Комплексные изображения гармонических функций времени

Каждой гармонической функции времени a (t) = = Л", со5(со? + у) можно поставить в соответствие комплексное число я, называемое мгновенным или текущим комплексом гармонической функции:

модуль которого равен амплитуде гармонической функции А_т, а аргумент — ее фазе 0 = (at + у. Как следует из выражения (2.27), вещественная часть мгновенного комплекса а равна исходной гармонической функции:

Пример 2.1. Мгновенные комплексы гармонического тока и гармонического напряжения.

Вещественные части этих комплексов есть исходные гармонические функции:

Геометрически мгновенный комплекс а может быть представлен в виде вектора а = ае^⁽ длина которого |я| в определенном масштабе равна амплитуде А_т, соответствующей гармонической функции, а угол с положительным направлением вещественной полуоси а (/) изменяется во времени по такому же закону, как и фаза гармонической функции а (/) = 0 = со/ + |/. Для того чтобы обеспечить этот закон изменения а (/), вектор а должен вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью со (рис. 2.5, а). В момент времени / = 0 вектор а должен образовывать с положительным направлением вещественной оси угол ц/, равный начальной фазе рассматриваемой гармонической функции. Как очевидно из рис. 2.5, а, проекция вектора а на вещественную ось в выбранном масштабе равна мгновенному значению исходной гармонической функции времени a (t) = Re[g].

Используя понятие комплексных сопряженных чисел и выражение (2.22), мгновенное значение гармонической функции я (/) можно определить также как полусумму мгновенного комплекса а = A_me^^i0t+X^ и сопряженного ему комплексного числа а = А_те~^^ы+^

Рис. 2.5. К определению понятия мгновенного комплекса а гармонической функции.

Векторы а и а имеют одинаковую длину, противоположные по знаку начальные фазы и вращаются в комплексной плоскости в противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью со (рис. 2.5, б). Проекции этих векторов на действительную ось равны между собой.

а проекции на мнимую ось имеют различные знаки:

Значение мгновенного комплекса а в момент времени t = О называется комплексной амплитудой Л_т гармонической функции времени a (t) = A_mcos ((ot + j/):

Из выражения (2.32) следует, что комплексная амплитуда гармонической функции времени a (t) = A_mcos ((ot + v|/) представляет собой комплексное число А_т модуль которого равен амплитуде А_т рассматриваемой функции, а аргумент — ее начальной фазе vj/. Геометрически комплексная амплитуда может быть представлена в виде неподвижного вектора, расположенного под углом у к вещественной оси (рис. 2.6, а), длина которого в определенном масштабе равна А_т.

Используя понятие комплексной амплитуды, выражение (2.27) для мгновенного комплекса а можно преобразовать к следующему виду:

Подставляя формулу (2.33) в выражение (2.29), выразим исходную гармоническую функцию времени a (t) через ее комплексную амплитуду:

Рис. 2.6. К определению понятий комплексной амплитуды и оператора вращения.

*.

где А_т = A,"e~^Jv — комплексное число, сопряженное с комплексной амплитудой.

Сомножитель e^yW, входящий в выражения (2.33) и (2.34), представляет собой вектор, называемый оператором вращения. Он имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью со (рис. 2.6, б). Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения е^)Ш, начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью со.

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, являются гармоническими функциями времени одной частоты. Каждому из токов и напряжений ветвей электрической цепи a (t) может быть поставлен в соответствие текущий комплекс а. Текущие комплексы, соответствующие токам и напряжениям различных ветвей, изображаются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью (неподвижными один относительно другого). Каждый из текущих комплексов токов и напряжений ветвей электрической цепи можно представить в виде произведения соответствующей комплексной амплитуды А_т на оператор вращения е>^ш. Очевидно, что оператор вращения является общим для мгновенных комплексов токов и напряжений всех ветвей и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей.

Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудами и начальными фазами, поэтому полная информация о них при известной частоте со содержится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и начальные фазы токов или напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды и обратно по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического колебания.

Пример 2.2. Комплексная амплитуда гармонического тока i = 5cos[10^rY + (тс/6) ] А равна /_т1 = 5еА, а комплексная амплитуда гармонического напряжения и₂ = 30cos (10⁶/) В равна U_m2 = 30е⁷° = 30 В.

При со = 5 -10⁴ рад/с соответствуют мгновенные значения тока и ЭДС:

Таким образом, каждой гармонической функции времени a (t) можно единственным образом поставить в соответствие комплексное число Л_т {комплексную амплитуду), которое можно рассматривать как изображение этой гармонической функции па комплексной плоскости.

Связь между оригиналом и изображением формально записывается в виде выражения.

в котором использован знак соответствия =, означающий взаимное соответствие между функциями, определенными в различных областях.