«Парадоксы следования» в классической логике. 
Сила и слабость КЛВ

Вспомним еще раз определение отношения логического следования:

Х_х… Х_п |= Y, если и только если не существует такой интерпретации параметров, входящих в состав Х_х… Х_п и У (такого положения вещей), при которой (котором) каждая из формул Х_х… Х_п приняла бы значение «истина"у а формула У — значение «ложь».

Допустим теперь, что множество формул Х_х… Х_п противоречиво, т. е. формулы Х_х… Х_п несовместимы по истинности: (Х_х &… &Х") = _1_. Тогда относительно них на основании этого определения можно сделать совершенно удивительное заключение.

Эта закономерность известна в классической логике как принцип «из противоречия следует все что угодно»: 1 |= У.

У этого «парадокса» есть двойственная форма. Если Y — тождественноистинная формула (У = Т), то.

Эта закономерность известна в классической логике как принцип «логический закон следует из чего угодно»: X =Т.

В чем же заключается «парадоксальность» утверждений _L ^ Y и X |= Т (X и У — произвольные формулы)? А заключается она в несоответствии между их содержанием и обыденной интерпретацией логического следования (предполагающей реальное обусловливание, информативную связь «посылок» и «заключения»). Это противоречие между формальными свойствами следования в классической логике и тем интуитивным смыслом, который мы пытаемся вложить в это понятие следования.

Если трактовать информативность высказывания как степень снижения неопределенности нашего знания при его принятии (высказывание «Это животное — собака» более информативно, чем «Это животное — млекопитающее», что выражается в том, что собак намного меньше, чем всех млекопитающих, поэтому выбор между возможными альтернативами уменьшается), как степень сужения множества возможностей, обусловленного принятием данного высказывания в качестве истинного, то мы будем вынуждены трактовать информацию, заключенную в противоречивом высказывании, как максимальную (из нее логически следует, т. е. в ней заключена, любая другая), в логически истинном высказывании — как нулевую (поскольку она является частью любой другой информации). Логическое противоречие, таким образом, заключает в себе всю информацию о мире, а логические законы не являются информативными вообще.

Таковы объективные свойства КЛВ, которые можно рассматривать как ее недостатки. Но опять-таки надо все время помнить, что «наши недостатки есть продолжение наших достоинств», в данном случае — прежде всего свойства экстенсиональности.

Выполните упражнение 25 из Практикума.