-математического отделения Казанского университета Лобачевский сделал доклад о своем открытии.

Впервые в мировой науке Лобачевский признал пятый постулат недоказуемым, заменив его новым предположением: через точку вне данной прямой и в одной с ней плоскости можно провести более чем одну прямую, не пересекающую данную прямую. Он показал, что это предположение ведет не к противоречию, а к своеобразной геометрической системе, отличной от геометрии Евклида.

Мысли, которые Лобачевский высказал в своем докладе, были так новы, так необычны, что не были поняты даже выдающимися математиками того времени. Лишь единицы, например профессор Казанского университета П. И. Котельников, признали новое великое открытие, но их голос нс был услышан. Лобачевского высмеивали, но это нс заставило великого ученого отказаться от своих идей.

Через 12 лет после его смерти была найдена поверхность, на которой справедлива новая геометрия. Постепенно новые идеи были поняты, получили всемирную известность и признание. Геометрию, основанную на идеях Лобачевского, мы называем сегодня геометрией Лобачевского.

Геометрия Евклида— геометрия земных пространств и расстояний.

Геометрия Лобачевского — геометрия гигантских межпланетных и исчезающе малых атомных пространств, она включает в себя геометрию Евклида как составную часть, как частный случай. Точные астрономические и физические наблюдения подтвердили теоретические выводы геометрии Лобачевского.