Анализ олигополии с использованием теории игр

Олигопольный рынок удобен для анализа с использованием особого математического инструментария — теории игр. Игра в экономике — это любое интерактивное взаимодействие, в которой участники (игроки) имеют возможность выбирать свои действия из нескольких вариантов.

Базовые понятия теории игр

Для начала рассмотрим термины, которые применяются в теории игр.

чаще всего понимается прибыль. Однако могут быть и другие варианты. В случае двух участников результат игры для игрока «по горизонтали» (в табл. 15.6 игрок 2) записывается первым (выделен курсивом), результат игрока «по вертикали» (игрок 1) указывается вторым.

Таблица 15.6. Платежная матрица для двух игроков.

Каждый игрок (каждая фирма) может выбирать стратегию, А или стратегию В. Игроки могут принимать решение одновременно, тогда мы имеем одновременную игру, или последовательно, тогда перед нами последовательная игра.

Предположим, что в нашем случае решения принимаются одновременно. Какой вариант своего поведения выберет каждый игрок?

Хотя решения принимаются одновременно, игроки заранее знают матрицу результатов. В данной главе мы имеем дело исключительно с играми при полной информированности участников. Некоторые игры с асимметричной информацией будут рассмотрены в гл. 17.

Предполагается также, что цель каждого игрока — выбрать такую стратегию, которая принесет ему наивысший возможный результат, т. е. максимальную прибыль.

Будем рассуждать с позиции игрока 1. Игрок 1 смотрит на то, что предпочтет игрок 2. Если игрок 2 выберет стратегию А, то для игрока 1 оптимальный вариант — стратегия В, так как при ее выборе прибыль игрока 1 будет выше: 2 > 1. Если игрок 2 выберет стратегию В, то оптимальной для игрока 1 окажется опять-таки стратегия В: 3 > 0. Значит, какой бы вариант ни выбрал игрок 2, игрок 1 всегда будет придерживаться одной и той же стратегии (в нашем случае стратегии В). Такая стратегия называется доминантной стратегией. Та стратегия, которая никогда не будет выбрана, каким бы ни было поведение партнеров по игре, поскольку она сопровождается худшим результатом для игрока, называется доминируемой стратегией. Для игрока 1 стратегия В — доминантная, стратегия А — доминируемая.

Будем теперь играть за участника 2. Он смотрит на возможные действия игрока 1 и выбирает свой оптимальный вариант. Если игрок 1 выберет стратегию А, то для игрока 2 предпочтительной окажется стратегия В: 3 > 0. Если игрок 1 выберет стратегию В, оптимальной для игрока 2 будет стратегия А: 2 > 1. Таким образом, у игрока 2 нет доминантной стратегии. Он выбирает вариант своего поведения в зависимости от того, что делает игрок 1.

Но мы знаем, что игрок 1 обязательно выберет стратегию В! Следовательно, игрок 2 обязательно выберет стратегию А. И результат игры будет (2; 2).

Такой результат игры — это равновесие по Нэшу (или равновесие Нэша). Равновесием по Нэшу (Нэш-равновесием) называется набор стратегий (а*), являющийся единственным для каждого игрока и максимизирующий целевую функцию одного игрока при неизменной оптимальной стратегии другого игрока.

Историческая справка

Джон Нэш (род. 1928 г.), американский математик, работающий в области теории игр и дифференциальной геометрии. Лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 г. за анализ равновесия в теории некооперативных игр. Окончил университет Карнеги — Меллона и Принстонский университет, где занимался химией, международной экономикой и математикой. Разработал теорию игр с ненулевой суммой. Преподавал в Массачусетском технологическом институте. Работал в корпорации RAND, занимающейся аналитическими и стратегическими разработками для правительства США. В настоящее время продолжает заниматься математикой в Принстонском университете. Джону Нэшу посвящен фильм «Игры разума».

В теории олигополии равновесие по Нэшу есть такая стратегия фирмы, которая максимизирует ее прибыль, так что:

где а* — оптимальная стратегия i-й фирмы; а_₍ — оптимальные стратегии всех прочих фирм на рынке; а. — другая, отличная от оптимальной стратегия i-й фирмы.

Нэш-равновесие показывает такую ситуацию на рынке, когда ни у одной фирмы нет стимулов менять свое текущее поведение ни в качественном, ни в количественном отношениях.

В точке равновесия по Нэшу выполняются первое и второе условия максимума прибыли:

Концепция равновесия по Нэшу используется для определения равновесия на рынке олигополии, в частности для вывода функций реакций фирм.

Функцией реакции называется оптимальное поведение данной фирмы в ответ на любое поведение какой-либо другой фирмы рынка. По определению, функция реакции выводится на основе первого условия оптимальности фирмы (максимума прибыли):

Откуда получаем.

Рассмотрим полный дифференциал функции реакции

Перегруппируем слагаемые.

Левая часть этого выражения показывает наклон функции реакции. Из второго условия максимума прибыли мы знаем, что.

Поэтому наклон функции реакции целиком определяется знаком я|. (вторая смешанная производная функции прибыли).

Если я*. < 0, наклон функции реакции будет отрицательным. Увеличение действия одной фирмы приведет к сокращению прибыли другой фирмы. Подобные действия называются стратегическими субститутами.

Если я¹'. > 0, наклон функции реакции будет положительным. Увеличение действия одной фирмы приведет к росту прибыли другой фирмы. Подобные действия называются стратегическими комплементами.

Что же такое я!.?

ч

Рассмотрим подробнее это выражение:

Оно представляет собой дополнительную прибыль, получаемую i-й фирмой в результате дополнительного действия j-й фирмы.

Вопрос для размышления Всегда ли существует равновесие по Нэшу в одновременной игре?

Вернемся к нашей игре. Пусть теперь решения принимаются игроками не одновременно, а последовательно. Предположим, что первым делает ход игрок 1, а затем свой вариант выбирает игрок 2. Платежная матрица остается прежней. Изменит ли что-нибудь новое правило игры в ее равновесии?

Последовательные игры удобнее представлять в виде дерева игры (рис. 15.7). Нарисуем варианты стратегий для каждого игрока в виде ветвей. Точки разветвления стратегий называются узлами. В нашей игре один узел будет на первом этапе и два — на втором. Результат игры можно записать под каждым конечным исходом. Первым записывают результат для игрока, чей ход был первым. Здесь — это игрок 1.

Рис. 15.7. Дерево последовательной игры.

Для такого класса игр поиск равновесия начинается с конца, путем обратной индукции (backward induction). Предположим, игрок 2 находится в узле 1. Какой вариант своего поведения он выберет? Конечно, данный игрок предпочтет стратегию В, поскольку это в итоге даст ему большую прибыль: 3 > 0. Отметим его оптимальную стратегию из этого узла утолщенной линией. А если игрок 2 оказался в узле 2? Тогда его оптимальная стратегия — вариант А, так как именно здесь он получит максимальную прибыль: 2 > 1. Отразим и здесь оптимальную стратегию игрока 2 утолщенной линией.

Теперь вернемся к игроку 1. Принимая решение, он знает, что при попадании в узел 1 игрок 2 выберет стратегию В, а при попадании в узел 2 игрок 2 выберет стратегию А. Значит, у игрока 1 на самом деле выбор будет между исходами (0; 3) и (2; 2). Поскольку 2 > 0, игроку 1 лучше, чтобы игрок 2 оказался в узле 2. Поэтому для игрока 1 оптимальной будет стратегия В (тоже отметим ее утолщенной линией). Таким образом, Нэшравновесие в данной игре — это стратегия В для игрока 1 и стратегия, А для игрока 2 с результатом (2; 2).

Легко проверить, что если первым решение принимает игрок 2, а вторым — игрок 1, итоговый результат не изменится. Но необязательно, что всегда происходит так.

Теория игр имеет обширное экономическое приложение. Остановимся на одной из наиболее важных сфер применения теории игр — анализе картельных соглашений олигополистов.