Непрерывные случайные величины

В результате освоения материала данной главы студент должен: знать

• • определение плотности распределения и ее свойства;
• • основные распределения непрерывной случайной величины и их числовые характеристики;

уметь

• • находить вероятность по известной плотности распределения;
• • решать задачи, связанные с распределениями непрерывной случайной величины;

владеть

• методами работы с непрерывными случайными величинами.

Плотность распределения

Непрерывной случайной величиной называется функция %, заданная на вероятностном пространстве, значения которой могут быть любыми на некотором конечном или бесконечном промежутке. Как и в дискретном случае, функцией распределения непрерывной случайной величины Е, называется функция Р=(х), определенная для любого действительного значения х и выражающая вероятность того, что случайная величина с, примет значение, меньшее х: Р^(х) = Р (^ < х). Среди функций распределения будем рассматривать такие, которые можно представить в виде интеграла:

где p?,(t) — неотрицательная функция, называемая плотностью распределения вероятностей случайной величины % или, короче, плотностью вероятности. Из математического анализа известно, что первообразная F^Oc) является непрерывной функцией. Само распределение также называется непрерывным.

Можно ввести непрерывность случайной величины Е, другим способом. Случайная величина Е, называется непрерывной, если ее функцию распределения можно представить в виде

где ps (t) — неотрицательная функция. Из непрерывности функции F^(x) следует непрерывность случайной величины? хотя бы на конечном промежутке.

Свойства плотности распределения.

Плотность распределения обладает следующими свойствами.

• 1. p^(t) > 0.
• ?Неравенство следует из определения. ?

+00.

• 2. J p^(t)dt=l.
• -СО

3. Р (х_х <^<�х₂)=.

4. Величина вероятности на промежутке в случае непрерывной функции распределения не зависит от концов промежутка:

Доказательство представлено при описании свойств дискретной случайной величины.

5. Вероятностный смысл плотности вероятности. Рассмотрим на промежутке (-оо; х) произвольный интервал (t; t + At), где At —> 0, и найдем вероятность попадания случайной величины в этот промежуток:

где t* — некоторое значение аргумента из интервала (t; t + At). Поскольку At —" 0, то t* —> t. Тогда.

т.е. по вероятностному смыслу плотность вероятности есть вероятность случайной величине попасть в промежуток единичной длины.

6. p^(t) = F'(t).

Плотность распределения является главной характеристикой непрерывной случайной величины. Если известна плотность распределения, то говорят, что задан закон распределения непрерывной случайной величины. Зная плотность распределения, можно найти основные числовые характеристики случайной величины, а также построить график плотности распределения, наглядно демонстрирующий ее поведение. В дальнейшем будем предполагать плотность распределения непрерывной функцией с возможно конечным числом точек разрыва.

График плотности распределения. Типичный график зависимости плотности распределения от величины аргумента х представлен на рис. 6.1.

Рис. 6.1. График плотности распределения.

Площадь под кривой, как это следует из свойства 2, равна единице. Значение функции распределения F^(x) в точке х₀ есть площадь, ограниченная кривой, осью абсцисс и лежащая левее прямой х = х₀:

Вероятность попадания случайной величины на промежуток (х_х; х₂) численно равна площади под сегментом этой кривой: