Движение центра масс

У любой системы материальных точек (в частности, и у твердого тела) существует одна точка, которая движется особым образом. Эта точка — центр масс (или центр инерции).

Центром масс (или центром инерции) системы называется точка, положение которой задается радиус-вектором:

Здесь т — суммарная масса системы: m = ?m,; m, — масса i-й.

i

частицы; г, — радиус-вектор, задающий положение i-й частицы.

Декартовы координаты центра масс получаются проектированием вектора R_c на координатные оси:

Заметим, что центр масс не обязательно совпадает с положением какой-либо материальной точки системы. Например, в случае системы из двух материальных точек центр масс никогда не совпадает ни с одной из них (разумеется, если расстояние между точками всегда больше нуля).

Производная по времени R_c дает нам скорость центра масс:

где Р — импульс системы.

Отсюда получаем:

Подставив это в выражение (2.12), получим уравнение движения центра масс:

где а_с — ускорение центра масс.

Итак, мы получили, что центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к точкам системы.

Коротко говоря, закон движения центра масс совпадает с законом движения материальной точки массы т (всей системы), к которой приложены все внешние силы.

Отметим, что во второй закон Ньютона для одной материальной точки ma = ?F; в сумму сил входят все силы, как внутренние, так и внешние.

Для замкнутой системы а_с = 0. Это означает, что центр масс замкнутой системы или покоится, или движется равномерно и прямолинейно. Внутренние силы ничего не могут с ним сделать.

Принцип относительности Галилея

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, одна из которых покоится, а другая движется по отношению к ней с постоянной скоростью У₀, направленной вдоль осиХ (рис. 15). Неподвижную систему обозначим К, подвижную К' (штриховая система). Найдем связь между координатами х, у, z некоторой точки Р в системе К и координатами х', у', z' той же точки в системе К'. Начало отсчета времени выберем такое, когда начала координат обеих систем совпадают.

Тогда.

Совокупность четырех уравнений (2.14) называется преобразованиями Галилея. Первое и четвертое уравнения справедливы только для классической механики, т. е. при V₀ << с. При V₀, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея должны быть заменены на более общие преобразования Лоренца.

Найдем связь между скоростями точки Р в обеих системах отсчета. Для этого продифференцируем координатные соотношения (2.14) по времени:

Эти три скалярных соотношения эквивалентны одному векторному:

Рис. 15.

Выражение (2.15) является правилом сложения скоростей в классической механике. Заметим, что данное соотношение остается справедливым и при любом другом выборе взаимных направлений координатных осей систем К и К'.

Продифференцируем по времени выражение (2.15), учтя при этом, что V₀ = const:

Это означает, что ускорение тела во всех инерциальных системах отсчета оказывается одинаковым. Поскольку масса в классической механике постоянна, то умножив обе части последнего уравнения на т, получим:

Полученный результат для произвольно выбранных систем К и К' означает, что уравнения механики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, или, как иногда говорят, инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Данное утверждение называется принципом относительности Галилея. По-другому можно сказать и так: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаково, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно.