Математическая статистика. 
Теория вероятностей и математическая статистика

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ОШИБОК

В результате освоения материала данной главы студент должен: знать

• • основные погрешности при совершении измерений и их классификацию;
• • основные идеи, заложенные Гауссом при создании теории ошибок; уметь
• • вычислять погрешности прямых и косвенных наблюдений;
• • получать максимально надежные результаты при вычислительной обработке наблюдений;

владеть

• навыками вычислительной культуры.

Погрешности наблюдений и измерений

Теория ошибок — это дисциплина, которая вносит свой вклад в получение научно обоснованных максимально надежных результатов наблюдений и измерений и в проведение первичной вычислительной обработки полученных данных с минимальными потерями в информации.

Проводя наблюдения или делая измерения, исследователь совершает ошибки. Нет ни одного наблюдения или измерения, которые дают истинную картину или значение величины. Например, чтобы измерить длину забора, рабочий использует пятиметровую рулетку, ошибка измерения которой 0,5 см = 5 • 10″³ м. Поэтому забор длиной в 10,00 м при многократных измерениях окажется имеющим длину 10,01 м, 9,99 м,.

10,005 м и т. д.

Точность измерений — характеристика качества измерений, отражающая степень близости результатов измерений к истинному значению измеряемой величины. Можно увеличивать точность измерения. Но совсем не ясно, о чем идет речь, если поставить задачу об измерении, например, длины стержня с погрешностью до размеров атома или даже электрона. Принципиально неограниченная точность измерения длин имеет смысл для абстрактных прямолинейных отрезков геометрии, а не для реальных тел, имеющих атомистическую структуру. В науке и производстве встречаются задачи по измерению длины с высокой,.

но, конечно, ограниченной точностью. Развитие таких технологий, как производство интегральных схем с микронными и субмикронными размерами, требует измерений с точностью до ангстрема, т. е. до 10^-10 м. На XVII Генеральной конференции по мерам и весам было принято считать метром длину пути, проходимого светом в вакууме за 1/299 792 458 с. Хотя точность измерения метра велика, она ограничена величиной 3 • 10^-9 м.

Итак, получить абсолютно точно истинное значение величины невозможно. Вместо истинного значения используется так называемое действительное значение величины. Оно может представлять собой единичное измерение, как это происходит в спорте, или так называемую статистическую оценку, которая является наиболее вероятным значением, полученным по результатам научно обоснованной статистической обработки нескольких измерений. Действительное значение должно быть настолько близко к истинному, чтобы в поставленной задаче оно могло быть использовано вместо истинного.

В математической статистике истинное значение обозначается обычно через 0 или х₀ и называется теоретическим значением параметра, поскольку его в некоторых задачах можно вычислить. Статистическая оценка обозначается через 0," где число п указывает на число измерений, и называется выборочным значением параметра, поскольку оно рассчитывается по наблюдениям х_ь х₂,…, х_п (по выборке). К величине 0" предъявляются жесткие требования, при выполнении которых 0" удовлетворительно описывает величину 0.

Модуль разности Ах между истинным значением измеряемой величины 0 и ее действительным значением 0" называется погрешностью или отклонением:

Погрешность указывает на то, с какой точностью по результатам наблюдений мы определяем наблюдаемую величину. Она не может быть вычислена по приведенной формуле в силу незнания нами величины 0, если, конечно, не удастся величину 0 рассчитать теоретически.

Существуют разные подходы к оценке Дх. Во всех случаях необходимо провести серию наблюдений и получить значения х_ь х₂, …, х_п исследуемой величины.

1. Разыскиваются наибольшее х_тах и наименьшее x_min экспериментальные значения. Погрешность вычисляется по формуле

2. Вычисляется среднее значение измеряемой величины

Погрешность разыскивается как среднее линейное отклонение:

3. Погрешность вычисляется как среднее квадратическое отклонение:

4. Если в измерениях делается акцент на определении погрешности измерительного прибора, а значение измеряемой величины 0 = а известно, то погрешность прибора вычисляется как.

С развитием общества требования к величине погрешности измерений увеличиваются. Например, в беге на 100 м время раньше фиксировалось по ручному секундомеру с погрешностью 0,1 с. Со временем мировые рекорды росли на все меньшую величину, и улучшить мировой рекорд на 0,1 с стало чрезвычайно сложно. Десятки спортсменов официально показывали одно и то же время и являлись соавторами мировых рекордов. Переход на фиксацию электронным секундомером с погрешностью 0,001 с позволил решить эту проблему.

Примеры мировых рекордов в беге на 100 м:

• 1968—1975 гг. — 9,9 ± 0,1 с;
• 2005 г. — 9,768 ± 0,001 с;
• 2006 г. — 9,763 ± 0,001 с;
• 2009 г. — 9,578 ± 0,001 с.

Примеры показывают, что в измерениях необходимо указывать на погрешность измерения. Запись 9,578 ± 0,001 с означает, что истинное значение мирового рекорда лежит в интервале от 9,577 до 9,579 с с определенной заранее рассчитанной вероятностью, в данном случае равной 0,997.