Закон больших чисел

Совокупность всех договоров страхования, заключенных компанией, называют страховым портфелем. По каждому договору существует риск наступления убытка. То есть выплата по договору является случайной величиной. Страховой портфель представляет собой множество таких случайных величин.

В рамках теории вероятностей изучены общие закономерности, которым подчиняются множества случайных событий. В частности, доказано, что совокупное действие большого количества случайных величин при соблюдении некоторых условий приводит к результату, почти не зависящему от случая. Теоремы, описывающие указанную закономерность, носят общее название " закон больших чисел" .

Подобное «неслучайное» поведение результата воздействия большого числа случайных величин может быть объяснено взаимной компенсацией их отклонений от некоторого ожидаемого «среднего» значения. Например, результат страхования по любому конкретному договору является случайным. Если сумма выплат по нему окажется меньше уплаченной премии, для страховой компании результат будет положительным. В противном случае — отрицательным. Но в рамках коллектива договоров суммирование подобных положительных и отрицательных отклонений уменьшает разброс общего результата по портфелю. Совокупный итог страховых операций утрачивает случайный характер, становится более предсказуемым, закономерным. В этом проявляется эффект так называемого коллективного баланса.

При установлении платы за страхование очень важно правильно определить цену риска, который передает участник в фонд. Согласно закону больших чисел для значительной совокупности рисков сумма убытков будет с высокой вероятностью стремиться к своему ожидаемому значению. Это означает, что при расчете цены страхования для количественной оценки риска можно использовать ожидаемые значения выплат.

Пример. Объединение рисков

Предположим, что вероятность хищения автомобиля определенной марки стоимостью 500 ООО руб. составляет 0,03 в год (т.е. в среднем угоняют три автомобиля из 100). Возможность хищения существует всегда. И хотя оно происходит лишь с 3% автовладельцев, для каждого их них это событие может стать катастрофой. По существу, данный риск представляет «игру», где с вероятностью 3% можно проиграть 500 000 руб., но нельзя выиграть. Поэтому вполне логично, что люди хотят иметь защиту от таких событий.

Если автовладелец хочет защититься самостоятельно, он должен создать запас средств для компенсации убытков, т. е. для приобретения нового автомобиля. Сколько денег необходимо отложить, чтобы быть уверенным в защите? Для индивидуального владельца ответ очевиден — 500 000 руб. Любой другой суммы, меньшей, чем эта, на покупку аналогичной машины просто не хватит. Но далеко не все могут создать такой резерв.

Теперь допустим, что 1000 автомобилистов решили создать объединенный страховой фонд для выплат тем, у кого угнали автомобиль. В соответствии с законом больших чисел средняя частота хищений в данном коллективе рисков с высокой вероятностью будет стремиться к своему теоретическому значению 0,03. То есть на 1000 машин будет ожидаться 30 угонов. Если разделить общую стоимость автомобилей, которые предположительно будут похищены, на всех участников, то с каждого достаточно будет собрать 500 000 o 30/1000 = 15 000 руб. За эту плату автовладелец вправе ожидать полного возмещения убытка в размере 500 000 руб.

При таком способе защиты участник фонда жертвует относительно небольшой (по сравнению с возможным убытком) суммой в обмен на уверенность, что при хищении ему возместят стоимость автомобиля. Это стало возможным в результате объединения значительного количества участников, подверженных одному риску, в один страховой фонд, результаты деятельности которого становятся почти неслучайными благодаря действию закона больших чисел.

В реальной жизни объединиться и правильно рассчитать экономику деятельности фонда такому большому числу людей практически невозможно. Поэтому страховые фонды создаются и управляются специальными страховыми организациями — коммерческими страховыми компаниями и некоммерческими обществами взаимного страхования.

При использовании закона больших чисел для объединения даже огромного числа случайных величин следует понимать, что он не гарантирует равенство наблюдаемых средних результатов ожидаемым теоретическим значениям. Закон позволяет лишь говорить о том, что для больших множеств серьезные относительные отклонения фактических результатов от ожидаемых значений менее вероятны. Для крупных объединений рисков возможная сумма убытков более предсказуема, чем для малых. Поэтому рост количества договоров в портфеле страховой компании необходим прежде всего для обеспечения надежности.

Для оценки риска необходимо знать вероятности и ожидаемые суммы убытков. Но объективно существующие теоретические значения этих параметров неизвестны. Имеются лишь данные о страховых случаях за прошлые годы, которые представляют собой результаты реализации изучаемых случайных событий. Если их достаточно много, то согласно закону больших чисел наблюдаемые средние значения почти наверняка будут близки к ожидаемым. Тем самым закон дает возможность использовать статистические данные для оценки вероятностей наступления рисков и ожидаемых значений убытков.

Таким образом, применительно к страхованию закон больших чисел теоретически обосновывает:

• — возможность применения для оценки риска ожидаемых значений;
• — необходимость увеличения количества договоров в портфеле для уменьшения относительных отклонений результатов и обеспечения стабильности страхового фонда;
• — возможность использования статистических данных для оценки вероятностей и сумм убытков.

Подчеркивая такое широкое применение положений закона больших чисел к страховым задачам, его часто называют фундаментальным законом страхования.