Основные подходы к изучению векторов и координат в учебниках геометрии

Кратко рассмотрим подходы к введению основных понятий темы в учебниках, составлявших в 90-е гг. XX в. федеральный комплект учебников геометрии.

В учебниках А. Д. Александрова величины, характеризующиеся не только численным значением, но и направлением, называются векторными величинами (векторами). Простейшим примером векторной величины является перемещение, которое изображается направленным отрезком, поэтому направленный отрезок является лишь изображением вектора.

В учебниках Л. С. Атанасяна физические величины, характеризующиеся не только численным значением, но и направлением в пространстве, называются векторными величинами (векторами). В то же время отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой — концом, называется направленным отрезком, или вектором. Наконец, после введения равенства векторов авторы делают замечание, что равные векторы можно рассматривать как один и тот же вектор. Такой тройственный подход к понятию вектора требует четкости при изложении данного материала учителем. Нам представляется целесообразным при работе поданному учебнику трактовать направленный отрезок как изображение вектора (в логике А. Д. Александрова).

В учебниках А. В. Погорелова вектором также называют направленный отрезок, а равными векторами те, которые совмещаются параллельным переносом (тема «Векторы» в учебнике следует за темой «Движения»). Сразу же вводятся координаты вектора. Скалярное произведение векторов вводится через координаты, что ведет к алгебраизации данной темы.

В учебнике И. М. и В. А. Смирновых вектор рассматривается как направленный отрезок и изучается после темы «Координаты», что позволяет почти сразу ввести и координаты вектора.

Несмотря на некоторые различия в подходах к определению вектора в различных учебниках, содержание темы имеет очень много общего: рассматриваются равенство и длина векторов, действия с векторами (сложение и вычитание, умножение на число, скалярное умножение и их свойства), применение векторов к решению задач. С различной степенью подробности в различных учебниках излагается вопрос о разложении вектора на составляющие, крайне важный для решения задач на вычисление расстояний, длин, углов.

Изучение координат, естественно, опирается на опыт учеников, полученный ими при изучении математики в 5—6-х классах (координатная прямая и координатная плоскость) и функций в курсе алгебры основной школы. Рассматриваются координаты точки, координаты вектора, действия над векторами в координатах, выводятся уравнения ряда фигур: прямой на плоскости, плоскости в пространстве, окружности, сферы. Наиболее полно на базовом уровне эти вопросы представлены в учебниках И. М. и В. А. Смирновых для основной и старшей школы. Так, в курсе планиметрии кроме уравнений прямой и окружности рассмотрены уравнения кривых второго порядка: эллипса, гиперболы и параболы, а в старшей школе — аналитическое задание цилиндра и параболоида, задание системами неравенств многоугольников и многогранников, задание полуплоскости, что позволяет познакомить школьников с задачами оптимизации. В старшей школе рассмотрены общее и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Включен в учебники материал о сферических и полярных координатах. Полярные координаты позволяют показать ученикам некоторые интересные линии и их уравнения (спираль Архимеда, логарифмическая спираль и др.). Этот материал создает основу для успешного освоения аналитической геометрии в высшей школе.