Условные распределения. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Условное распределение вводится исходя из понятия условной вероятности. Вспомним, что условная вероятность события В, вычисленная Р (ЛВ) при условии, что событие Л имело место, равна Р (В|А) = ^ .

Условным законом распределения случайной величины Е, при условии Г) = у называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины Е, и соответствующими им вероятностями, найденными при условии Г) -у.

Дискретный тип распределения. Пусть случайная величина? представлена значениями х_ь х₂, …, х_п, а случайная величина т] — значениями Ух, у₂,…, у_т. Тогда вероятность случайной величине Е, принять значение Е, = х, при условии, что случайная величина ц уже приняла значение ц = ур равна.

Вероятность P (E_s = x_i | г| =уд, где i = 1, 2,…, n, j = 1,2, …, m, называется условной вероятностью q по ц и обозначается, как P (q |г|).

Если случайные величины независимы, то условная вероятность будет равна безусловной:

Условным математическим ожиданием М (^|г|) дискретной случайной величины % называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины % на условные вероятности этих значений при условии, что произошло событие г = уf.

где у может принимать значения у_1;у₂, ?•?>Ут-

Запись М (? | г|) означает, что проведено суммирование по всем значениям случайной величины Ъ, при одном определенном значении случайной величины Г|.

Пример 7.1. Пусть дляу_х = 1 ряд распределения случайной величины % имеет вид.

Условное математическое ожидание случайной величины рассчитанное при условии, что случайная величина г| приняла значение 1, равно.

_{м (}е._л__1Ь 0−0.05 + 1−0Л + 2−0,2 + 3−0,1 + 4−0,05 __{2 Q} 0,05 + 0,1+0,2 + 0,1 + 0,05.

Свойства условного математического ожидания. Введем случайную величину? со значениями {х_1; х₂} и случайную величину Г| со значениями {У], у₂}, причем каждой паре значений {*;, уД соответствует вероятность Ру, т. е. Р (Д = х_р ц = уД = Ру. Закон распределения представим виде таблицы.

• 1. Если? и г| независимы, то М© л) = М©.
• ?Для каждого значения г) = у_} условное математическое ожидание

2. Если ?, есть величина постоянная, то М{% = С| г|) = С.? Пусть Г) = уj. Тогда.

• 3. Постоянный множитель можно выносить за знак условного математического ожидания: М (а?, |г|) = аМ (? |р).
• ?Пусть Г| = у у

В частности, М (|р | г|) = г|М (^ | г|).

?Действительно, при каждом р -ypj — 1, 2, …, т,

• 4. Условное математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме условных математических ожиданий: М (^ + 0|г|)=М (^|г|)-г + М (0 |г|).
• ?Пусть в добавление к случайным величинам Ъ, и р имеется случайная величина 0 со значениями {гр, z₂}- Для каждого р =y-, j = 1, 2, …, т,

5. Математическое ожидание условного математического ожидания не зависит от значений случайной величины р: М (М (^| р)) = Mi;.

Регрессия. Регрессией называется зависимость любого параметра, вычисленного с использованием условного закона распределения, от условия. Например, для разных значений случайной величины р = = (У1,у₂, —мУл} условное математическое ожидание М (?,|р) принимает разные значения. Зависимость М (?|р) от значений р является регрессией ^ по р теоретической или эмпирической в зависимости от источника ее получения. Имеем.

Функция регрессии характеризует стохастическую зависимость одной случайной величины от другой, которая называется в этом случае стохастической объясняющей переменной. Пример функции регрессии представлен на рис. 7.4. На нем приведена совокупность точек, полученная экспериментальным путем. По ним построена эмпирическая функция регрессии. В математической статистике разработаны методы, позволяющие по экспериментальным данным построить эмпирическую функцию регрессии (линию регрессии на рисунке).

Рис. 7.4. Эмпирическая функция регрессии.

Условным математическим ожиданием M (g (%, ц) |ц =у_;) функции g (?, ц) называется сумма произведений всех возможных значений функции g (?, ц) на условные вероятности этих значений при условии, что произошло событие ц =у_;:

Отсюда следует.

Если положить g (%, г|) = (?, — aj _>у)², то получим условную дисперсию случайной величины.

Непрерывный тип распределения. Пусть р^_л(х, у) — совместная плотность вероятностей случайных величин ^ и ту Рассмотрим вероятность события ^ < х при условии у < г| < у + Ду:

Устремим Ду к нулю:

При фиксированном значении переменной у предел как функция от х есть функция распределения, которая называется условной функцией распределения F:|_n(x|y) случайной величины при условии ц -у. Функция определена для любого действительного значения х и равна вероятности события < х при условии, что произошло событие ц -у.

Подынтегральная функция =p_;i (х|у) называется условной

р_п(у).

плотностью распределения случайной величины при условии ц = у. Условная функция распределения обладает свойствами, присущими безусловной функции распределения. В частности, непрерывная функция распределения может быть продифференцирована с образованием условной плотности распределения:

Условное математическое ожидание случайной величины при условии г| =у равно.

Свойства математического ожидания случайной величины ?, при условии г =у аналогичны свойствам в случае дискретного распределения. Они доказываются с использованием интегралов. Например, свойство M (M (^|r|)) = М?, можно получить, если взять интеграл по у от М (?|г|)рг|(у):

Условное математическое ожидание функции g (i;, ц) при условии ц = =у равно.

Условная дисперсия равна.

Если условный закон распределения для дискретного типа распределения представляется в виде таблицы, то в случае непрерывного типа распределения строится условная плотность распределения. При ее нахождении естественно знать плотности распределения обеих случайных величин.

Теоретическая задача 7.1. Пусть случайные величины ?, и ц нормально распределены (^~iV (a, of), г|~ЛГ (Ь, a§)). Найти условный закон распределения случайной величины ?, при условии р -у. Указать математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Условная плотность распределения случайной величины ?

Pi п (^.У) при условии г) =у имеет вид р_?| (х|у)=—-—-. Для нормально рас;

р_пСу) пределенных случайных величин ?, и г| совместная плотность распределения равна.

где г = г (^, ц) — коэффициент корреляции.

Тогда.

Преобразуем отдельно суммарный показатель экспоненты Л:

Следовательно,.

где M (S, = y) = a+r-(y-b), D (?_> = y)= ст?(1-г²). a₂

Полученное для плотности р^|_п(х|у) выражение позволяет утверждать, что:

• 1) условный закон распределения является нормальным с математическим ожиданием М (?, | ц = у) = а + г—(у — Ь) и дисперсией D (?, | г| = у) = - 0^(1-г²). °²
• 2) условные математические ожидания М (?|г|) и М (г||?,) для нормально распределенных случайных величин являются линейными

функциями с коэффициентами регрессии г — и г—;

а₂ <7].

3) условные дисперсии D (?, | г| = у) и ?>(т| | ?, = х) постоянны и не зависят от значений х или ум